n实验室素理想定理

证明素理想定理的通常方法是借助于佐恩引理，除非有人专门尝试使用像UF这样较弱的东西（正如我们在本文中所做的）。事实上Zorn引理可以用来证明最大理想定理，它更强：在所有常见示例中，最大理想都是素数，因此素理想定理成为必然结果。

素数理想定理有更强大的形式，它们断言不与给定的乘法闭子集相交的素数理想的存在 $\马特拉克{m}$ 然而，通过首先将中的元素定位或反转，这些通常可以减少为普通PIT $\马特拉克{m}$ ，然后将PIT应用于本地化。

素理想定理的阶梯

素理想定理可以安排为一系列结果和技术，这些结果和技术逐渐变得复杂；我们在这里概述了一个可能的发展，并在本文的其余部分中详细填写。

第一个简单的结果涉及布尔PIT（或BPIT）和UF之间的等价性。虽然这些很容易，但BPIT是基本技术的理论基础，例如紧性定理对于一阶逻辑，通向梯子上的下一个梯级。

下一步导出分配格的PIT，作为紧性定理的简单应用。实际上，我们写下了一个简单的命题理论其中a模型等于给定分配格中的素理想。部分工作涉及检查理论的有限可满足性，我们可以调用一个简单的石头的二元性在有限分配格和有限偏序集之间完成这项工作。

有了分配格的PIT，我们证明了由于Banaschewski而得到的一个关键结果，它可以概括为（非平凡）紧框架接受素元素。这是一个早期结果石头空间，与紧正则的空间性有关区域设置.

Banaschewski引理是进入一般型素理想定理的关键。一般的想法是，幺半群中的理想（现在在适当好的幺半群范畴中）倾向于形成紧的量子数，其素元素对应于素理想。然后，我们调用一个简单的结构，该结构将商紧框架与每个紧量子数关联起来，这样量子数中素元素的存在就简化为紧框架中素元的存在阿拉拉Banaschewski引理。正如所承诺的，这给出了相当一般类型的素理想定理（统称为“GPIT”）。

如前所述，这些素理想定理中的任何一个都意味着BPIT是一个特例，因此我们绕了一圈：

UF\右箭头BPIT\右箭头PIT（DistLat）\Rightarrow Banaschewski \Right箭头GPIT\Rightarrow BPIT\Right箭头UF。

我们现在转向细节。

布尔PIT与超滤原理

布尔素理想定理或BPIT等价于超滤原理优素福。

推理可以总结如下：超滤原理意味着泰克诺夫定理紧凑Hausdorff空间；看这个备注紧致Hausdorff空间的Tychonoff定理反过来意味着每个布尔环 $B类$ 有一个最大理想（因此也是素数理想）；看见在这里因此，对于任何理想 $我$ 布尔代数的 $B类$ ，商布尔环 $B/I公司$ 有最好的理想 $P（P）$ 和回撤 $q^{-1}（P）\子结构B$ 商映射的 $q： B\至B/I$ 在 $B类$ 包含给定的理想 $我$ 从而证明了UF的BPIT。

（顺便说一下，可以注意到布尔代数（或布尔环）中的素理想 $B类$ 与极大理想相同。对于，对应的布尔商环是积分域只有当它是领域 $\mathbb｛Z｝/（2）$ ，自幂等性元素的产量 $e（1-e）=0$ 然后 $e=0$ 或 $e=1$ 假设没有零因子.)

最后，最大理想是对超滤器的补充（参见在这里). 所以UF说滤波器在里面 $B=P X$ 包含在超滤器中，转化为BPIT的特殊情况： $P X$ （由相应过滤器的元素的否定组成）包含在素数/最大理想中。这给我们带来了一个完整的循环：BPIT意味着UF意味着Tychonoff（CH）意味着BPIT。

BPIT隐含分配格的素理想定理

现在让我们证明CH空间的Tychonoff定理暗示了分配格的PIT $D类$ ：任何合适的理想 $我$ 属于 $D类$ 包含在 $D类$ .通过传递到商格 $付款交单$ ，这足以表明 $付款交单$ 有最好的理想 $P（P）$ ，因为逆图像 $\φ^｛-1｝（P）$ 基本理想的 $P（P）$ 沿着商图 $\φ：D至D/I$ 又是素数。

定理

（UF）任何非平凡分配格 $D类$ 有最好的理想 $P（P）$ .

