n实验室指向的物体

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指向的对象

这个条目是关于指向的对象(点集,点拓扑空间等）。比较的变体概念单体范畴中的点对象.

上下文

范畴理论

稳定同伦理论

指向的对象

想法

在一个类别 C类C类用一个终端对象 *∈C类\ast\，\in\，C，一个指向的物体 (X,x个)（X，X）是一个对象 XX配备有全局元素，因此带有同构表单的x个:*→Xx\、冒号\、ast\到x，通常称为基点.

指向对象与有人居住的物体选择的点是结构而不是财产特别是同态指向对象的同构在保留基点的原始类别中。换句话说C类C类是共切片类别 */C类\最后/C在终端对象.

（更广泛地说，人们可能会认为coslice范畴在任何对象下X∈C类X\，\英寸\，C作为“XX-指向的物体”。这在以下情况中很常见C类C类是一个单体范畴和X=我X=I是它的吗张量单位，在这种情况下单体范畴中的点对象。另请参阅广义元素.)

有一个明显的遗忘函子忘记了基点

*/C类 ⟶ C类 (X,x个) ↦ X.\开始{数组}{ccc}\ast/C&\向右长箭头&C\\（X，X）&\映射到&X\mathrlap｛\，.｝\结束{数组}

如果C类C类有有限的，有限的 副产品，此函子有一个左边 伴随函子它接受一个对象XX到副产品*⊔X\ast\sqcup X型，具有明显的点（该函子位于“也许是单子”). 这是经常写的X +X（X）_+并呼叫“XX有一个不相交的基点相连。”指向的对象相当于单子上的模为了这个单子。

定义

定义

让𝒞\数学{C}成为类别然后让X∈𝒞X\in\mathcal{C}成为对象.

这个切片类别 𝒞 /X\马查尔{C}（C）_{/X}是其类别

  • 对象是形态A类 ↓ X\数组{A\\向下箭头\\X}在里面𝒞\数学{C};

  • 形态是交换三角形 A类 ⟶ B ↘ ↙ X\数组{A&&\右长箭头&&B\\&{}{}\searrow&&\swarrow\\&X}在里面𝒞\数学{C}.

双重coslice范畴 𝒞 X/\数学{C}^{X/}是其类别

  • 对象是态射X ↓ A类\数组{X\\downarrow\\A}在里面𝒞\数学{C};

  • 形态是交换三角形 X ↙ ↘ A类 ⟶ B\数组｛&&X\\&&\swarrow&&\searrow\\A&&&\longrightarrow&&B｝在里面𝒞\数学{C}.

有一个规范遗忘函子

U型:𝒞 /X,𝒞 X/⟶𝒞U \；\冒号\；\马查尔{C}（C）_{/X}，\mathcal{C}^{X/}\longrightarrow\mathcal{C}

通过忘记到/自的语态给出XX.

我们这里重点介绍这类示例：

定义

对于𝒞\数学{C}一类别具有终端对象 *\上一次，的coslice范畴（定义。)𝒞 */\数学｛C｝^｛\ast/｝是相应的指向对象的类别：其

  • 对象是中的变形𝒞\数学{C}表单的*→x个X\ast\覆盖{x}{\到}x（因此是一个对象XX配备了选择点；即a指向的物体);

  • 形态是交换三角形表单的

    * x个↙ ↘ 年 X ⟶（f） Y（Y）\阵列{&&\最后\\&{}^{\mathllap{x}}\swarrow&&\searrow^{\mathrlap{y}}\\X&&\覆盖{f}{\longrightarrow}&&Y}

    （因此，在𝒞\数学{C}保留所选点）。

示例

例子

中的指向对象集合是点集.

例子

在教条属于笛卡尔单体范畴，全部内在观念属于代数的 结构具有单位，例如

特别是（即潜在的)指向周围类别中的对象。

例子

点拓扑空间和点单形集在以下方面很重要同伦理论（他们经常被称为基于)例如，用于讨论同伦纤维,循环空间对象等。另请参阅点拓扑空间上的经典模型结构，这使它们成为点同伦类型.

例子

（相对于指定类别）
如果𝒟\数学{D}是一个“定点类别“它包含一个零对象（因此终端对象这也是最初的)，则其每个对象都携带一个唯一的结构指向对象的通用属性属于初始对象).

