n实验室单子

这个条目是关于单子在里面范畴理论和范畴代数有关其他概念，请参见单音（消歧）.

上下文

范畴代数

2范畴理论

在范畴理论，概念单子（早期：“标准结构“或”三元组“）是一种分类的幺半群：在默认的化身中，单子是内函子在一些类别配备有单作的相联的二进制运算在下面作文。更一般地说，这个概念对内幕- 1-形态在任何对象在任何2类超过猫：单子幺半群对象内部到内幕-家庭类别.

连同附加词(伴随函子)它们对应的（参见在下面)单子体是范畴理论（它们构成了绝对的和泛代数人们从哪里谈起单子上的代数)和中数学更普遍地（当然是在像这样的领域代数拓扑,层与拓扑理论和同调代数，概念以“规范分辨率”).

最后，单子在形式逻辑（参见。模态逻辑和模态类型理论)和在计算机科学，在理解它们的地方（参见“计算三部曲）作为编码“计算概念”与“计算效果”的框架函数式编程：请参阅计算机科学中的单子.

词源学

术语“monad”于年引入贝纳布1967年，第5.4.1条，其中，在观察到（实验5.4.1）单体在1对象2类别中(的deloopings 单体范畴)是幺半群:

它在脚注中写道：

除了这个脚注之外，似乎存在术语起源的唯一当代解释，巴尔2009，回顾了以下交流，当时人们普遍对早期的术语“标准结构”和“三重结构”感到不满：

1966年夏天（或者可能是晚春，Oberwohlfach记录将显示这一点），那里举行了一次类别会议。[……]有一天，在午餐或晚餐时，我碰巧坐在让·贝纳博旁边，他转向我说，“‘单子’怎么样？”当然，它是函子范畴中的幺半群。

2023年关于这一问题的进一步讨论杰里·阿达梅克回忆比尔·劳弗尔在以下范围内：

萨米是在奥伯沃法赫古堡的公共休息室里[塞缪尔·艾伦伯格]从钢琴后面出来，宣布了改变。

但是巴尔澄清如下：

我非常愿意相信，是坐在我旁边的贝纳博推荐了蒙娜德。完全有可能是萨米下台并宣布其为“官方”。当然是在那座古老的城堡里。

有趣的是贝纳博的脚注在上面给出了“monad”的第二个动机：

令人惊讶的是Bénabou 1967年，定义5.4.1 定义一个单子lax 2-函子来自终端类别 $1$ 到2-类别类别（更普遍地说，无论环境如何2类“ $\下划线{S}$ “），然后继续展开此定义与传统定义的等效性：

单数（下划线{S}）\;\;\;\西马克\;\;\;\大\{1\xrightarrow{\；lax\；}\下划线{S}\大\}\,.

在这个意义上，单子是点状元素在一个2范畴理论感觉（在2-地形猫)，这与欧几里德的古代单子概念作为不可分割的构建块。事实上，正如上面所讨论的，“monad”（在古希腊语和现代希腊语中都是如此）只是指单位意义上的“单位”自然数 $1$ 、和贝纳布1967年，第5.4.1条字面上用（lax）单位标识单子 $1到下划线{S}$ 在环境2类中。

在这种情况的推广中，可以考虑来自的lax函子共离散群胚 $CoDisc（1^{\sqcup_n}）$ 在 $n个$ 对象，其中贝纳布1967年，Def.5.5电话多价体:

多边形（\下划线{S}）\;\;\;\西马克\;\;\;\大\{CoDisc（1^{\sqcup_n}）\xrightarrow{\；松弛\；}\下划线{S}\大\}\,.

另一方面（可能在巴尔2009)就在几年前单子术语已于年被采纳非标准分析作为术语无限小街区(罗宾逊1966年，第57页和卢森堡1966，也比较Keisler 1976年，定义1.2,库塔特拉泽2011和，说话合成的，综合的:科克1980).

现在，事情就这样发生了——在拓扑理论制定无穷小通过差异凝聚力-建造无限小街区是（请参见在这里)在意义上的单子范畴理论! – 即左边伴随单子到喷气式comonad(Khavkine&Schreiber 2017年，第23页).

定义

莫纳兹

A类单子在一个二分类 $K（K）$ 由提供

一个对象 $一$ 在里面 $K（K）$
一个自同态 $t \冒号a \到a$ 在里面 $K（K）$
一2-同构 $\;\eta\colon 1_a\至t$ 在里面 $K（K）$

（该单元或返回操作）
一2-同构 $\mu\冒号t\circ t\to t$

（该乘法或参加操作）

这样的图表通勤（如果确定一致性同构s已被省略）。

“单子体”的名称和术语“单位”、“乘法”和“结合性”与幺半群（另请参阅单音（消歧）). 实际上，可以在对象上定义monad $一$ 的二分类 $K（K）$ 作为一个幺半对象在自同态范畴中 $K（a，a）$ 或者，单子可以被视为更基本的幺半群范畴中的幺半群 $C$ 可以在中定义为单子 $\矩阵{B}C$ ，对应的一个对象双类别 $C$ .