为了证明这一点，我们写下了“素理想”的命题理论 $P（P）$ 属于 $D类$ “（并将其视为林登鲍姆代数). 形成自由布尔代数 $布尔（U D）$ 由基础集自由生成 $U D（U D）$ 属于 $D类$ .所以每个 $x（单位：U D）$ 对应于发电机 $Bool（U D）中的P_x\$ ，我们会认为它代表一个命题 $P_x（_x）=$ “ $x\单位：P$ ”. 强制执行的条件” $P（P）$ 是 $D类$ “是我们理论的公理：

( $P（P）$ 在有限联接下闭合） $P_0$ , $P_a\楔形P_b\右箭头P_{a\vee b}$ .
( $P（P）$ 向下关闭）每个 $b\单位：U D$ , $P_a\右箭头P_｛a\楔b｝$ .
( $P（P）$ 是适当的） $\负P_1$ .
（素性条件） $P_{a\楔形b}\右箭头（P_a\vee P_b）$ .

这些公理（ $布尔（U D）$ )然后生成滤波器 $\数学{F}$ 。一旦我们知道 $\数学{F}$ 是适当的（“理论的有限可满足性”），BPIT确保 $F类$ 包含在超滤器中 $\数学{U}$ ，对应于模型或布尔环同态 $布尔（U D）/\mathcal{F}\to\mathbf{2}$ 林登鲍姆代数之外。对于该车型，该系列 $\{a\在D:P_a\在\mathcal中{U}\}$ 然后形成一个基本理想 $P（P）$ 属于 $D类$ ，根据需要。因此：

证明

（过滤器 $\数学{F}$ 是正确的。）查看由有限多个公理生成的过滤器不包含 $Bool（U D）中的0\$ ，考虑的子格 $D类$ 由有限多个元素生成 $一$ 在这些公理的原子子公式中命名。有限生成的分配格是有限的（实际上，通过石头的二元性，有限数上的自由分配格 $n个$ or元素与偏序集的向下闭子集的偏序集同构 $\矩阵{2}^n$ ). 所以我们需要做的就是证明任何非平凡的有限分配格 $L（左）$ 有一个首要的理想。这也源于Stone对偶：分配格同态 $L\to\mathbf{2}$ 对应于Stone对偶的一个点 $S公司$ ，如果 $L（左）$ 那就不平凡了 $S公司$ 必须有点居住 $x个$ ，so格同态 $L\to\mathbf{2}$ 存在，其核心是一个极大的，因而是素理想。

巴纳舍夫斯基引理

20世纪80年代，巴纳舍夫斯基发现了以下结果（根据马塞尔·欧内). 我们现在陈述并证明引理，并在后面的部分中展示如何使用它。

定理

（Banaschewski引理）每个非平凡分配完备格 $L（左）$ 其顶部元素 $1$ 是契约例如，紧凑型框架，具有质数元素。

这里“非平凡”是指 $0\neq 1$ ：不同的顶部和底部元素。这是必要的，因为素理想需要是适当的（参见太简单了). 一个元素 $对$ 是首要的如果它生成的主要理想是质数，即如果 $楔形b\leq p$ 暗示 $一个\leq p$ 或 $b\leq p公司$ 在分配格中，这与下面的说法相同 $p=楔块b$ 暗示 $p=a$ 或 $p=b$ （满足不可还原性）。

证明

首先我们观察到非平凡有界分配格的一个副积 $\{X_i\}_{i\inI}$ （在有界分配格的范畴中）也是非平凡的。这也是一种有限可满足性结果：如果这样的副积是平凡的，即如果 $0 = 1$ 满足于副积（语法上构造为自由分配格 $F=F（\sum_i X_i）$ 识别每个有限集合和连接的模方程 $X _ i$ 正式会面和加入 $F类$ )，然后 $0 = 1$ 可以从包含有限多个元素的有限多个方程导出 $x指数$ 在中 $X _ i$ ，因此 $0 = 1$ 将在由这些元素生成的有限有界非平凡分配格的有限余积中可导。考虑到他们的石头的二元性使用有限偏序集及其乘积：的有限乘积有人居住的有限偏序集也有人居住。