此外，任何类别𝒞 */\数学{C}^{\ast/}指向对象的定点类别在这个意义上零对象属于𝒞 */\数学{C}^{\ast/}存在*→∃!*\ast\overset{\存在！}{\to}\ast这一定是术语“指向类”的起源。

或者，在“有针对性的类别”下理解指向的物体 (ℰ,E类)（\mathcal{E}，E）在里面类别，因此是一个类别ℰ\数学{E}配备有对象 E类∈ℰE\in\mathcal公司{E}。然后人们可能会说“E类E类-指向的对象“(X,x个 E类)（X，X_E）在里面(ℰ,E类)（\mathcal{E}，E）是形式的形态x个 E类:E类→Xx_E\冒号E\至x（即。广义元素属于XX在舞台上E类E类).

例子

尖头的n个n个-n个类别在脱圈假说；另请参阅k元单体n范畴特别是，一个尖集合的别致名称（Exp。)是一个0-元组单体0-范畴.

属性

遗忘和邻接基点

定义

让𝒞\数学{C}成为类别具有终端对象和有限结肠炎.然后遗忘函子 𝒞 */→𝒞\mathcal{C}^{\ast/}\到\mathcal{C}从其指向对象的类别，定义。，具有左伴随通过形成不相交联合(副产物)对于基点（“邻接基点”），这表示为

(−) +≔(−)⊔*:𝒞⟶𝒞 */.（-）_+\coloneqq（-）\sqcup\ast\；\冒号\；\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal}C}^{\ast/}\,.

零对象和指向的类别结构

备注

在一个指向对象的类别 𝒞 */\数学{C}^{\ast/}，定义。，的终端对象与初始对象，两者均由*∈𝒞\ast\in\mathcal{C}以独特的方式指出。

在这种情况下，有人说*\上一次是一个零对象还有那个𝒞 */\数学{C}^{\ast/}是一个定点类别.

因此，所有家庭成员 𝒞 */(X,Y（Y）)\数学{C}^{\ast/}（X，Y）属于𝒞 */\数学{C}^{\ast/}符合规范点集，由零态射

0:X⟶∃!0⟶∃Y（Y）.0\;\冒号\；X\重叠{\存在！}{\longrightarrow}0\重叠{\exists}{\lengrightarror}Y\,.

相反，如果𝒞\数学{C}有一个零对象，则每个对象都会以唯一的方式自动指向，从而𝒞\数学{C}相当于其指向对象的类别。

极限和结肠炎

提议

让𝒞\数学{C}成为类别和所有人限制和结肠炎.然后指向对象的类别 𝒞 */\数学｛C｝^｛\ast/｝，定义。具有所有限制和腹痛。

此外：

  1. 这些限制是中基础图的限制𝒞\数学{C}，极限的基点由其在𝒞\数学{C};

  2. 结肠炎是指𝒞\数学{C}图表的基点相邻.

证明

立即检查相关通用属性。有关详细信息，请参阅切片类别–限制和结肠炎.

楔形和和压碎产品

例子

给定两个指向的对象(X,x个)（X，X）和(Y（Y）,年)（年），然后：

  1. 他们的产品在里面𝒞 */\数学{C}^{\ast/}很简单(X×Y（Y）,(x个,年))（X乘以Y，（X，Y））;

  2. 他们的副产物在里面𝒞 */\数学{C}^{\ast/}必须使用prop中的第二个子句进行计算。：自该点起*\上一次必须与图表相连，它不是由中的副积给出的𝒞\数学{C}，但由推出在里面𝒞\数学{C}形式：

    * ⟶x个 X 年↓ (警察) ↓ Y（Y） ⟶ X∨Y（Y）.\阵列{\ast&\覆盖{x}{\longrightarrow}&x\\{}^{\mathllap{y}}\向下箭头&（po）&\向下箭头\\Y&\向右长箭头&X\vee Y}\,.

    这称为楔和对指向对象的操作。

一般为一套{X 我} 我∈我\{X_i\}_{i\inI}在里面𝒞 */\数学{C}^{\ast/}

  1. 他们的产品形成于顶部顶部新基点的规范归纳；

  2. 他们的副产物由上极限在里面顶部顶部在图上有一个相邻的基点，称为楔和 ∨ 我∈我X 我\vee_{i\在i}X_i中.

