n实验室平行运输

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∞\英菲-Chern-Weil理论

∞-Chern-Weil理论

∞-Chern-Simons理论

∞-Wess-Zumino-Witten理论

成分

定义

示例

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想法

一捆绑上的连接 ∇\纳布拉对于π:P（P）→X（X）\圆周率：P到X一G公司G公司-主束对分配给每个路径的数据进行编码γ:[0,1]→X（X）\γ：[0,1]\到X一同态

特拉 ∇(γ):P（P） γ(0)→P（P） γ(1)tra_\nabla（\gamma）：P_{\gama（0）}到P_{\ gamma（1）}

在纤维这样，该赋值很好地（例如，平滑地）依赖于路径的选择，并且与路径的组合兼容。

此作业称为平行运输连接的。

并行的思想

“平行”一词来源于对捆绑上的连接：原配方Ehresmann连接.

在该公式中，连接在每一点都被编码第页∈P（P）在p中通过对切线空间 吨 第页P（P）T_p压力作为一个直接和 吨 第页P（P）≃V（V） 第页⊕H（H） 第页T_p p\simiq V_p\oplus H_p属于向量空间，因此

  • V（V） 第页=克尔π *| 第页V_p=\ker\pi_*|_p是内核将总空间中的向量发送到基础空间中的矢量的投影图的第页:P（P）→X（X）p:p\到X);

  • H（H） 第页⊂吨 第页P（P）H_p\子集T_p p是一个选择补语，这样这个选择在P（P）P（P）在明显的意义上，并与G公司G公司-行动在P（P）P（P）.

中的向量V（V） 第页V_p（V _ p）被称为垂直的，中的向量H（H） 第页H_p（_p）被称为水平的有人可能会认为这是局部地定义基础空间在整个空间中的水平位置，相当于在局部地确定一个“平滑变化的局部平凡化”P（P）P（P）.

更准确地说，给定这样一个水平子空间的选择，每条路径都有γ:[0,1]→X（X）\γ：[0,1]\到X以及各种电梯选择γ^(0)∈P（P）\P中的hat\gamma（0）起点的γ(0)\伽马（0）到束的总空间，a独特的升降机 γ^:[0,1]→P（P）\hat\gamma:[0,1]\到P总空间的整个路径：

γ^(0) →γ^ γ^(1) ∈ P（P） ↓ π γ(0) →γ γ(1) ∈ X（X）\阵列{\帽子\gamma（0）&\stackrel{\hat\gamma}{\to}&\hat\gamma（1）&&\在&P中\\&&&&&\向下箭头^{\mathrlap{\pi}}\\\伽玛（0）&\stackrel{\gamma}{\to}&\gamma（1）&&\在X中（&X）}\,

这样的话γ^\帽子\伽马到处都是平行（至X（X）X（X）)因为它的所有切向量都位于所选的水平子空间中：

(∂ σγ^)(σ)∈H（H） γ(σ)⊂吨 γ(σ)P（P）.H_{γ（σ）}子集T_{γ\,.

换句话说，这意味着给定一条路径γ\伽马射线向下插入X（X）X（X），我们可以运输任何一点第页∈P（P） γ(0)p_{\gamma（0）}中的p\高于起点平行的（关于平行性的概念，由∇\纳布拉)沿着γ\伽马射线，以找到唯一确定的点特拉 ∇(γ)(第页)∈P（P） γ(1)p_{gamma（1）}中的tra_\nabla（\gamma）（p）在端点上。

分类理论视角

光纤同态到路径的并行传输分配

(x个→γ年)↦(P（P） x个→特拉 ∇(γ)年)（x\stackrel{\gamma}{\to}y）映射到（P_x\stakrel{tra_\nabla（\gamma）}{\to}y）

具有以下属性：

  • 它在以下情况下不变薄同伦路径；

  • 它与路径合成兼容，并向同一同态发送常量路径；

  • 它将平滑的路径族发送到相容的平滑同态族。

这可以等效但更简洁地表述如下：

我们说微分广群对于内广群属于微分空间.