第三个不太明显的定义是 $K（K）$ 是一个lax 2-函子来自终端二类 $1$ 到 $K（K）$ ：唯一对象 $\上一次$ 属于 $1$ 发送到对象 $一$ ，态射 $1_a个$ 成为 $t吨$ 、和 $\埃塔$ 和 $\亩$ 由表达松弛功能的相干2细胞产生。这反过来相当于说monad是在双范畴中丰富的范畴具有单个对象和单个态射。在更高类别的理论家中，很容易认为这是最基本的定义，也是单子普遍存在和重要性的最基本原因。然而，尽管如此，早期更基本的定义在实践和教学上都是至关重要的。

最后，单子可以用“Kleisli操作”来定义，该操作使用任何映射 $a至T b$ 到地图 $T a至T b$ ；看见扩展系统.

我们可以想象一个单子 $K（K）$ 作为第三东方人在里面 $K（K）$ 。请参阅上的备注单体范畴.

单体的数据和公理可以用图形表示为字符串关系图.书写 $T\冒号C\到C，\eta，\mu$ 对于所讨论的单子（当 $K=类别$ )，这些数据可以表示为

monad数据的字符串图（用于“monad”）

由于形状独特，人们通常可以省略标签：

单子数据的字符串图，未标记（用于“单子”）

然后公理显示为：

单子公理的字符串图，未标记（用于“单子”）

单子的2类

给定a中monad之间的等价性2类 $K（K）$ 和松弛函子 $1\至K$ [贝纳布1967年，第39页]定义2类 $锰（K）$ 中的单子 $K（K）$ 成为松弛函子范畴 $[1，K]_\ell$ ，包括松弛函子,lax变换和他们的修改.

拼写出来[马兰达1966,马兰达1968,弗雷1969年，第269页,Pumplun 1970第330和334页,科佩1970,1972年街道，第150-151页，在中查看Leinster 2004年，第148页]:

定义

（2类单子）
让 $K（K）$ 成为2类.

安对象在里面 $锰（K）$ 是一个单子 $（a，t，\eta，\mu）$ 在里面 $K（K）$ ;
一1-态射 $（a，t）至（b，s）$ 在里面 $锰（K）$ （“单函子”或“单子变换”)

由提供
1. 一1-态射 $x\冒号a\至b$ 在里面 $K（K）$
2. 一2-形 $\λ\冒号s x \到x t$ 在里面 $K（K）$
进行以下操作图表通勤:

$\阵列{x&\stackrel{\ta^sx}{\to}&sx\\\数学运算\大\向下箭头& & \大\向下箭头\马特拉普{\lambda}\\x吨&\覆盖{1}{\longrightarrow}&x吨}\qquad\qquad\阵列{秒x& \覆盖{s\lambda}{\to}&s x t和\覆盖{\lambda t}{\longrightarrow}&x吨\\\金属圈{\mu^s x}\大\向下箭头& & & & \大\向下箭头\马特拉普{x\mu^t}\\秒x& & \覆盖{\lambda}{\longrightarrow}& & x吨}$
一2-同构 $（x，\lambda）\右箭头（y，\kappa）$ 在里面 $锰（K）$ 由提供
- 一2-同构 $m\冒号x\右箭头y$ 在里面 $K（K）$
进行以下操作图表通勤

$\阵列{sx&\stackrel{sm}{\to}&sy\\\mathrlap｛\lambda｝\向下箭头&&\向下箭头\ mathrlap｛\ kappa｝\\xt&\stackrel{mt}{\to}&y t}$

备注

（潜在自然转化的利手性）
小心 $\λ$ 定义中。与预期相反。这不一定是这样，但可能是一种选择，请参阅Pumplun 1970第334页,街道1972第158页.

一个问题是Kleisli类别由单子态射诱导的方向是相反的属于 $\λ$ 如上所述（通常用于标量的推广属于模块对象沿a同态属于幺半群)，因此对于采用与上述约定相反的方法的作者（例如弗雷1969年，第269页,Pumplun 1970第330页,Barr&Wells 1985§6.1在我们的实验中。单子态射与Kleisli范畴之间函子的关联是反变的（例如。Frei 1969年，Thm。2,Barr&Wells 1985厚度。6.3).