例子

对于XX一CW复合体，然后针对每个n个∈ℕn\in\mathbb{n}这个商第个，共个n个n个-骨骼(n个−1)（n-1）-骨架是楔和，定义。，第页，共页n个n个-球体，每个球体一个n个n个-的单元格XX:

X n个/X n个−1≃∨我∈我 n个S公司 n个.X^n/X^{n-1}\simeq\underset{i\ in i_n}{\vee}S^n\,.
定义

对于𝒞 */\数学{C}^{\ast/}一指向对象类别具有有限极限和有限结肠炎，的破碎积是函子

(−)∧(−):𝒞 */×𝒞 */⟶𝒞 */（-）\楔形（-）\;\冒号\；\数学{C}^{\ast/}\次\数学{C}^{\ast/}\长向右箭头\数学{C}^{\ast/}

由提供

X∧Y（Y）≔*⊔X⊔Y（Y）(X×Y（Y）),X \楔形Y\;\冒号\；\上一次\underset{X\sqcup Y}{\sqcup}（X\乘以Y）\,,

因此，由推出在里面𝒞\数学{C}

X⊔Y（Y） ⟶(身份证件 X,年),(x个,身份证件 Y（Y）) X×Y（Y） ↓ ↓ * ⟶ X∧Y（Y）.\阵列{X\sqcup Y&\overset{（id_X，Y），（X，id_Y）}{\longrightarrow}&X\乘以Y\\\向下箭头&&\向下箭头\\\ast&\向右长箭头&X\楔形Y}\,.

就楔和来自定义。，可以简洁地写为

X∧Y（Y）=X×Y（Y）X∨Y（Y）.X\楔形Y=\压裂{X\倍Y}{X\vee Y}\,.

这两种操作在稳定同伦理论:

符号名称范畴理论
X∨Y（Y）X \ V Y楔和副产物在里面𝒞 */\数学{C}^{\ast/}
X∧Y（Y）X \楔形Y破碎积张量积在里面𝒞 */\数学{C}^{\ast/}
例子

对于X,Y（Y）∈顶部十、 Y\在顶部，使用X +,Y（Y） +∈顶部 */X_+，Y_+\位于顶端^｛\ast/｝，定义。，然后

  • X +∨Y（Y） +≃(X⊔Y（Y）) +X_+\vee Y_+\simeq（X\sqcup Y）_+;

  • X +∧Y（Y） +≃(X×Y（Y）) +X_+\楔形Y_+\simeq（X\乘以Y）_+.

证明

以身作则,X +∨Y（Y） +X_+\vee Y_+由中的colimit给出顶部顶部在图表上

* ↙ ↘ X * * Y（Y）.\阵列{&&最后（&&\ast）\\&&&\swarrow&&\searrow\\X&\、\、&\ast&&&&\ast&\、\和Y} \,.

这很明显A类⊔*⊔BA\sqcup\ast\sqcup B然后，根据定义

X +∧Y（Y） + ≃(X⊔*)×(X⊔*)(X⊔*)∨(Y（Y）⊔*) ≃X×Y（Y）⊔X⊔Y（Y）⊔*X⊔Y（Y）⊔* ≃X×Y（Y）⊔*.\开始{对齐}X_+\楔形Y_+&\simeq（模拟）\frac｛（X\sqcup\ast）\times（X\sqcup\ast）｝｛（X\sqcup\ast）\vee（Y\sqcup\ast）｝\\&\simeq（模拟）\压裂{X\times Y\sqcup X\sqcup Y\sqcup\ast}{X\sqcupY\sqpup\ast{\\&\simeq（模拟）X\次Y\sqcup\ast\,.\结束{对齐}
例子

让𝒞 */=顶部 */\mathcal{C}^{\ast/}=顶部^{\ast/}是点拓扑空间.然后

我 +∈顶部 */I_+\在顶部^{\ast/}

表示标准间隔对象我=[0,1]I=[0,1]，具有不相交的相邻基点，def。。现在开始XX任何点拓扑空间，然后

X∧(我 +)=(X×我)/({x个 0}×我)X\楔形（I_+）=（X\次I）/（\{X_0\}\次I

是缩径气缸结束XX：形成普通气缸的结果XX，然后确定基点上的间隔XX有针对性。

（通常𝒞\数学{C}适当适应指向的物体𝒞 */\数学{C}^{\ast/}被称为未涂漆结构的“简化”版本。尤其是“减少悬挂“我们来到这里在下面.)

