n实验室量子力学

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想法

While期间经典力学考虑到粒子和场的确定性演化，量子物理遵循非确定性演化，其中各种结果的概率测量可以从代表可能现实的希尔伯特空间中的状态进行预测：该状态经历单一进化，这意味着进化的生成者是−1\方形{-1}Hermitean操作员调用量子哈密顿量或哈密顿算符系统的。准确描述这一点的理论框架是量子力学它涉及自然常数普朗克常数小时小时；极限空间解释的一些量子系统小时→0h至0导致经典力学系统（并非全部：包括非整数自旋在内的一些现象纯粹是量子力学的，但取决于它们存在的性质在“经典”极限下仍然存在）；在有限的普遍性中，人们可以激发并发现非预言性的挑选出一个右反转去拿这个经典极限在这个名字下量化.

虽然量子力学可用于广泛的物理系统，如粒子、扩展粒子和场，但场的量子力学通常称为量子场论固定有限个粒子系统的量子力学通常被视为狭义的量子力学。

nPOV公司

从数学上讲，尽管量子力学的基本形式是合理和明确的，但仍有两大领域尚不明确。一是理解量子化，在所有情况下都是粒子、场、弦等的量子化。第二个也是nLab可能更重要的问题是如何严格定义广泛的量子场论和一些相关的量子力学系统，如假设的超弦理论。鉴于这是一个中心目标，我们还强调量子力学的解释通过图，这是FQFT的一个特例，其中时间演化函数导致演化算子。

定义

我们讨论了量子力学的一些基本概念。

量子力学系统

回忆一下经典机械系统：实型的形式对偶可交换的 泊松代数.

定义

A类量子力学系统是一个星代数 (A类,(−) *)（A，（-）^\ast）超过复数s类别量子力学系统的相反类别属于*\上一次-代数：

数量机械系统:=*阿尔戈 ℂ 操作.QuantMechSys:={\ast}算法{\mathbb{C}}^{op}\,.
备注

将其视为真实世界的变形版本是有道理的泊松代数如下：

  • 泊松-吊架的泊松代数对应于换向器的*\上一次-代数：

    [一,b条]:=一b条−b条一,[a，b]：=a b-b a\,,

  • 泊松代数的交换代数结构对应于乔丹代数的结构*\上一次-代数，具有交换（但非结合！）乘积

    (一,b条):=一b条+b条一.（a，b）：=a b+b a\,.

根据这种解释推导-泊松括号相对于其他产品的属性得到了保留：一,b条,c（c）∈A类a、 a中的b、c我们有

[一,(b条,c（c）)]=([一,b条],c（c）)+(b条,[一,c（c）]).【a，（b，c）】=（【a，b】，c）+（b，【a，c】）\,.

因此，我们可以将非交换星代数视为非关联的 泊松代数：aJordan-Lie代数。有关详细信息，请参阅此处。

可观测项和状态

定义

给定一个量子力学系统星代数 A类A类，我们说

  • 一个可观察的是一个元素一∈A类a \在a中这样的话一 *=一a^\ast=a;

  • 一状态是一个线性函数 ρ:A类→ℂ\rho:A\to\mathbb{C}哪个是积极的从这个意义上说一∈A类a \在a中我们有ρ(一一 *)≥0∈ℝ↪ℂ\rho（a a ^\ast）\geq 0\in\mathbb｛R｝\hookrightarrow\mathbb｛C｝.

备注

人们可以将量子力学系统像变形的经典机械系统如下：

收件人：每 *{}^\ast-代数A类A类与其关联交换子代数的偏序集 通用域名格式(A类)通信（A）那么相应的量子力学系统是经典机械系统 内部的到sheaf地形 Sh公司(通用域名格式(A类))Sh（通信（A））:

  • 这个*\上一次-代数规范地导出交换代数A类̲∈Sh公司(通用域名格式(A类))\Sh中的下划线A\（Com（A））;

  • （经典）状态第个，共个A类̲\下划线{A}在里面Sh公司(通用域名格式(A类))Sh（通信（A））与外部量子态处于自然双射状态A类A类;

  • （经典）可观察的第个，共个A类̲\下划线{A}在里面Sh公司(通用域名格式(A类))Sh（通信（A））对应于上的外部量子观测A类A类.

（…详细信息…）

有人还说，内部经典力学系统(Sh公司(通用域名格式(A类)),A类̲)（Sh（Com（A）），\下划线{A}）是“玻利化作用“外部量子系统的A类A类。有关详细信息，请参阅此处。

状态空间

给定*\上一次-代数A类A类与一个状态 ρ\ρ在上面全球导航系统建设提供了内部产品空间 H（H） ρH_\rho与行动属于A类A类在H（H） ρH_\rho和a矢量 Ω=(ρ)\欧米茄=\sqrt（\rho）–真空矢量？–使所有人一∈A类a \在a中状态的值ρ:A类→ℂ\rho:A\to\mathbb{C}通过应用一一到ρ\方形{\rho}然后用ρ\平方码\rho:

ρ(A类)=⟨ρ,一ρ⟩.\rho（A）=范围\,.

