目录

想法

安球形的很像光滑歧管但可能有奇点形式为固定点属于有限的，有限的 组-行动.

其中a光滑歧管是一个空间局部建模于笛卡尔空间/欧几里德空间 $\矩阵{R}^n$，一个球形的一般来说是空间本地建模的光滑的 动作群(同伦商)$\mathbb{R}^n\sslash G$的有限群 $G公司$ 表演在上笛卡尔空间.

事实证明，这一点得到了广泛的理解(莫迪伊克Pronk 97,莫尔迪克02)通过说圆形是适当的 故事 李广群. (森田当量李群胚对应于相同的球形。）

这个词球形的于引入(瑟斯顿1992)，而原来的名字是$V（V）$-歧管(左武)，从更严格的意义上来说，假设行动属于有限群图表上总是有效的。现在这些被称为有效球形有限群的全局商是整体商orbifold.

在代数几何一个奇异的变化称为（代数）球形的如果它只有所谓的球形奇点.

定义

orbifold是由球形广群.

属性

概述

• 可以考虑二分类正确的李群胚和球面将是某些双范畴的对象本地化这两类的结果Moerdijk-Pronk莫尔迪克·普龙克97).

• 等价地，每个orbifold都是光滑流形的商行动有限维的李群使用有限稳定器在每一点上。（例如(Adem-Leida-Ruan 2007年)，推论1.24）

整体商orbifolds

在(ALR 07，定理1.23)据说每一个有效的球体$X（X）$（仿紧，Hausdorff）同构于整体商orbifold，特别是全球商$O（n）$（其中$n个$是的尺寸$X（X）$)作用于框架束属于$X（X）$（这是一个歧管）。

（Co）同源性

已经注意到，作为具有orbifold结构的拓扑空间，orbifolds的底层拓扑空间的拓扑不变量是不合适的，但必须加以纠正，从而导致球形欧拉特征,orbifold上同调等。在这方面有用的结构之一是惯性球叶（原始orbifold的惯性堆栈），它在orbifold-量子场论的Hilbert空间中产生“扭曲扇区”，也在适当的上同调空间中产生扭曲扇区。进一步的概括给出了多扭曲扇区。

示例

• 圆形的一些基本构件：

  a的商球由离散的 子群的特殊正交群旋转的是一个球体，而球体可以通过从普通球体上切下来获得光滑流形并将这些球形商粘合在一起。

• 这个椭圆曲线的模叠加超过复数是一个圆形的，是同伦商的上半平面由特殊线性群代理莫比乌斯变换.

• 对于$\数学{G}$任何圆形的，然后映射空间 $\mathcal{G}^{\Pi（S^1）}=\mathcal{G}^{B\mathbb{Z}}$又是一个球体，叫做惯性球叶.

• 枕套圆形

• 纺锤形

• G2眼眶

• 透镜空间

• ADE奇点

• 公制圆锥

• 另请参见兰格2024

相关概念

• 体面的眼眶,良好的球形,很好的球形

• étale广群,可微堆栈

• 或显示屏,拓扑堆栈

• 黎曼球冠

  • 扁球形

• 洛伦齐安·奥比弗尔德

• 复式球形

• 辛球面

• 超微生物膜

• 离散扭转

• 高等微分几何的动机

• 球形欧拉特征

• 轨道折叠K理论,球形微分K理论

Orbifold在微分几何什么Deligne-Mumford堆栈在中代数几何。另请参阅几何不变量理论和GIT稳定点.

Orbifold可以被视为分层空间.

另请参见

• étale广群

• 稳定映射

• orbifold上同调

• 格罗莫夫书面理论

Orbifolds在弦理论:

• 分数D膜

  置换D膜

• ADE奇点

• 定向流形

工具书类

概述

原始条款：

• 一郎·萨塔克,流形概念的推广，程序。美国国家科学院。科学。美国42（1956），359–363(doi:10.1073/pnas.42.6.359)

• 一郎·萨塔克,Gauss–Bonnet定理$V（V）$-歧管，J.数学。日本社会9（1957），464–492(欧几里得：1261153826)

