n实验室动力装置

定义

给定一个设置 $S公司$，的动力装置属于$S公司$是布景吗$\马查尔{P} S公司$所有的子集属于$S公司$等效地，它是

• 成套设备$\电视^S$所有的功能从$S公司$到集合$\电视$属于真理值。这是经常写的$2分之一秒$，因为有（至少在经典逻辑)确切地说$2$真理价值观；

• 收藏子对象属于$S公司$在中地形 设置.

• 这个切片类别 $注入/S$，其中注射是宽子范畴属于设置语态限制为注射。这类似于子对象定义，但更为解包。$注入/S$具有要注入的对象$S公司$以及作为注入的交换三角形的态射。

基础地位

在物质集合论中

人们通常需要在数学基础以确保发电机组的存在。在物质集合论，可以这样表述：

• 如果$S公司$是一个集合，则存在一个集合$\数学{P}$这样的话$A\in\mathcal{P}$如果$A \子标准S$.

然后可以使用分离公理(有界分离足以证明$\数学{P}$可以进行选择，以便$A类$是只有的成员$\数学{P}$; 这个可拓公理证明了这一点$\数学{P}$是独一无二的。

或者，可以包括功率集结构，基本一元运算符$\数学{P}（S）$这样，对于所有集$S公司$，如果适用于所有集合$A类$和台$B类$,$B\在A中$意味着$在S中为B\$，然后$A\in\mathcal{P}（S）$.

在结构集合论中

在结构集合论，我们声明存在一个集合$\数学{P}$它为的子集编制索引$A类$并证明唯一性直到独特的同构.

依赖型理论

在依赖型理论，可以定义塔斯基宇宙 $（V，\英寸）$属于纯集合其行为类似于物质集合论塔斯基宇宙的普适类型族由类型族给出$x： V\vdash\sum_{y:V}y\in x$. The幂集公理由以下公式给出推理规则以下为：

预测数学的地位

在预测数学幂集的存在（以及其他“非指示性”公理）是不被接受的。然而，我们仍然可以将电源组称为适当等级，有时称为功率等级.

人们可以使用发电机组建造函数集; 反过来也可以使用排中律（或任何其他可以保证真理值集存在的东西）。特别是，幂集存在于任何包含排除中间集和函数集的理论中；因此，包含函数集的谓词理论也必须是建设性的.

与函数集和真值集的关系

幂集的存在等价于函数集和a真值集.

依赖型理论

在依赖型理论，这相当于函数类型和a单价的 所有命题的类型。如果有单价的 所有命题的类型 $（\mathrm{Prop}，\mathrm{El}）$，然后给定一个类型$S公司$，电源组$S公司$是函数类型 $\马查尔{P} S公司\coloneqq S\to\mathrm｛道具｝$。类型的功率集总是一个集，因为$\数学{Prop}$总是由单价; 如果密码子函数类型的是集合，那么函数类型本身就是集合。

发电机组的一个元件$P： \mathcal公司{P} S公司$是一个谓词.类型

是相应的子类型属于$S公司$，具有规范嵌入由中定义的第一个投影函数给出消除规则的消极的 相依和类型.

还有一种本地成员关系$（-）\in_S（-）：\mathcal{P}（S\times\mathcal{P} S公司)$由定义$a\in_S B\coloneqq B（a）$为所有人$a： S公司$和$B： \mathcal公司{P} S公司$，其中$B（a）款$定义在消除规则对于函数类型.

属性

概述

• 发电机组$\马查尔{P} S公司$通常携带部分订单通过遏制，使其成为偏序集以下为：$A类$先于$B类$意味着$A类$是一个子集属于$B类$($A \子条款B$).

• 康托定理声明不存在灌水从$S公司$到$\马查尔{P} S公司$; 因为确实存在这样的注射，有人得出结论说

  $${|S|}\lt{|\mathcal{P} S公司|}$$

  在通常的算法中基数.

• 该类别中的电源组设置.给定一个对象$S公司$任何类别，可以类似地形成偏序集属于子对象属于$S公司$; 该类别称为精力充沛的当这个偏序集是小的一个人也有功率集的内部概念（a电源对象)在中地形.

• 发电机组结构构成范畴的等价性在相反类别 设置$^{操作}$和的完备原子布尔代数。请参阅集合-属性-对立范畴和布尔代数。限制为有限集合，发电机组结构构成范畴的等价性在相反类别属于FinSet（FinSet）和有限的布尔代数。请参阅FinSet–相反类别.

幂集函子

幂集结构产生了两个函子，反变幂集函子$将^op设置为Set$和协变幂集函子$设置\为设置$。第一个发送函数$f\冒号S\至T$到前映像功能$f^*\冒号P（T）\到P（S）$，而第二个发送$（f）$到形象功能$f_*\colon P（S）至P（T）$.

相关概念

• A类闭合算子电源上有一个摩尔闭合.

• 电源对象

• 多态性