光滑流形中的光滑路径X（X）X（X）自然形成差异群，称为路径广群 P（P） 1(X（X）)P_1（X）。对象是中的点X（X）X（X），形态是薄同伦-在边界附近是常数的光滑路径类，合成是路径的串联。

对于P（P）→X（X）P至X任何G公司G公司-束，自然也有微分群在(P（P）)在（P）–Atiyah Lie广群属于P（P）P（P）。对象是中的点X（X）X（X），语态是的同态G公司G公司-托索尔在纤维超过这些点。

那么平行传输的上述性质相当于说我们有一个内函子

特拉:P（P） 1(X（X）)→在(P（P）)传输：P_1（X）到At（P）

这就是对象上的标识。此外，这个函子独特地描述了连接在P（P）P（P）它的来源。这意味着我们可以识别P（P）P（P）和它们的平行传输函子。

但即使是包裹P（P）P（P）它本身是用这种函子编码的。如果我们不考虑内部群胚和内部函子的范畴，而是考虑更大的群胚2-地形属于差异烟囱–烟囱结束CartSp公司.

然后我们可以简单地看一下去循环广群B类G公司\数学BF{B} G公司，它有一个对象和G公司G公司作为它的霍姆塞特并考虑态射

特拉:P（P） 1(X（X）)→B类G公司传输：P_1（X）到mathbf{B} G公司

在2-topos中。这些现在由算符发现它们对一个切赫摩托车对于G公司G公司-主束P（P）P（P）以及通过它的连接的并行传输。

有关详细信息，请参阅

也有不同的群体化身基本广群 Π 1(X（X）)\图_1（X）属于X（X）X（X）。其形态已满同伦-路径类。有一个标准投影P（P） 1(X（X）)→Π 1(X（X）)P_1（X）\至\Pi_1（X）它将路径的thin-homotopy类发送到相应的全同伦类。

一个并行传输函子特拉:P（P） 1(X（X）)→G公司传输：P_1（X）至G因素通过Π 1(X（X）)\图_1（X）如果相应的连接平的因为它曲率形式消失了。

物理学

在物理学，一个捆绑上的连接结束X（X）X（X）型号a规范场例如电磁场或者更一般地说Yang-Mills油田或的字段重力在上时空 X（X）X（X）.

这个军队这种规范场对传播在其上的带电粒子施加的力X（X）X（X）（即。电子,夸克和通常的大质量粒子）在规范场连接到其轨道的平行输运分配中被精确编码。

更准确地说，指数化动作功能对于电子传播X（X）X（X）在电磁场的存在下∇\纳布拉是中路径空间上的函数X（X）X（X）由提供

γ↦经验(我S公司 家属(γ))⋅特拉 ∇(γ),\gamma\mapsto\exp（i S_{kin}（\gamma））\cdot tra_\nabla（\gama）\,,

其中第一个术语是标准动力学作用.如果∇\纳布拉是一个平凡bundle上的（非平凡）连接，那么，如前所述在下面它由微分形式 一∈Ω 1(X（X）)欧米茄^1（X）–称为矢量电势在物理方面，我们有

特拉 ∇(γ)=经验(我∫ [0,1]γ *一).tra_\nabla（\gamma）=\exp\big（i\int_{[0,1]}\gamma^*A\big）\,.

这个欧拉-拉格朗日方程由这个函数精确地表示洛伦兹力由编码一一作用于粒子。

如果不是看量子力学在固定背景规范场下带电的量子粒子量子场论对于规范场本身，我们可以使用粒子的作用函数来探查这些背景场并获得它们的量子可观察性。

这个相反的任务修理一条小路γ\伽马射线然后将并行传输视为所有连接空间上的功能X（X）X（X）

特拉 (−)(γ):连接→纤维−同态tra{（-）}（\gamma）：与光纤同态的连接

被称为威尔逊线-可观察的理论的基础。或者更确切地说，它在路径积分通过规范理论的作用泛函进行加权，简图上称为：

W公司 γ:=⟨特拉 (∇)(γ)⟩=∫D类∇经验(我S公司 测量理论(∇))特拉 ∇(γ).W_\gamma:=langle tra_{（nabla）}（\gamma）范围= \整型D\nabla\；\exp（i S_{规范理论}（nabla））tra_\nabla（\gamma）\,.