• 威廉·瑟斯顿:三维几何和拓扑初稿，明尼苏达大学（1992）[1979:方舟：/13960/t3714t34v, 1991:pdf格式, 2002:pdf格式,pdf格式]

  前三章以扩展形式出版为：

• 威廉·瑟斯顿:三个流形的几何与拓扑普林斯顿大学出版社（1997）[国际标准图书编号：9780691083049,维基百科页面]

  特别是在第13章

• 安德烈·海夫利格,完整群和分类群《阿斯特里斯克》第116期（1984年），第70-97页(编号：AST_1984__116__70_0/)

特别是在复杂几何形状:

• 沃尔特·刘易斯·贝利,用一组解析同胚讨论解析流形的商，PNAS 40（9）804-808（1954）(doi:10.1073/pnas.40.9.804)

• 沃尔特·刘易斯·贝利,V流形的分解定理《美国数学杂志》第78卷第4期（1956年10月），第862-888页(jstor:2372472)

要仔细比较这些原始文章中的定义，请参见IKZ 10型.

基本轨道理论综述：

• Daryl Cooper、Craig Hodgson、Steve Kerckhoff、，三维Orbifold和锥流形，MSJ回忆录第5卷，2000(pdf格式,欧几里得：1389985812)

• 列克·莫尔迪克,Janez先生，第2.4节：叶理和李群胚简介剑桥高等数学研究91, 2003. x+173页，ISBN:0-521-83197-0(doi:10.1017/CBO9780511615450)

• 查尔斯·博耶,Krzysztof Galicki公司，第4章：佐佐木几何《牛津数学专著》，牛津大学出版社，2007年(doi:10.1093/acprof:oso/9780198564959.001.0001)

• 亚当·凯，二维Orbifold, 2007 (pdf格式)

• 迈克尔·戴维斯，关于球体和反射群的讲座, 2008 (pdf格式)

• 琼·波蒂，球形生物简介, 2009 (pdf格式)

• 安德鲁·斯诺登，orbifolds简介, 2011 (pdf格式)

• 亚历杭德罗·阿德姆米歇尔·克劳斯，关于轨道和群上同调的讲座(pdf格式,pdf格式)

• Francisco C.Caramello Jr，orbifolds简介(arXiv:1909.08699)

另请参见

• 维基百科，轨形

  （主要针对瑟斯顿方法).

打开良好的球形:

• 克里斯蒂安·兰格（Christian Lange）：很好，但不是很好的球形[arXiv公司：2404.14234]

教科书帐户：

• 约翰·雷利夫,几何Orbifold，中的第13章双曲流形的基础，数学研究生课程149，Springer 2006(doi:10.1007/978-0-387-47322-2,pdf格式)

• 迈克尔·卡波维奇，第6章：双曲流形与离散群，现代Birkhäuser经典，Birkhäuser 2008(doi:10.1007/978-0-8176-4913-5)

应用于曲线的模空间和黎曼曲面的模空间:

• 纪丽珍，郑东尧,变换群与曲线的模空间《波士顿国际出版社2011》(国际标准图书编号：9781571462237)

打开黎曼球形:

• 克里斯蒂安·兰格，从度量的角度看Orbifold(arXiv:1801.03472)

• Renato G.Bettiol、Andrzej Derdzinski、Paolo Piccione、，Teichmüller理论与平面流形的坍塌，Annali di Matematica（2018）197:1247(arXiv公司：1705.08431,doi:10.1007/s10231-017-0723-7)

• S.T.Hyde、S.J.Ramsden和V.Robins，使用圆形物统一和分类二维结晶模式《水晶学报》。(2014). a70319-337(doi:10.1107/S205327331400549X)

中的应用调查数学物理尤其是在弦理论:

• 亚历杭德罗·阿德姆,杰克·莫拉瓦,阮永斌,数学和物理中的奥比弗尔德，当代数学310美国数学学会，2002

Orbifold通常显示为模空间在微分几何设置中：

• 乔尔·罗宾,迪特玛·A·萨拉蒙,Deligne–Mumford的建筑球形的《欧洲数学杂志》。学会8，Nº4（2006）611-699，arXiv：数学/0407090 MR2009d:32012,勘误表《欧洲数学杂志》。社会（JEMS）9（2007），第4期，901-905，国防部

球形的推广加权分支歧管在中进行了讨论

• 杜萨·麦克达夫,群胚、分支流形和多段，J.辛几何。第4卷第3期（2006），259-315(欧几里德项目).