如果星形代数 A类A类碰巧是一个C-星代数，那么这个内部产品空间自然是希尔伯特空间.

从历史上看，在文献中，这样的希尔伯特空间被视为量子系统定义的基本输入。

传统上，狄拉克的“bra-ket”表示法用于表示此类希尔伯特状态空间中的向量，其中|ψ⟩|\psi\范围代表一种状态⟨ψ|\兰格\psi|表示其线性伴随。状态演变表示为酉映射。自伴运算符表示物理量，如位置和动量和被称为可观察到的.测量表示为投影仪观测到的特征向量。

在混合状态量子力学，物理状态表示为密度算符 ρ\ρ，状态演化为形式的映射ρ↦U型 †ρU型\rho\mapsto U ^\dagger\rho U对于酉映射U型U型、和测量是正的算子值度量（POVM）。纯态自然嵌入到密度矩阵空间中：|ψ⟩↦|ψ⟩⟨ψ||\磅/平方英寸\rangle\mapsto|\psi\rangle\langle\psi|因此，考虑混合态的一种方法是纯态的概率混合。

ρ=∑ 我一 我|ψ 我⟩⟨ψ 我|\rho=\sum_i a_i|\psi_i\rangle\langle\psiii|

复合系统是由希尔伯特空间的张量积构成的。如果纯态 |Ψ⟩∈H（H） 1⊗H（H） 2|\H_1\otimes H_2中的Psi等级可以写成|ψ 1⟩⊗|ψ 2⟩|\psi_1\rangle\otimes|\psi_2\rangle对于|ψ 我⟩∈H（H） 我|\以H_i表示的psi_i等级据说是可分离的如果没有|ψ 我⟩|\psi_i范围存在，|Ψ⟩|\磅/平方英寸据说是缠结的.如果混合态是可分离纯态之和，则它是可分离的。否则，它会被缠住。

流量和时间演变

对于经典力学，量子力学系统中的流的单参数族是由观测值导出的一∈A类a \在a中通过

d日d日λb条 λ=1我ℏ[b条 λ,一].\压裂{d}{d\lambda}b\lambda=\压裂{1}{i\hbar}[b\lampda，a]\,.

在非相对论系统中，指定一个可观测的H（H）H（H）–称为哈密顿量–其流表示系统的时间演变。（这是海森堡图片.)

我们从以下角度评论如何解释这一点FQFT公司:

点粒子的量子力学可以理解为量子场论。它被解释为经典力学点粒子。当然，我们可以取一个粒子系统的组态空间，它看起来像高维流形中单个粒子的组态空间。

备注：可以找到QFT与量子力学（粒子力学和一般量子力学）之间关系的相关查询在这里.

人们可以有效地考虑点粒子在歧管 XX作为存在(0+1)(0+1)-维度的量子场论:

这个系统的字段是地图Σ→X\西格玛\到X哪里∑∈瑞姆博尔德 1\Riem Bord_1中的Sigma是一维的黎曼流形 合作主义s.这些是轨迹粒子的。

之后量化这产生了一个一维FQFT公司由函子

U型(−):Riem公司博尔德 1→希尔布U（-）：Riem Bord_1\至Hilb

从合作主义s至希尔伯特空间s（或其他口味的向量空间s） 分配

  • 直截了当地状态空间 ℋ\数学{H}，通常为我 2L_2级-节（关于黎曼度量在XX)背景的仪表场在XX该粒子在其下带电

  • 到黎曼长度的坐标系t吨t吨操作员

    U型(t吨):=经验(t吨我ℏH（H）):ℋ→ℋ,U（t）：=\exp\left（\frac{t}{i\hbar}H\right）：\mathcal{H}\到\mathcal{H}\,,

    哪里H（H）H（H）是哈密顿算符，通常为以下形式H（H）=∇ †∘∇H=\nabla^\匕首\circ\nabla对于∇\纳布拉这个协变导数给定背景的仪表场.

这样的设置描述了感受背景力的粒子的量子力学重力编码在黎曼度量在XX和背景规范场的力（例如电磁场)编码在协变导数中∇\纳布拉.

（这是薛定谔图片.)

量子子系统

定义

对于𝒜\数学{A}描述量子系统的代数def。，一个子系统是子代数（a子对象)B类↪𝒜B\hookrightarrow\mathcal{A}.

