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想法

A类部分订单在集合上，是一种对其元素进行排序的方式，表示某些元素先于其他元素，但允许两个元素在不相同的情况下可能无法比较。这是秩序论.

关于订单$\勒克$作为一种独特的存在同构，预订单可以视为确定类别（即，精简类别). 此类别有时称为订单类别与部分订单相关；看见在下面了解详细信息。

定义

作为具有额外结构的集合

偏序集可以理解为设置具有额外结构.

给定一个设置 $S公司$，一个部分订单在$S公司$是（二进制）关系 $\莱克$具有以下属性：

• 自反性:$x\leq x$始终；

• 及物性：如果$x\leq y\leq z$，然后$x\leq z（x \ leq z）$;

• 反对称性：如果$x\leq y\leq x$，然后$x=y$.

A类偏序集是带有部分订单的集合。

作为具有反对称性的预订单

偏序集正是选择性激励技术满足额外的条件$x\leq y\leq x$意味着$x=y$.

依赖型理论

在依赖型理论，身份类型$x=y$表示相等不一定在h-命题因此，从上述预序出发对偏序的集合论定义进行朴素的翻译是行不通的。相反，我们必须假设类型的等价性身份类型之间$x=y$和条件$x\leq y\leq x$:

A类部分订单是预订单$X（X）$带有类型的等价性 $\矩阵{反对称}（x，y）：（x=_Xy）\simeq（x\lty）\times（y\ltx）$为所有人$x： x（x）$和$y： X（X）$.

同样地，人们可以归纳定义一个函数

关于的自反性身份类型通过前序的自反性

然后，偏序是一个预序，这样定义的函数$\矩阵{idToOrd}（x，y）$是一个类型的等价性为所有人$x： x（x）$和$y： X（X）$.

在这两种情况下，由于预序在命题中是有价值的，所以反对称公理确保了部分序是h组.

作为具有额外属性的类别

偏序集可以理解作为一个类别具有额外财产，有时称为订单类别.

A类偏序集 是一类别这样：

• 对于任何一对属于物体 $x、 年$，最多有一个来自$x个$到$年$

• 如果存在来自$x个$到$年$和来自$年$到$x个$（根据上述内容，这意味着$x个$和$年$是同构的)，然后$x=y$.

等效，这表明装腔作势是骨骼 薄的类别，或相当于骨骼类别丰富超过笛卡尔单体范畴属于真理值或相当于骨骼（0,1）-类别（另请参阅富集偏序集).

当我们这样做时，我们很快就会导致沉思偏序的一个轻微推广：即预售原因是反对称定律$x \ le y（x \ le y）$和$y\le x年$意味着$x=y$，违反了等效原则在某种意义上。（另一方面，如果被视为定义属于平等.)

单调功能

偏序集的态射是单调函数; 一单调函数 $（f）$从偏序集$S公司$到偏序集$T型$是一个功能从$S公司$到$T型$（视为结构化集)可以保存的$\莱克$:

等效地，它是一个函子从$S公司$到$T型$（视为特定类别）。

这样，偏序集就形成了一个类别 位置.

间隔

A（闭合有界）间隔在偏序集中$C类$是一组表单

偏序集是局部有限的如果每个闭有界区间都是有限的。

偏序集的种类

带有顶部元件和底部元件被称为有界的（但请注意子集偏序集的可以是有界的，而不是作为偏序集本身有界的。）一般来说，它是上方有界如果它有一个顶部元素并且在下面有界如果它有一个底部元素。

全有限偏序集满足和连接称为晶格; 如果它只有一个或另一个，它仍然是一个半格.

一种偏序集，其中每个有限集都有一个上界（但可能不是最少的上限，即连接）是有向集合.

如上所述，一个偏序集，其中每个间隔$[x，y]$是一个有限集合被称为局部有限的或a焦距.

带有边界的偏序集可数子集被称为$\西格玛$-有界的也就是说，偏序集是$\西格玛$-如果存在序列，则上界$（x_n）_{n=1}^{n}$（其中$N个$是自然数或无穷大），因此$年$在偏序集中有一个$x米$具有$y\leq x _ m$.（偏序集为$\西格玛$-如果我们有$x _ m \leq y（x _ m \ leq y）$相反。）注意，每个有界偏序集是$\西格玛$-有界，但不是相反。请注意，一些当局要求$N=\英寸$; 这只对空偏序集（我们说它是$\西格玛$-有界，他们说没有）。

在高等范畴理论中

偏序集可以理解为（0,1）-类别这表明垂直分类偏序集概念到偏序集的概念n偏序集.

属性

线性顺序的扩展

请参阅偏序的线性扩张 本道具。.

偏序集的区域设置–Alexandroff拓扑

有关更多信息，请参阅Alexandroff拓扑.

柯西完井

每个偏序集都是柯西完备范畴.姿势是的Cauchy补足散文. (罗索里尼)

在单价宇宙中

在同伦型理论，每类型中的部分顺序单价宇宙是偏序集。(托松,Ahrens、North、Shulman、Tsementzis)

示例

• 这个函数代数属于理性的-有价值的功能在任何设置 $X（X）$是部分订单。

• 这个函数代数属于柯西实型-上的值函数$X（X）$是部分订单。事实上，它是柯西完井函数代数的理性的-有价值的功能在$X（X）$.

• 一般来说，如果$A类$是一个向量空间上有理数用一个二次型，然后$A类$是一个偏序，其Cauchy完备是柯西实数二次型。特别是柯西复数和高斯理性是部分订单。

相关概念

• 预订单与（0,1）-类别之间的关系

• 预先订购

• 连续偏序集

• Noetherian偏序集

• 富集偏序集

• 专业化拓扑

• 前缀顺序

• 部分有序对象

• 托马森模型结构

工具书类

• 理查德·斯坦利（Richard P.Stanley），枚举组合学，第I卷pdf格式

柯西完井中讨论了前序集和后序集的

• G.罗索里尼，关于预序Cauchy完备的一个注记(pdf格式)

以下是关于定向同伦理论:

• 马克·格兰迪斯,定向同伦理论，I.基本范畴(arXiv公司)

• 蒂姆·波特,丰富的演化状态空间类别和模型《理论计算机科学》，第405页，（2008年），第88–100页。

• 蒂姆·波特,丰富了双足类空间的类别和模型。讨论文档和一些技术概述(pdf格式)

中的姿势单价宇宙在里面同伦型理论在中进行了讨论

• Ayberk Tosun，单叶基础中的形式拓扑pdf格式

• Benedikt Ahrens、Paige Randall North、Michael Shulman、Dimitris Tsementzis、《单价原则》(腹肌：2102.06275)

在偏序集上共纤维对象在Thomason模型结构中：

• 罗曼·布鲁克纳,克里斯托弗·佩格尔,Thomason模型结构中的共纤维对象, [arXiv公司：0808.4108]

• 罗曼·布鲁克纳,抽象同伦理论与Thomason模型结构，博士论文，不来梅2016[国标：46-00105527-15,pdf格式]