就像普通的圆筒一样X×我X次I从副产物 X⊔XX \sqcup X形成于顶部顶部，所以减少的循环子从副产物接收规范注入X⊔XX \sqcup X形成于顶部 */顶部^{\ast/}，这是楔和来自示例:

X∨X⟶X∧(我 +).X\ V形X\长向右箭头X\楔形（I_+）\,.

纤维和共纤维——核和共核

定义

给定一个态射（f）:X⟶Y（Y）f\冒号X\右长箭头Y在一个指向对象的类别 𝒞 */\数学{C}^{\ast/}，定义。具有有限的限制和结肠炎，

  1. 它的纤维或内核是拉回点包含的

    小谎(（f）) ⟶ X ↓ (铅) ↓ （f） * ⟶ Y（Y）\阵列{fib（f）&\向右长箭头&X\\\向下箭头&（pb）&\向下箭头^{\mathrlap{f}}\\\ast&\右箭头&Y}

  2. 它的共纤维或辅核是推出点投影的

    X ⟶（f） Y（Y） ↓ (警察) ↓ * ⟶ cofib公司(（f）).\阵列{X&\重叠{f}{\longrightarrow}（&Y）\\\向下箭头&（po）&\向下箭头\\\ast&\右箭头&cofib（f）}\,.
备注

在定义的情况下。，拉回和推出均等效计算为𝒞\数学{C}对于回调，这是prop的第一条。第二条规定，为了计算内推出力𝒞\数学{C}，首先将点连接到图上，然后在较大的图上进行共线

* ↘ X ⟶（f） Y（Y） ↓ * \阵列{\上一次\\&\searrow（西罗）\\&&X&\覆盖{f}{\longrightarrow}&Y\\&&\向下箭头&&\\&&\最后&&}

进行计算。但有人很容易检查，在这种特殊情况下，这不会影响结果。（技术术语是，在这种情况下，将较小的图包含到较大的图中，恰巧是最终函子.)

闭合单体结构

定义

让𝒞\数学{C}成为闭单群范畴具有有限极限.

对于X,Y（Y）∈𝒞 *十、 Y\in\mathcal{C}^{ast}中的两个尖头对象𝒞\数学{C}，他们的指向映射空间

[X,Y（Y）] *∈𝒞 */[X，Y]_*\英寸\数学{C}^{\ast/}

（“basepoint-preserving映射的对象”），是拉回

[X,Y（Y）] * ⟶ * ↓ (铅) ↓ [X,Y（Y）] ⟶ [1,Y（Y）]\数组{[X，Y]_*\\重叠{}{\longrightarrow}&\ast\\\向下箭头&（pb）&\向下箭头\\[X，Y]&\underset{}{\longrightarrow}&[1，Y]}

其中，态射[X,Y（Y）]→[1,Y（Y）][X，Y]\至[1，Y]由点引发*→X\ast\到X，和同态*→[*,Y（Y）]\ast\到[\ast，Y]是辅助到*⊗*→*→Y（Y）\ast\otimes\ast\to\ast\到Y.

谨致问候[X,Y（Y）] *[X，Y]_*作为一个由地图诱导的具有基点的指向对象*→[X,Y（Y）]\截至[X，Y]谁的辅助是*⊗X→*→Y（Y）\ast\otimes X\至ast\至Y.

提议

让𝒞\数学{C}成为闭单群范畴具有有限极限和有限结肠炎.

对于每个指向的对象X∈𝒞 *X\in\mathcal{C}^{ast}形成尖头的操作映射空间由于XX，定义。以及形成破碎积具有XX，定义。形成一对伴随函子

(X∧(−)⊣[X,−] *):𝒞 */↔𝒞 */.(X \楔形（-）\;\破折号\；[X，-]_\ast)\;\冒号\；\数学{C}^{\ast/}\左右箭头\数学{C}^{\ast/}\,.

这使得𝒞 */\数学{C}^{\ast/}本身a闭单群范畴，即对称的如果𝒞\数学{C}是张量单位是我 +我_+（定义。)的我我上的单分子结构单元𝒞\数学{C}.