例子

（固定范畴上单子的变换）
这个例子是一般Def的简单但重要的特例。其中单子都作用于同一固定对象，尤其是同一类别，如果 $K=类别$ （如本表中所述Barr&Wells 1985§6.1)，尤其与计算机科学中的单子（此处为Moggi 1989年定义4.0.11)它们通常都作用于同一类别的数据类型:

对于一对单子 $（\mathcal{E}，ret ^{\mathcal{E}}，连接^{\mathcal{E}}）$ , $（\mathcal{E}'，ret ^{\mathcal{E}'}，连接^{\mathcal{E}'}）$ 关于固定类别 $\矩阵{C}$ :

\数学{E}，\mathcal{E}'\;\冒号\；\mathbf{C}\longrightarrow\mathbf{C}\,,

它们之间的态射是

一自然转化 $trans ^{\mathcal{E}\ to \mathcal{E}'}\，\colon\，\mathcali{E}\ to \mathcal{E}'$ 在潜在的仿函数

显然，它尊重单子单位

和连接：

因为它制造了这些广场通勤.

备注

单子变换，如Exp。相反地诱导函子属于Eilenberg-Moore类别属于模型通过标量的推广[Frei 1969年，Thm。2,巴尔和威尔斯1985 thm。6.3]:

从那以后标量的推广身份在上吗潜在的物体，它通常不能限制为上的函子Kleisli类别.

然而，当单子变换 $tr\，\colon\，\mathcal{E}\ to \mathcal{E}'$ 是一个同构然后 $tr^\ast（上一个）$ 确实需要自由模型将模型释放到同构从下图中可以看出：

\阵列{\数学{E}\数学{E}（D）&\重叠{\数学{E}（tr_D）}{\右箭头}&\数学{E}\数学{E}'（D）&\过度设置{反式^{\mathcal{E}\to\mathcal{E}'}_{\mathcal{E}'（D）}}｛\longrightarrow｝（右箭头）&\数学{E}'\数学｛E｝'（D）\\\大\下箭头\mathrlap{{}^{加入^{\mathcal{E}}_D} } &&\大\下箭头\mathrlap{{}^{转换^\ast联接^{\mathcal{E}'}_D} } &&\大\下箭头\mathrlap{{}^{join^{\mathcal{E}'}_D}}\\\数学{E}（D）&\低于{\;\; 转换^{\mathcal{E}\到\mathcal{E}'}_D\;\;}{\右箭头}&\数学{E}'（D）&=&\数学{E}'（D）}

在这里，中间垂直态射是沿着右边自由模型的延伸下的标称图像 $转换^{\mathcal{E}\到\mathcal{E}'}$ ，但左边的正方形，通过假设 $转换^{\mathcal{E}\到\mathcal{E}'}$ ，显示了从中间模型到 $\数学{E}$ -左边的自由模型。

备注

（单体变异体）
当单体用于建模时计算效果在里面函数式编程，一个共同关心的问题是结合不同的效果，例如先前的效果被归入新的组合效果中。这通过“单极变压器“这是单体的形态系统，如Exp。，形成指向内函子关于范畴 $Mnd公司$ 在所有单子中。

例子

这个初始对象在固定范畴上的单子范畴中 $\矩阵{C}$ （支出。)是身份单体。

证明

我们需要为每一个单子展示这一点 $\数学{E}$ 在 $\矩阵{C}$ 这是一个自然的转变 $trans ^{Id\ to \mathcal{E}}\，\colon\，Id\ to \ mathcal$ 首先，这使得这一平方通勤：

这已经将转换修复为单子单元属于 $\数学{E}$ 如图所示，第二，该广场通勤：

根据统一性条款 $\数学{E}$ ，如图所示。

单子上的代数/模

考虑到双类别中的单子 $\数学{B}$ 只不过是一个幺半对象在家里 $\数学{B}（a，a）$ ，考虑模块在这个幺半群上：a单体的模。此模块概念比单体范畴但是，因为它不需要住在 $\数学{B}（a，a）$ 但可以加入 $\数学{B}（B，a）$ （用于左侧模块）或 $\数学{B}（a，c）$ （适用于右侧模块）。

在猫-喜欢二分类，monad上的左模通常称为单子上的代数从单子作为幺半群的观点来看，这个术语令人困惑，但它是合理的，因为在猫本身，这样的带域的代数1只是经典意义上单子的代数。这样的代数是编码一般代数结构的有力工具；这是一个主题泛代数单子上的代数构成它的Eilenberg-Moore类别，其特征是通用属性.

一些单子体起源于操作的s、在这种情况下，单子的代数与操作数的代数相同。A类劳弗尔理论是另一种特殊的单子 $猫$ .

