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想法

概念单体的$（\infty，1）$-类别是概念的类似物单体范畴在…的背景下（∞，1）-类别.单面体$（\infty，1）$-类别构成（∞，2）-范畴,Mon（∞，1）猫.

有多种方式来表述单体结构。一个是关于单纯形范畴。这是在

• 雅各布·卢里,非交换代数(arXiv公司)

另一个是（∞，1）-运算s（参见此处）。这种方法已被采纳(弗兰西斯). 下文对这两者进行了描述。

和普通人一样$（\infty，1）$-类别（尤其是本地可展示)可以通过以下方式呈现模型类别，许多单体$（\infty，1）$-类别可以表示为一元模型类别。有关示例，请参见尼古拉·萨加维15.

简单定义的概念

如条目末尾所述单体范畴，一个普通人单体范畴可以被认为是一个松弛函子

从终端类别到单对象3类别人-物体是2类 猫所有类别的笛卡尔单体结构在猫.

更具体地说，正如那里所描述的，这样一个lax函子是一种下降中的对象加权限额 $lim^{\Delta}常量{\mathbf{B} 猫}$，即一个图表

哪里$F\增量^n$是免费的3类$n个$-单工（一）东方的)，其中水平形态是选择的数据–类别$C类$，产品$\奥蒂姆$，关联器$\阿尔法$在4度中，对五边形同一性的尊重——条件是这对所有垂直态射都是等价的$F（增量^n\到增量^m）$.

这是一个4函子

受某种约束。

使用通用机制广义泛束s、 这将一个猫-束

用了比我在火车上多一点的时间，人们就可以发现，反过来说，这样的fibrations相当于单体范畴。或者，可以阅读第5页和第6页LurieNonCom公司下文引用。

无论如何，这激发了以下定义。

定义

普通单体$（\infty，1）$-类别

$\数学{O}$-单体的$（\infty，1）$-类别

以下定义对称单（∞，1）-范畴及其变体，其中交换操作的被任何其他（∞，1）-运算.

这是(卢里，定义2.1.2.13).

高等单体结构

而对于一个普通人幺半群只有一个交换性的概念（要么是交换的，要么不是交换的），已经是一个单体范畴区分公正编织单体或完全对称单体.

此模式继续，如k元单体范畴的周期表.

A类较高类别可能是k元单体n范畴或者更一般地说k元单体（n，r）范畴对于不同的值$k个$。的最小值$k=1$（因为$k=0$根本没有一元结构）对应于一元乘积$\英菲$-结合，即结合到更高的相干同伦，但不需要具有任何程度的交换性.

一个人说$n个$-类别为对称单碘如果它是“尽可能单体的”，即。$\英菲$-元组单体。特别是，在非交换代数和交换代数我们有

• 这里描述的1倍单体（∞，1）范畴；

• ∞-元组单体（∞，1）-范畴.

一元结构的运算/代数定义

对于每个$1个$让$E_n（_n）$表示小n磁盘 操作人员谁的拓扑空间属于$_否^k$属于$k个$-ary操作是嵌入的空间$k个$ $n个$-一体式尺寸盘（球）$n个$-没有交集的维度盘，其合成操作是将大的外部盘粘合到给定的内部盘中得到的明显操作。

在约翰·弗朗西斯博士论文理论（∞，1）-类别配备有$E_n（_n）$-操作人员建立，以便

• $（\infty，1）$-类别，带有$E_1（E_1）$-行动是准确的单体（∞，1）-范畴–1倍单体$（\infty，1）$-类别；

• $（\infty，1）$-类别，带有$E_\信息$-行动是准确的对称单体（∞，1）-范畴–$\英菲$-元组单体$（\infty，1）$-类别；

• $（\infty，1）$-类别，带有$E_n（_n）$-的操作$1英寸$是相应的吗$n个$-元组单体$（\infty，1）$-类别介于之间。

备注第二条语句是中的示例2.3.8EnAction公司第一个似乎很清楚，但可能不在文献中。雅各布·卢里（Jacob Lurie）目前正在改写高等代数比如在讨论中加入$E_n（_n）$-操作结构的定义$k个$-元组单胞的$（\infty，1）$-类别。

相关概念

• 单体范畴,单（2,1）类,单体的$（\infty，1）$-类别

  • 单体（∞，1）函子

  • Picard∞-组

• 编织单体类,编织单体（∞，1）类

  • 编织∞群

• 对称单体范畴,对称单体（2,1）范畴,对称单（∞，1）-范畴

  • 阿贝尔∞群

• 闭单体范畴,闭单体（∞，1）范畴

• 单体稳定（∞，1）范畴的素谱

工具书类

平面单体的单纯形定义$（\infty，1）$-类别的定义为1.1.2

• 雅各布·卢里,非交换代数(arXiv公司)

约翰·弗朗西斯的作品操作的小立方体-上的操作$（\infty，1）$-类别位于

• 约翰·弗兰西斯，博士论文(网状物)

The general notion of an$\数学{O}$-单体的$（\infty，1）$-类别是关于的定义2.1.2.13

• 雅各布·卢里,高等代数.

介绍性调查见

• 莫里茨·格罗斯,关于$\英菲$-类别(pdf格式)

与的关系单模态模型类别（特别是，每个局部可表示的对称单体$（\infty，1）$-类别来源于对称单体模型类别）

• 托马斯·尼古拉斯,斯特芬·萨加夫,对称单体无穷范畴由对称单体模型范畴表示阿尔盖布。地理。拓扑。17（2017），第5期，3189–3212。(arXiv公司：1506.01475)