特殊情况

小束：1型的平行运输

的P（P）→X（X）P至X是一个平凡束在那里面P（P）=X（X）×G公司P=X\乘以G，则此上的连接等效地编码在李代数值1-形式

一∈Ω 1(X（X）,ℊ)A\in\Omega^1（X，\mathcal{g}）

在X（X）X（X）.

就这一点而言，并行传输是解决微分方程.

对于γ:[0,1]→X（X）\γ：[0,1]\到X我们有回拉式1表γ *一∈Ω 1([0,1])\伽马^*A\in\Omega^1（[0,1]）。对于（f）∈C类 ∞([0,1],G公司)f\在C^\输入（[0,1]，G）中值在李群 G公司G公司，考虑微分方程

d日（f）+ρ(（f）) *(γ *一)=0,d f+\rho（f）_*（\gamma^*A）=0\,,

哪里d日（f）:吨[0,1]→吨G公司d f:T[0,1]\至T G是的微分（f）（f）以及在哪里ρ:G公司×G公司→G公司\rho:G\乘以G\到G在左边吗行动属于G公司G公司自身（即仅在G公司G公司)和第页(（f）) *:吨G公司→吨G公司r（f）_*：T G至T G它的微分与定义标识的使用𝔤≃吨 e（电子）G公司\mathfrak｛g｝\simeq T_e g我们接受第页(（f）) *(一)r（f）_*（A）成为复合材料吨[0,1]→γ *一𝔤↪吨G公司→第页(（f）) *吨G公司T[0,1]\stackrel{\gamma^*A}{\to}\mathfrak{g}\hookrightarrow T g \stackrel{r（f）_*}{\to}T g.

如果G公司G公司是一个矩阵李群例如正交群 O（运行）(n个)O（n）或酉群 U型(n个)U（n），那么它的李代数也与矩阵相一致，我们可以将其简单地写成

d日（f）+γ *(一)⋅（f）=0,d f+\gamma^*（A）\cdot f=0\,,

其中点是矩阵乘法。

根据一般结果微分方程，这类方程对每个值的选择都有唯一的解（f）(0)f（0）.

定义

平行运输一∈Ω 1(X（X）,𝔤)A\in\Omega^1（X，\mathfrak{g}）沿着一条小路γ:[0,1]→X（X）\γ：[0,1]\到X我们写的

特拉 一(γ):=P（P）经验(∫ [0,1]γ *一)∈G公司tra_A（\gamma）：=P\exp（\int_{[0,1]}\gamma^*A）\in G

是值（f）(1)∈G公司f（1）\G中方程的唯一解d日（f）+ρ(（f）) *(一)=0d f+\rho（f）_*（A）=0具有初始值（f）(0)=e（电子）f（0）=e（中的中性元素G公司G公司).

这里的符号来源于特殊情况，其中G公司=ℝG=\mathbb{R}是以下组实数.在这种情况下李代数 𝔤≃ℝ\mathfrak{g}\simeq\mathbb{R}是阿贝尔的，上面的微分方程很简单

d日（f）=γ *(一)∧（f）d f=伽马^*（A）\楔形f

对于实值函数（f）∈C类 ∞([0,1])f\在C^\输入（[0,1]）中以及独特的解决方案（f）(0)=e（电子）=0f（0）=e=0是积分的指数一一:

特拉 一(γ)=经验(∫ [0,1]γ *一).tra_A（\gamma）=\exp（\int_{[0,1]}\gamma^*A）\,.