考虑到这一点，请考虑副产物 $M=\sum_{a\在L\setminus\{1\}}\uparrow中$ 所有非平凡的主滤波器 $L（左）$ ，属于有界分配格范畴；让 $i_a:\向上箭头a\至M$ 表示副产品包含。 $M（M）$ 有最好的理想 $P（P）$ 分配格的PIT；拉回 $P_a\coloneqq i_a^{-1}（P）$ 是 $\向上箭头a$ 当然可以 $P_a\subseteq L\setminus\{1\}$ 通过基本理想的适当性。

放置 $S=L\setminus\｛1\｝$ 。这是一个dcpo公司通过…的完整性 $L（左）$ 和压实度 $1$ ; 因为正确的理想 $I \ substeq S公司$ 是有向子集，我们可以看到 $S公司$ 承认吃了一顿 $\西格玛（a）\coloneqq\bigvee P_a$ 对于每个 $在S中为a\$ .我们有 $a \leq \sigma（a）$ 对所有人来说 $在S中为a\$ .由Bourbaki-Witt不动点定理，通货膨胀经营者 $\西格玛：S到S$ 比如说，有一个固定点 $c： c=σ（c）$ .为此 $c（c）$ ，请注意 $P_c\subseteq\uparrow c$ 只是 $\{c\}$ .

所以 $\{c\}$ 是最理想的 $\向上箭头c$ .通过会议不可还原性，这意味着 $c（c）$ 是中的素元素 $L（左）$ .

备注

当这句话是关于紧凑型框架时，可以改为说，每个非平凡的紧凑型语言环境都至少有一个点；比较石头空间，引理1.9。

理想量子数中的素元素

为了说明Banaschewski引理的应用，我们考虑（可能非交换）环的素理想定理。我们遵循环有单位的共同约定。

让 $对$ 做一个戒指，让 $怠速（R）$ 是双边理想的超参数 $对$ .理想倍增 $A \ cdot B$ ，我们获得量子的上的结构 $怠速（R）$ 其乘法单位是顶部元素 $对$ 一般来说，我们称之为量子数仿射的（或半自流的)如果它的单位是顶层元素。

顶层元素 $1$ 属于 $怠速（R）$ 也是一个紧凑型元件一般来说，并从框架/区域设置，我们会说定量是契约如果它的顶部元素是紧凑元素。

最后，在一个困惑中 $问$ ，我们说元素 $p \in Q$ 是首要的如果是所有人 $a、 b\在Q中$ 我们有 $一个b \leq p$ 暗示 $一个\leq p$ 或 $b\leq p公司$ .中的基本元素 $怠速（R）$ 正是 $对$ .

定理

（ZF+UF）每个非平凡紧仿射量子数都有一个素元。

战略（如下帕塞卡)就是将这个要求简化为Banaschewski引理的应用。

我们首先在 $问$ ：说 $a \等于b$ 如果 $（对于所有c）；1=a\vee c\Leftrightarrow 1=b\vee c$ .

引理

关系 $\当量$ 是一个令人困惑的一致性。

证明

首先我们展示一下 $\相等的$ 尊重量子乘法 $\cdot（光盘）$ .假设 $a \等于b$ 和 $x\等同$ 对任何人来说都是如此 $c（c）$ ，如果 $1\leq a x\vee c$ ，因此 $1 \leq a \vee c$ 和 $1 \leq x \vee c$ ，从哪里 $1\leq b\vee c$ 和 $1个\leq y\vee c$ .然后

1 \leq b\vee c=（b\cdot 1）\vee c=b

和类似的 $1=b y\vee c$ 暗示 $1=x \vee c$ .所以 $x等于$ .