(Elmendorf-Mandell 07，引理4.20)

备注

情况发生时𝒞\数学{C}是笛卡尔式的，或至少半自流的，是文学中最常见的。

备注

如果𝒞\数学{C}是单体的但不是关闭，定义相同的破碎积制造𝒞 */\数学｛C｝^｛\ast/｝ 单体的只要张量积𝒞\数学{C}在每个变量中分别保留有限的共鸣。

如果不是这样，那么最棒的产品可能无法关联。例如，普通类别上的粉碎产品顶部（没有任何精密度条件强加）不具有关联性。

对于基本更改这些结构的功能参见Wirthmüller上下文–示例–指向对象.

独行侠

指向的对象是单子上的代数的单子 X↦X⊔*X\映射到X\sqcup\ast（“也许是单子”). （单子的单位公理已经使其代数成为指向对象，在这种情况下，动作公理没有添加任何进一步的条件。）

请注意，如果足够结肠炎首先存在，那么这个函子就是一个普通的可及函子，因此是无障碍单子。这使得指向对象的类别继承了环境类别的良好属性，请参阅可达单子代数的范畴.

对地形进行分类

这个地形分类对于指向的对象是割前地形 PSh（磅/平方英寸）((FinSet（FinSet） *) 操作)PSh（（FinSet_\ast）^{op}）上相反类别第个，共个有限集合。请参阅对象理论的拓扑分类了解更多信息。

模型类别结构

提议

(指向对象上的模型结构)

让𝒞\数学{C}成为模型类别然后让X∈𝒞数学｛C｝中的X成为对象。然后两个切片类别 𝒞 /X\马查尔{C}（C）_{/X}以及coslice范畴 𝒞 X/\数学{C}^{X/}，定义。，携带模型结构本身–（co）切片范畴的模型结构，其中一个态射是弱等价，fibration或cofibration iff它在遗忘函子 U型U型是这样的𝒞\数学{C}.

特别是类别𝒞 */\数学{C}^{\ast/}属于指向的对象，定义。，在模型类别中𝒞\数学{C}这样就成为了一个模型类别。

证明

所述模型结构经检查后立即可用。

例子

对于𝒞=顶部 奎伦\mathcal{C}=Top_{Quillen}，的拓扑空间上的经典模型结构，然后是上的模型结构点拓扑空间通过支柱感应。我们称之为点拓扑空间上的经典模型结构 顶部 奎伦 */顶部{Quillen}^{\ast/}.它模型范畴的同伦范畴是经典点同伦理论 霍(顶部 */)Ho（顶部^{\ast/}）.

例子

指向模型结构中的fibrant对象𝒞 */\数学{C}^{\ast/}，道具。，是那些说谎的对象吗𝒞\数学{C}.

但是cofibrant在𝒞 *\数学{C}^{\ast}现在是那些基点包含在XX.

对于𝒞 */=顶部 */\mathcal{C}^{\ast/}=顶部^{\ast/}，则相应的共因子指向拓扑空间在性质上被称为空间具有非退化基点。请注意，点本身在顶部 奎伦顶部_｛被子｝，所以cofibrant点拓扑空间是特别的cofibran拓扑空间。

例子

对于𝒞\数学{C}任何模型类别，使用𝒞 */\数学{C}^{\ast/}它的尖头模型结构根据道具。，则相应的同伦范畴是，通过评论，规范地丰富在里面点集，因为它人-叛徒形式为

[−,−] *:霍(𝒞 */) 操作×霍(𝒞 */)⟶设置 */.[-，-]_\ast\;\冒号\；Ho（\mathcal｛C｝^｛\ast/｝）^\运算\次Ho（\mathcal{C}^{\ast/}）\长向右箭头设置^{\ast/}\,.
备注

如果𝒞\数学{C}是一个一元模型类含共纤维张量单位，然后在𝒞 */\数学{C}^{\ast/}（道具。)也是一个一元模型类、和破碎积⊣\仪表盘映射空间支柱的附加。是一个奎伦附加

(X∧(−)⊣(−) X):𝒞 */↔𝒞 */.(X \楔形（-）\;\破折号\；（-）^X)\;\冒号\；\数学{C}^{\ast/}\左右箭头\数学{C}^{\ast/}\,.

工具书类

上次修订时间：2023年6月5日11:35:50。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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