打开球形的,orbifold上同调特别是在陈儒上同调和orbifold K理论:

• 亚历杭德罗·阿德姆,约翰·莱达,阮永斌,Orbifold与Stringy拓扑剑桥数学丛书171(2007) (doi:10.1017/CBO9780511543081,pdf格式)

作为李群胚

关于球形as的讨论李群胚/可微堆栈:

• 列克·莫尔迪克,多雷特·普龙克,Orbifold、滑轮和群胚，K理论12 3-21（1997）(pdf格式,doi:10.4171/LEM/56-3-4)

• 列克·莫尔迪克,作为群胚的Orbifold：简介，单位：亚历杭德罗·阿德姆,杰克·莫拉瓦,阮永斌（编辑）数学和物理中的奥比弗尔德，当代数学310，AMS（2002），205-222(arXiv:数学。DG/0203100)

• 尤金·勒曼,Orbifold作为堆栈？，恩塞恩。数学。563-4 (2010) 315-363 [arXiv:0806.4160,doi:10.4171/LEM/56-3-4]

审查：

• 亚历山大·阿蒙塔，通过李群胚的球曲面几何2012年澳大利亚国立大学(arXiv公司：1309.6367)

拓扑圆形as的类似讨论拓扑堆栈:

• 维斯塔·库福尔，多雷特·普龙克，卡门·罗维，劳拉·斯卡尔考特尼·撒切尔，基于群胚的序空间及其映射空间：一种分类方法，《当代数学》641（2015）：135-166(arXiv:1401.4772)

讨论中的相应观点代数几何，通过Deligne-Mumford堆栈:

• 安德鲁·克雷什,关于Deligne-Mumford堆栈的几何(doi:10.5167/uzh-21342,pdf格式)作者：D.Abramovich、A.Bertram、L.Katzarkov、R.Pandharipande、M.Thaddeus（编辑）代数几何：西雅图2005《纯数学研讨会论文集80》，罗德岛州普罗维登斯：美国数学学会，2009年，259-271(聚苯乙烯-80-1)

这个映射堆栈关于眼眶的讨论

• 陈伟民,关于球面之间映射的概念，I.函数空间、Commun。康斯坦普。数学。8（2006），第5期，569–620(arXiv:math/0603671,doi:10.1142/S02199706002246).

• 大卫·罗伯茨,雷蒙德·沃佐,Orbifold的平滑Hom-Stack，In:Wood D.，de Gier J.，Praeger C.，Tao T.（编辑）2016矩阵年鉴。矩阵图书系列，第1卷。查姆施普林格（2018）(arXiv:1610.05904,doi:10.1007/978-3-319-72299-33)

讨论主束和纤维束在圆形上：

• Camille Laurent-Gengoux公司,Jean-Louis图,徐萍（Ping Xu）,群胚上主丛的Chern-Weil映射，数学。Z.255451-491（2007年）(arXiv:数学/0401420,doi:10.1007/s00209-006-0004-4)

• 克里斯托弗·西顿，坏Orbifold向量丛的特征类《几何与物理杂志》57（2007），第11期，2365–2371(arXiv:math/0606665)

圆形的预期关系(或显示屏)至整体等变同伦理论:

• 斯特凡·施威德,Orbis空间、正交空间和泛紧李群(arXiv:1711.06019号)（关于与或显示屏/拓扑堆栈)

作为微分空间

打开球形的被视为天真的本地人商空间（而不是同伦商/李群胚/可微堆栈)但形成于微分空间:

• 帕特里克·伊格莱西亚斯·泽莫尔,Yael Karshon公司Moshe Zadka，Orbifold作为差异《美国数学学会学报》362（2010），2811-2831(arXiv:数学/0501093)

• 乔丹·瓦茨,Orbifold的微分结构，《落基山数学杂志》，第47卷，第1期（2017年），第289-327页(arXiv:1503.01740)

和作为分层的，分层的 微分空间:

• 塞拉普·居勒,帕特里克·伊格莱西亚斯·泽穆尔,Orbifold作为分层微分学微分几何及其应用86(2023) 101969 [doi:10.1016/j.difgeo.2022.101969]

从更广泛的背景来看有结合力的 高等微分几何:

• 希沙姆·萨蒂,Urs Schreiber公司,真Orbifold上同调(arXiv:2008.01101号)

• 大卫·杰斯·迈尔斯,综合微分内聚同伦理论中作为微线性类型的Orbifold[arXiv公司：2205.15887]

Orbifold cobordism公司

奥比福尔德配体在中进行了讨论

• K.S.Druschel，定向Orbifold协基数《太平洋数学杂志》。，164(2) (1994), 299-319 (doi:10.2140/pjm.1994.164.299,pdf格式)

• K.S.Druschel，定向三维Orbifold的协同性《太平洋数学杂志》。，bf 193（1）（2000），45-55。

• 安德烈斯·安吉尔，Orbifold cobordism公司(pdf格式)

另请参阅球状钴中毒.

切向结构在球形的（在因子分解同源性):

• 蒂姆·威林克,全局商轨道的等变因子分解同调(arXiv:1810.12021,对话pdf)

• 约翰，对不起，Orbifold bordism与有限orbispectra的对偶(arXiv:2006年12月702日)

弦论中

在微扰弦理论，球形为目标空间对于一串 sigma模型第一次考虑是在

• 兰斯·狄克逊,杰夫·哈维,瓦法,爱德华·维滕,球体上的字符串，核物理B卷2611985，第678-686页(doi:10.1016/0550-3213（85）90593-0)

• 兰斯·狄克逊,杰夫·哈维,瓦法,爱德华·维滕,圆球上的弦（二），核物理B卷274，第2期，1986年9月15日，第285-314页(doi:10.1016/0550-3213（86）90287-7)

然后在

• 罗贝特·捷格拉夫,瓦法,埃里克·韦尔兰德,赫尔曼·维尔林德,orbifold模型的算子代数，公共数学。物理学。第123卷第3期（1989），485-526(欧几里得：1104178892)

• 埃里克·扎斯洛,拓扑orbifold模型与量子上同调环，公共数学。物理学。156（1993），第2期，301–331。

另请参阅：

• 斯特凡诺·贾卡里，罗伯托·沃尔帕托,弦球的新观点[arXiv公司：2210.10034]

有关orbifolds的更多参考，请参见弦理论另请参阅

• 黎曼球冠,环形褶皱

• 分数D膜

• Gepner模型

• 定向流形

• RR场蝌蚪消除

审查杂合的 弦现象学在圆形上：

• 索尔·拉莫斯·桑奇,迈克尔·拉茨,异质Orbifold模型，单位：量子引力手册施普林格（2024）[doi:10.1007/978-981-19-3079-9,

  arXiv:2401.03125]

讨论爆破球形的奇点在弦论中：

• 保罗·阿斯宾沃尔,弦理论中Orbifold奇点的求解(arXiv:hep-th/9403123)

依据顶点算子代数:

• 黄一智,顶点算子代数的表示理论与orbifold共形场理论(arXiv:2004.01172年)

字符串上下文中的orbifold综述KK兼容和交叉D膜模型:

• D.Bailin、A.Love、，弦理论的Orbifold紧化，物理。代表。315 (1999) 285-408 (doi:10.1016/S0370-1573（98）00126-4,塔尖：504382)

• 凯特琳·温德兰,K3的Orbifold构造：共形场论与几何之间的联系，英寸数学和物理中的奥比弗尔德(arXiv:hep-th/0112006)

• Joel Giedt，杂种Orbifold(arXiv:hep-ph/0204315)

• 迪特尔·吕斯特、S.Reffert、E.Scheidger、S.Stieberger、，解析环面球曲面及其定向曲面、高级技师。数学。物理12:67-1832008(arXiv:hep-th/0609014)

• 苏珊娜·雷弗特，用于字符串压缩的Geometer工具包，讲座地点粒子物理和宇宙学的弦论和M理论方法, 2007 (arXiv公司：0706.1310)