现在我们展示一下 $\相等的$ 尊重连接，即如果 $x_i\等于y_i$ 对所有人来说 $i \在i中$ ，然后 $\bigvee_ i x i \ equiv \ bigvee i y_i$ .假设 $1=c\vee\bigvee_i x_i$ .自 $问$ 是紧的，则有一个有限的 $x _ i$ ，说吧 $x_1，\ldot，x_n$ ，因此 $1=c\vee x_1\vee\ldots\vee x_n$ .来自 $x_n\等效y_n$ 和 $1=（c\vee x_1\vee\ldots\vee x_{n-1}）\ vee x_n$ ，我们推导

1=（c\vee x_1\vee\ldots\vee x{n-1}

我们通过归纳来展示 $1=c\vee y_1\vee\ldots\vee y_n$ ，这意味着 $1\leq c\vee\bigvee_{i\in i}y_i$ 同样， $1=c\vee\bigvee_i y_i$ 暗示 $1=c\vee\bigvee_i x_i$ ，我们就这样完成了。

提议

定量 $\波浪线{Q}$ 形成商数 $Q/\等同$ 是一个非常紧凑的框架。

证明

很明显 $1 \leq x x \vee c$ 暗示 $1\leq x x v e c$ .但如果 $1 \leq x \vee c$ ，然后

1\leq x\vee c=x\cdot 1\vee c=x\cdotc（x\vee-c）\vee c=x x \ vee x c \ vee c=x x \ ve e c

因此 $x x \等于x$ 对所有人来说 $x个$ .作为幂等仿射量子， $\波浪线{Q}$ 是一个框架。

我们有 $\负（0\等于1）$ 自( $0\vee c=1$ 若（iff） $1\vee c=1$ )因失败 $c=0$ ，根据假设 $问$ 不平凡。所以 $\波浪线{Q}$ 不平凡。同样的证据表明任何 $i \在Q中$ ，我们有 $\否定（等于1）$ 如果 $\负（i=1）$ .

要显示 $\波浪号｛Q｝$ 假设是紧凑的 $\{x_i\}_{i\inI}$ 一家人在吗 $问$ 使得 $\bigvee_ i x i等于1$ 换句话说 $c\vee\bigvee_i x_i=1$ 对所有人来说 $c \在Q中$ .设置 $c=0$ 并应用压实度 $问$ ，有一个有限的子族 $F类$ 使得 $\F}中的bigvee_{i\x_i=1$ ，然后 $\bigvee_{i\在F}x_i\等于1$ 证明了 $\波浪线{Q}$ .

量子商图 $Q\到\波浪线{Q}$ 保留任意sup，因此具有正确的伴随 $\pi:\波浪线{Q}\到Q$ ，通过偏序集形式伴随函子定理。如果我们表示 $\相等的$ -元素的类 $a\在Q中$ 通过 $【a】$ ，然后针对 $c\ in \波浪线{Q}$ 元素 $\圆周率（c）$ 由显式公式给出

\pi（c）=\bigvee\{y\在Q:[y]\leqc\}中。

引理

给予常规epi $[-]：Q\到\波浪线{Q}$ 在量子数范畴中，带有右伴随 $\pi:\波浪线{Q}\到Q$ ，如果 $c（c）$ 处于最佳状态 $\波浪线{Q}$ ，然后 $\圆周率（c）$ 在中是质数 $问$ .

证明

对于元素 $a、 b\在Q中$ 我们有

\阵列{a b\leq\pi（c）&iff&[a b]\leq c&自\；[-]\dashv\pi\\&iff&[a]\cdot[b]\leq c&since\；[-]\; 是\；\数学{a}\；量子\；地图\\&iff&（[a]\leq c）\vee（[b]\leqc）&since\；c \；是\；素数\\&iff&（a\leq\pi（c））\vee（b\leq\ pi（c））&since；[-]\dashv\pi}

这就完成了证明。

定理的证明立即：

证明

鉴于此 $问$ 是一个非平凡的紧仿射量子数， $\波浪线{Q}$ 是一个由命题构成的非平凡紧框架.然后 $\波浪线{Q}$ 有素元素 $c（c）$ 由Banaschewski引理 $问$ 根据引理有素元素.

推论

（环的PIT）每个幺正环 $对$ 在ZF+（UF）下有一个素理想。

备注

另请参见巴纳舍夫斯基-哈廷。我们注意到 $k个$ 在 $怠速（R）$ 由成分形成 $k=\pi\circ[-]：Idl（R）至Idl（R）$ 具有以下属性：

$k（I）=k（I J）=k$ ,
$k（J）=1$ 暗示 $J=1$ .

