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想法

一预先订购或a准阶就像一个部分订单，但没有“不对称”要求$x \leq y（x \leqy）$和$是\leq x$暗示$x=y$.

通过解释关系$\勒克$作为一种独特的存在同构，预订单可以视为确定类别（即，精简类别). 此类别有时称为预订单类别与预订单相关；详见下文。

定义

作为具有关系的集合

一预先订购或拟序在一个集合上$S公司$是一个反射的和传递的关系，一般写$\勒克$.A型预序集，或选择性激励技术，是一套配备了预购单的设备。（这不应与支持（pro-set），即问题对象在里面设置.)

作为图形

一预序集是一个环 有向图 $（V，E，s：E到V，t:E到V）$，具有函数$回流：V至E$和

这样的话

• 对于每个$a\单位：V$,$s（ref（a））=_E a$
• 对于每个$a\单位：V$,$t（回流（a））=_E a$
• 对于每个$f \在E中$,$s（tr（g，f））=_E s（f）$
• 对于每个$f \在E中$,$t（tr（g，f））=_E t（g）$
• 对于每个$f \在E中$,$tr（f，ref（s（f）））=_E f$
• 对于每个$f \在E中$,$tr（ref（t（f）），f）=_E f$
• 对于每个$f \在E中$,$g \在E中$、和$E中的h$这样的话$t（f）=V秒（g）$和$t（g）=V秒（h）$,$tr（h，tr（g，f））=_E tr（tr（h，g），f）$

作为一个类别

等价地，一个预定集是一个(严格的)薄型：a严格类别这样对于任何一对属于物体 $x、 年$，最多有一个同构从$x个$到$年$这种态射的存在对应于关系的真理$x \leq y（x \leqy）$.换句话说，它是a（严格）类别丰富超过笛卡尔单体范畴属于真理值（a）（0,1）-类别).

同伦类型理论

在同伦型理论，我们必须小心区分预售（关于任意同伦类型h级)和预序集（适用于h组). 当把普通的集合级数学翻译成HoTT时，预定的集合几乎总是需要的。类型上的预订单$一$包括：

• 对于每对元件$a、 b:答$，一个命题 $a \le b公司$;

• 对于每个$答：答$，见证人自反性 $\操作员姓名{参考}_a：a \ le a$

• 对于每个$a、 b、c:a$,$p：a \le b$和$问题：b\le c$，见证人及物性 $\操作员姓名｛trans｝_{a，b，c}（p，q）：a \le c$.

注意，像往常一样，量词“for each”和“for every”应解释为相应的相关函数类型.每个同伦类型$一$有一个h组可能的预序结构，但总和在所有可能的结构中，h水平由$一$的。

属性

与部分订单的关系

任何预先排序的集合都是相等的到偏序集这是定理的一个特例，每个类别都有一个骨架，但（如果您定义的“等价性”足够弱）这种情况确实如此不要求选择公理.

如果基础有商集则每个预序都有一个等价于偏序集的商集。让$（P，\leq）$是一个预购单。定义等价关系 $\模拟$在$P（P）$对于所有元素$a、 b\在P中$作为$a \ sim b：=（a \ leq b）\楔（b \ leq a）$然后是商集$P/\模拟$是偏序集。这是事实的0截断版本，因为前范畴有一个核心 前广群每个pregroupoid都有一个Rezk完成广群，每个前类别都有一个Rezk补全类别.

请注意，在同伦型理论，预订单可以应用于一般类型（因此需要区分预订单和预订单套)，偏序必然适用于集合：任何映射$p：（a\le b）\楔形（b\le a）\至（a=b）$必然是纤维等效（固定$一$并进行量化$b条$)，因为它诱导了总空间的等价性。因此，密码子类型$（a=b）$是一个命题，因为域$（a \le b）\楔形（b \le a）$作为命题的产物，是一个命题。

与精简类别的关系

在集合理论的 基础，预排序集与薄型（任何两个平行的类别态射相等），并且仅当它是骨骼因此，要求部分订购预购套装似乎打破了等效原则属于范畴理论然而，如上所述，一个瘦类别总是有一个骨架这是偏序集；因此，处理偏序集到同构与处理预序集到等价是一样的。换句话说，如果$x \ le y（x \ le y）$和$y\le x年$，所以$x个$和$年$是同构的，我们不妨说它们是相等的（因为它们只有一种同构方式）。

另一种说法是神经 单纯集合预订单，这必然是Segal空间或（无穷大，1）范畴中的范畴对象在里面$设置\hookrightarrow\infty Grpd$，是另外一个完全Segal空间或真正的类别对象在里面$设置$如果预订单实际上是部分订单。有关此视角的更多信息，请参阅Segal space–示例–In Set.

如果我们区分同构和平等对于预序集合中的元素（因此考虑预序集合的同构性，而不是等价性），那么这等价于将相应的瘦范畴也视为严格类别当从这个意义上处理时，预序集并不等同于偏序集。

另一方面，在非集合理论中基础其中并非每个类别都需要有一个基础集（即不需要是严格类别以任何规范的方式）-例如同伦型理论或预设理论-一个被定义为“具有关系的集合”的预定集$\勒克$“…”是一个严格的范畴，具有来自给定集合的对象相等的概念。相比之下，在这种情况下，细范畴（与更一般的范畴相对）确实具有严格范畴的规范结构，其中对象相等方法同构，但并不是每一个严格的细范畴在这个意义上都是规范的。在这种情况下，部分有序集对应于细类别（具有规范的严格类别结构），而预序集对应于具有任意严格类别结构的细类别。

从任何二元关系构造前序

（另请参见码敏单子,保护性量化.)

预订单反射

预订单的2类（更准确地说，是精简类别)是反思的在里面猫反射器保留对象并声明$x \leq y（x \leqy）$如果存在来自的箭头$x个$到$年$.

柯西完井

这显示为(罗索里尼，道具。2.1).

这显示为(Rosolini，推论。2.3).

相关概念

• 预订单与（0,1）-类别之间的关系

• 预先订购

  • 上限,下限

• 有向集合

• 部分订单

• 薄型

• 专业化拓扑

• 专业化订单

• PreOrd公司

• 图表,有向图

• 对称预序

• 预先排序的对象

工具书类

柯西完井中讨论了预订单

• G.Rosolini等人，关于预序Cauchy完备的一个注记(pdf格式)