• 路易斯·伊瓦涅斯,安吉尔·乌兰加，第8章弦理论和粒子物理——弦现象学导论，剑桥大学出版社2012(doi:10.1017/CBO9781139018951)

• 拉尔夫·布卢门哈根,迪特尔·吕斯特,斯特凡·泰森，第10.5章环形球体，第页，共页弦论的基本概念理论和数学物理系列第585-639页施普林格2013部分

对于球形的G2-流形对于G2流形上的M-理论:

• 鲍比·阿查里亚,M理论、乔伊斯·奥比福尔德和超级杨美尔高级Theor。数学。物理学。三(1999) 227-248 [arXiv:hep th/9812205]

• 弗兰克·雷德格尔,$二氧化硫$-具有ADE奇异性的K3曲面的球形[arXiv公司：1512.05114]

• 弗兰克·雷德格尔,$二氧化硫$-具有ADE奇异性的圆形[pdf格式]

和用于杂合的 弦现象学:

• 索尔·拉莫斯·桑奇,迈克尔·拉茨,异质Orbifold模型，英寸量子引力手册施普林格（2024）[arXiv:2401.03125,doi:10.1007/978-981-19-3079-9]

对于拓扑字符串这个作为拉-推变换的路径积分目标球状体-类似于格罗莫夫书面理论是用于Deligne-Mumford堆栈–首次考虑于

• 陈伟民,阮永斌,奥比福德·格罗莫夫——书面理论，英寸数学和物理中的奥比弗尔德（威斯康星州麦迪逊，2001），25-85，康特姆。数学。，310，美国。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，2002年(arXiv:数学/0103156)

复习并提供更多提示：

• 丹·阿布拉莫维奇,关于轨道的Gromov-Witten不变量的讲座(arXiv:数学/0512372)

关于非超对称扁球形属于超重力理论：

• 阿纳玛丽亚·丰特（Anamaria Font），亚历克西斯·埃尔南德斯（Alexis Hernandez），非超对称Orbifold，编号。物理学。B类634(2002) 51-70 [arXiv:hep-th/0202057]

特别是有通量的 KK压缩属于D=6超重力上枕套圆形:

• 克里斯托夫·卢德林，6D超重力：扭曲解和重力介导的超对称破缺，博士论文，汉堡（2006）[doi:10.3204/DESY-THESIS-2006-020]

• Gero von Gersdorff，六维Orbifold上的反常现象，JHEP 0703:083（2007）[arXiv:hep-th/0612212]

• 马库斯·迪里格尔,六维通量压缩的几个方面，博士论文，汉堡（2017）[doi:10.3204/PUBDB-2017-09253]

打开超重力 KK兼容（和膜 包裹打开）纺锤形球形:

• 费列罗,杰罗姆·P·甘特莱特胡安·曼努埃尔·佩雷斯·伊皮尼亚，达里奥·马泰利,詹姆斯·斯帕克斯,D3膜包裹在心轴上，物理。修订稿。126111601 (2021) [arXiv:2204.02990,doi:10.1103/PhysRevLett.126.111601]

• 费列罗,杰罗姆·P·高特莱特,达里奥·马泰利,詹姆斯·斯帕克斯,M5-缠绕在主轴上的起重机，J.高能物理。20212 (2021)

  [arXiv公司：2105.13344,doi:10.1007/JHEP11（2021）002] ]

• 费德里科·费多，达里奥·马泰利,D4-缠绕在主轴上的起重机，J.高能物理。2022101 (2022) [arXiv:2111.13660,doi:10.1007/JHEP02（2022）10]

• Christopher Couzens，（M）2曲折的故事，J.高能物理。202278 (2022) [arXiv:2112.04462,doi:10.1007/JHEP03（2022）078]

• K.C.Matthew Cheung、Jacob H.T.Fry、，杰罗姆·P·甘特莱特,詹姆斯·斯帕克斯,四维球形包裹M5骨架，J.高能物理。202282 (2022) [arXiv:2204.02990,doi:10.1007/JHEP08（2022）082]

由2组鉴于sigma模型灵感来自弦理论:

• 阿隆索·佩雷兹·隆纳,埃里克·夏普,2组的三维圆形[arXiv公司：2303.16220]