这些属性是验证 $k个$ （对应于商 $\宽度{Idl（R）}$ )形成了一个紧凑的框架，我们可以对其应用Banaschewski引理。例如，取雅各布森原子核激进派理想的根具有这些性质，非对易环理论中考虑的其他根（Levitski根、Brown-McCoy根）也是如此。

事实上，同样的方法表明我们可以加强定理要了解PIT的真正含义：

推论

让 $问$ 是一个非平凡的紧仿射量子数，并且让 $i \在Q中$ 是任何适当的元素，即假设 $\负（i=1）$ .然后存在一个素元素 $p \in Q$ 使得 $i \leq p系列$ .

证明

让 $k=\pi\circ[-]：Q\到Q$ 成为核对应于同余 $\相等的$ （即常规计划免疫 $[-]：Q\到\波浪线{Q}$ ). 自 $i\neq 1$ ，我们也有 $k（i）\neq 1$ （即。， $\否定（等于1）$ )，如命题证明所示.所以 $\波浪线{Q}=固定（k）$ 和向上闭集 $k（i）\向下箭头固定（k）$ 都是非平凡的紧仿射框架，并且有一个素元素 $对$ 属于 $k（i）\向下箭头固定（k）$ .我们定期发布定量报告 $第页$ 定义为复合

Q\stackrel{[-]}{\to}修复（k）\stackrel{k（i）\vee-}{\to}k（i

（这里使用的事实是 $k（i）\vee-$ 保留有限的满足，因为 $固定（k）$ 是分配格）。的右伴随词 $第页$ 是否包含 $\rho:k（i）\向下箭头固定（k）\向右箭头Q$ ，它来自引理那个 $p=\rho（p）$ 是的质数 $问$ 使得 $k（i）\leq p$ .自 $i \leq k（i）$ ，我们得出结论 $i \leq p系列$ .

广义素理想定理

现在我们考虑更一般的设置，在这些设置中我们可以谈论（双边）理想和素理想，并且可以应用定理.

例如，让 $\矩阵{C}$ 成为完成,共同完成双闭单体范畴（例如，a宇宙). 如果 $A类$ 是一个幺半群中的对象 $\矩阵{C}$ ，然后我们可以说理想在里面 $A类$ ，通常 $怠速（A）$ 将继承良好的财产 $\数学函数｛C｝$ 例如，如果 $\矩阵{C}$ 那么，他是正常的、精力充沛的 $怠速（A）$ 如前所述，在理想乘法下形成量子数在这里.

如果我们进一步假设一元单位 $我$ 属于 $\矩阵{C}$ 是契约（即，有限呈现），则 $怠速（A）$ 由幺半单位生成 $e： I至A$ 将是一个紧凑的元素。然后，在 $A类$ 像往常一样成为 $怠速（A）$ ，我们从定理中推导出素理想的存在性.

下面是这些行的示例结果：

定理

让 $T型$ 成为交换律理论然后是代数的范畴 $设置^T$ 是一个能量充足的规则宇宙，其中单体单位是紧的。因此，对于每个幺半群 $A类$ 属于 $设置^T$ 和每一个合适的理想 $I \hookright箭头A$ ，有一个基本的理想 $P（P）$ 包含 $我$ （通过应用推论到 $怠速（A）$ ).

推论

（钻机PIT）每一个合适的理想操纵包含在素理想中。

证明

Take（获取） $T型$ 成为…的理论交换幺半群，并应用定理.

工具书类

伯恩哈德·巴纳修斯基还有Roswitha Harting，激进理想的格面与选择原则，程序。伦敦数学。《社会科学》第3-50（3）卷（1985年），第385-404页。(网状物)

伯恩哈德·巴纳修斯基，素理想中的素元素，第2号令（1985年），211-213。(弹簧连杆)

Jan Paseka，关于素理想定理的注记《卡罗莱纳大学学报》，《数学与物理》，第30卷（1989年），第2期，第131-136页。(pdf格式)

上次修订时间：2018年3月2日01:54:35。请参阅历史获取所有贡献的列表。