就一般非贝拉教派而言𝔤\马特拉克{g}这个简单的指数公式给出了错误的结果。可以看出，下面给出了与正确结果稍好的近似值

经验(∫ [0,1/2]γ *一)⋅经验(∫ [1/2,1]γ *一)\exp（\int_{[0,1/2]}\gamma^*A）\cdot\exp（\ int_{[1/2,1]}\gamma^*A）

以及更好的近似值

经验(∫ [0,1/三]γ *一)⋅经验(∫ [1/三,2/三]γ *一)⋅经验(∫ [2/三,1]γ *一)\exp（\int_｛[0,1/3]｝\gamma ^*A）\cdot\exp（\int_｛[1/3,2/3]｝\gamma ^*A）\cdot\exp（\int_{[2/3,1]}\gamma^*A）

等等，正确的结果是这个序列的极限——如果仔细定义的话——当我们在越来越小的路径上分段积分时。

这称为路径阶积分.上述公式中的“P”是“路径排序”的缩写。这个符号可能起源于物理学其中，上述内容称为戴森公式.

更高的并行传输

概念捆绑上的连接概括为2束上的连接.三线束上的连接一般来说∞束上的连接.来的时候有一个概念高级并行传输在尺寸大于1的歧管上。

请参阅高级并行传输了解详细信息。

工具书类

概述

(…)

在平行运输方面

对于一个捆绑上的连接。以下列出了与连接按其等效编码的语句相关的引用平行运输.

显然，这是一个最古老的想法之一主束 P（P）→X（X）P至X具有连接 ∇\纳布拉可以从其全息图围绕连接基空间中任何固定基点的所有平滑循环X（X）X（X）出现在中

  • S.Kobayashi，Comptes Rendus，第238页，第443-444页。(1954). (网状物)

随后，我们在

对出现的可微情况的详细讨论如下

  • Costake Teleman公司基本法集团的道德化《科学年鉴》（Annales Scientifiques de l’ecole Normale Supérieure）三77 (1960) 195-234 [编号：ASENS_196_3_77_3_195_0]

  • Costake Teleman，Annali di Matematica，Pura ed Applicata，LXII，379-412。(1963).

在特殊情况下扁平连接件（另请参见本地系统)这是一个经典的说法，一个典型的早期解释是：

在介绍中回顾了这段历史：

他自己提供了证据。Barret隐式使用差异空间循环空间上的结构。

后续行动：

关于1形式如何在沿路径诱导的并行传输中编码的注释也在

在

  • 杰西·勒万多夫斯基循环组、全息图、路径束和路径连接，类。量子引力。10 (1993) 879-904 (pdf格式)

等价性的陈述归因于

  • Jeeva Anandan，gavity和规范场中的完整群，私人。Conf《Plystcs中的微分几何方法》（fieste 1981）编辑G Denardo和H.D.Doebner（新加坡，世界科学出版社）(塔尖：169409)

其中显示了平行运输是它来自连接的光滑束的必要条件。巴雷特也表明这已经足够了。

Lewandowski在此基础上增加了具有连接的束和循环子集的等价公式，在这些循环子集周围，相应的并行传输是微不足道的。

大约在同一时间出现

这将这些思想从循环推广到一般路径。这些作者介绍了路径的驻留瞬间的概念，并注意到在并行传输所遵循的路径上重新表述最大等价关系的最优雅的方法是薄同伦.

巴雷特最初有一些非常相似但略有不同的东西。利用Caetano和Picken关系X（X）X（X）变成石斑P（P） 1(X（X）)\数学BF{P} _1个（十）–路径广群–内部到差异空间.

根据局部函数数据进行讨论，这有助于将其推广到高级并行传输在中给出

有一个快速证明，即带有连接的捆绑包在其沿着路径的并行传输中编码

有关更多信息，请参阅参考资料捆绑上的连接.

关于并行传输的讨论切线束依据综合微分几何（动机是讨论重力)在中

上次修订时间：2024年8月21日07:36:17。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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