两个子系统B类 1,B类 2↪𝒜B_1，B_2\hookrightarrow\mathcal{A}被称为独立子系统如果线性地图

B类 1⊗B类 2→𝒜B_1\otimes B_2\to\mathcal{A}
(b条 1,b条 2)↦b条 1⋅b条 2（b_1，b_2）\mapsto b_1\cdot b_2

来自张量积代数（复合系统)因素作为同构

B类 1⊗B类 2→≃B类 1∨B类 2↪𝒜B_1\otimes B_2\stackrel{\simeq}{\to}B_1\vee B_2\hookrightarrow\mathcal{A}

通过代数B类 1∨B类 2B_1\vee B_2由生成的B类 1B_1和B类 2b2型里面𝒜\数学{A}（包含两者的最小子代数）。

请参见示例(BrunettiFredenhagen，第5.2.2节).

定义

给定两个独立的子系统B类 1,B类 2↪𝒜B_1，B_2\hookrightarrow\mathcal{A}、和两个状态 ρ 1:B类 1→ℂ\rho_1:B_1\to\mathbb{C}和ρ 2:B类 2→ℂ\rho_2:B_2\to\mathbb{C}，则相应的产品状态 ρ 1⊗ρ 2\rho_1\音符\rho_2在B类 1∨B类 2B_1\vee B_2定义为

(ρ 1⊗ρ 2):(b条 1,b条 2)↦ρ 1(b条 1)ρ 2(b条 2).（\rho_1\otimes\rho_2）：（b1，b2）\mapsto\rho_1（b1）\rho_2（b2）\,.
定义

上存在状态B类 1∨B类 2B_1\vee B_2不是产品状态的（凸组合）。这种现象称为纠缠.

公式化和形式化

量子力学中的序理论结构

请参见量子力学中的序理论结构.

量子力学†\匕首-紧凑的类别

量子力学和量子计算仅依赖于的抽象属性希尔布以它是一个†-紧凑型.

有关更多信息，请参阅

量子力学基础定理

以下圆圈定理

都围绕着“相空间“在量子力学中量子态空间都是由乔丹代数上的结构可观测代数，这反过来又由交换子代数的偏序集关于可观测代数。请参阅量子力学中的序理论结构了解更多信息。

还有

大致上说量子态空间是酉算子（或反统一）规范，因此保存可能性.

量子力学的应用

量子力学，与经典力学当特征标度足够小时，为了准确描述现实。例如

示例

工具书类

历史渊源

量子力学的种子播下了

随着对量子“作用”的认识：普朗克常数(第164页)

量子力学起源于：

制定天生规则:

介绍希尔伯特空间-配方（和投影公设):

但请参见（on冯·诺依曼的进一步推理量子逻辑然后是冯·诺依曼代数因子):

的等效性海森堡图片和薛定谔图片:

介绍工具群论量子物理（参见。Gruppenpest公司):

早期讨论复合量子系统和他们的量子纠缠:

论《红楼梦》的历史渊源标准对易关系:

概述

经典教科书帐户：

最近的教科书帐户：

在量子力学的解释:

课堂讲稿：

进一步参考：

量子物理学数学基础导论量子概率,算子代数:

另请参阅

代数透视图的推广量子场论在中进行了讨论

有关此的更多信息，请参阅AQFT公司和微扰AQFT

这个的不同化身C*-代数局部条件在

  • 桑德·沃尔特斯，量子拓扑学,

将其与拓扑理论配方

量子力学方面范畴理论和拓扑理论在中进行了讨论

例如，这将讨论高等范畴理论与物理学和玻尔拓扑量子系统。

基于弦图的量子信息理论

概述

观察自然语言量子信息论和量子计算，专门用于量子电路图，是的吗字符串关系图在里面†-紧凑型（请参见基于匕首紧范畴的量子信息论):

关于与量子逻辑/线性逻辑:

早期介绍单体的 范畴理论:

审查与量子逻辑:

并强调量子计算:

概括为量子运算在混合状态(完全正映射属于密度矩阵):

教科书账户（具有相关背景单体的 范畴理论):

测量和经典结构

形式化量子测量通过弗罗贝尼乌斯代数-结构(“经典结构”):

以及“经典结构单子到蜘蛛图（术语特殊Frobenius范式，起源于Coecke&Paquette 2008，第6页,Coecke&Duncan 2008年，Thm。1)的ZX-微积分:

ZX微积分

“经典结构”的演化——Frobenius代数(在上面)进入“蜘蛛”-ZX-微积分用于特定控制量子电路-图表：

将ZX微积分到编织融合类别对于任意子 编织:

上次修订时间：2024年6月5日19:38:54。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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