拓扑(点集拓扑,无点拓扑)

另请参阅微分拓扑,代数拓扑,功能分析和拓扑 同伦理论

介绍

基本概念

• 开放子集,闭子集,街区

• 拓扑空间,区域设置

• 拓扑的基础,邻里基地

• 更精细/更粗糙的拓扑

• 关闭,内部,边界

• 分离,清醒

• 连续函数,同胚

• 一致连续函数

• 嵌入

• 打开地图,封闭式地图

• 序列,网,子网,滤波器

• 汇聚

• 类别顶部

  • 拓扑空间的方便范畴

通用结构

• 初始拓扑,最终拓扑

• 子空间,商空间,

• 光纤空间，空间附件

• 产品空间,不相交并空间

• 绘图圆柱体,映射共圆柱

• 贴图圆锥体,映射cocone

• 测绘望远镜

• 正规空间的共线

额外的材料、结构、属性

• 好的拓扑空间

• 度量空间,度量拓扑,可度量空间

• 科尔莫戈罗夫空间,豪斯道夫空间,规则空间,正常空间

• 清醒空间

• 紧凑空间,正确的地图

  序列紧致,可数紧,局部紧的,sigma-紧,仿紧的,可数仿紧,强紧的

• 紧生成空间

• 第二可数空间,第一可数空间

• 可收缩空间,局部可收缩空间

• 连通空间,局部连通空间

• 单连通空间,局部单连通空间

• 细胞复合体,CW-复杂

• 指向空间

• 拓扑向量空间,巴纳赫空间,希尔伯特空间

• 拓扑群

• 拓扑向量丛,拓扑K理论

• 拓扑流形

示例

• 空的空间,点空间

• 离散空间,共离散空间

• Sierpinski空间

• 顺序拓扑,专业化拓扑,Scott拓扑

• 欧几里德空间

  • 实线,飞机

• 圆柱,圆锥体

• 球,球

• 圆圈,圆环体,环形空间,莫比乌斯带

• 多面体,多面体

• 射影空间(真实的,复杂的)

• 分类空间

• 配置空间

• 路径,环

• 映射空间:紧开拓扑,一致收敛拓扑

  • 循环空间,路径空间

• Zariski拓扑

• 康托尔空间,Mandelbrot空间

• 皮亚诺曲线

• 具有两个原点的线,长线,索根弗里线

• K-拓扑,Dowker空间

• 华沙圈,夏威夷耳环空间

基本陈述

• 豪斯多夫空间是清醒的

• 计划是清醒的

• 紧空间的连续映象是紧的

• 紧致豪斯多夫空间的闭子空间是等价的紧致子空间

• 紧Hausdorff空间的开子空间是局部紧的

• 如果余域是Hausdorff，则紧Hausdorvf空间的商投影是精确闭合的

• 紧空间等价地具有每个网的收敛子网

  • 勒贝格数引理

  • 序列紧度量空间是等价紧度量空间

  • 紧空间等价地具有每个网的收敛子网

  • 序列紧致度量空间是完全有界的

• 紧度量空间上的连续度量空间值函数一致连续

• 仿紧Hausdorff空间是正规的

• 仿紧Hausdorff空间等价地允许单位的从属划分

• 封闭注入是嵌入

• 局部紧致空间的正确映射是封闭的

• 局部紧空间的内射真映射等价于闭嵌入

• 局部紧和sigma-紧空间是仿紧的

• 局部紧和第二可数空间是sigma-紧的

• 第二可数正则空间是仿紧的

• CW复形是仿紧Hausdorff空间

定理

• Urysohn引理

• Tietze扩张定理

• 泰克诺夫定理

• 管膜

• 迈克尔定理

• Brouwer不动点定理

• 维数的拓扑不变性

• Jordan曲线定理

分析定理

• Heine-Borel定理

• 中间值定理

• 极值定理

拓扑同伦理论

• 左同伦,右同伦

• 同伦等价,变形收缩

• 基本群,覆盖空间

• 覆盖空间的基本定理

• 同伦群

• 弱同伦等价

• 怀特海定理

• 弗洛伊登塔尔悬置定理

• 神经定理

• 同伦扩张性质,Hurewicz共纤维

• 共纤维序列

• 斯特罗姆模型类别

• 拓扑空间上的经典模型结构