属性

附加词与单数的关系

两者之间有着密切的关系附加词(伴随函子)和单子:

附加引起的单子

每附加 $（L \dashv R）$ 诱导单子 $循环L$ 和a余单子 $回路R$ .

(Huber 1961，§4；参见e。MacLane 1971，§VI.1（第134页）;Borceux 1994，第2卷，道具。4.2.1).

具体如下：

命题

让 $（\mathcal｛C｝，\mathcal｛D｝，F，U，\eta，\epsilon）$ 是一对伴随函子即 $F\dashv U型$ 是伴随函子，其中 $F\colon\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ , $U\colon\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$ , $\eta_{A}:A\右箭头U（F（A））$ 是单元和 $\epsilon_{B}\冒号F（U（B））\右箭头B$ 是科尼特然后：

$U \圈F$ 是一个单子在 $\数学{C}$ ，带有单元 $\埃塔$ 和乘法 $U（\epsilon_{F（A）}）：U（F（U（F）（A）））$ .
$圆圈U$ 是一个余单子在 $\数学{D}$ ，带有科尼特 $\ε$ 和复制 $F（\eta_{U（B）}）：F（U（B$ .

证明

我们验证了我们得到了一个单声道，comonad的参数是形式上双重的.

(1)我们知道这张图可以相互转换：

通过应用 $U型$ ，我们得到单子的单位y的第一部分：

(2)我们知道这张图可以相互转换：通过放置 $B=F（A）$ ，我们得到单子的单位性的第二部分：

(3)自然 $\ε$ 为每一个 $f： B\右箭头B'$ :

我们将其应用于 $f=\epsilon_{f（A）}$ 它给出了：

最后申请 $U型$ 以获得：

这就是单子乘法的结合性。

(4)乘法的自然性 $U（\epsilon_{F（A）}）：U（F（U（F）（A）））$ 由2获得晶须国家的 $\epsilon_{B}:U（F（B））\右箭头B$ .

单子体的附加解析类别

诱导单子的附加词 $T型$ （作为在上面)也称为的分辨率 $T型$ .

通常有不止一个这样的决议，实际上有一个类别一个给定单子的附加词，其形态为“比较函子“（例如。MacLane 1971，§VI.3).

在此类别中：

这个初始对象是在克莱斯利范畴单子；
这个终端对象是在那边吗Eilenberg-Moore类别代数的单数附加词（由认可单数定理).

（例如。Borceux 1994，第2卷，道具。4.2.2)

语义结构附加

以上文章来自附加词到单子然后回到他们的单数附加词构成自身附加，有时称为语义结构附加.

示例

Monads开 $设置$

许多单子也有标准用法，如计算机科学中的单子.

例子

自由健忘者附加之间点集和套诱导内函子 $（-）_*：设置\为设置$ 这增加了一个新的不相交点。这称为也许是单子在计算机科学中。

例子

自由健忘者附加之间幺半群和套诱导内函子 $T：设置\设置$ 由定义

TA：=\bigsqup_{n\ge 0}A^n

给予自由单体。这也是名字列表单子或Kleene-Star公司？在计算机科学中。装置的组件 $\eta_A:A\至TA$ 给包含发送每个元素 $A类$ 到相应的单例列表。乘法运算的组成部分 $\mu_A:T^2 A至T A$ 是连接函数，将列表列表发送到相应的列表（在计算机科学中称为扁平化）。这个monad可以定义为单体范畴具有副产品分布在单体产物上。

例子

对于一组固定的“状态” $S公司$ ，的( $S\times-\dashv（-）^S$ )-附加导致单子 $（S\次-）^S$ 在 $设置$ 调用了状态单体这是计算机科学中常用的单子函数。在Haskell等函数式编程语言中，状态可以用于模拟计算的“副作用”。

例子

逆变动力装置-函子是它自己的右伴随，给予 $\集合（A，P B）\cong\集合（B，P A）$ 。请注意 $\hom（A，PB）=hom（B，Omega））$ 诱发双功率单体拿一套 $A类$ 到 $P^2安$ 。的组件单元是主超滤器功能 $\eta_A\冒号A\到P^2 A$ 发送元素的 $一$ 到的子集集 $A类$ 包含 $一$ .乘法的组成部分 $\mu_A$ 是反像地图的函数 $\eta_{PA}\冒号PA\到P^3A$ ；可以痛苦地表述为：将一组子集集转换为 $A类$ 具有以下属性：子集集的其中一个集是 $A类$ 其包括该特定子集作为元素。

更换两个元件电源对象 $\欧米茄$ 与任何其他集合一起给出类似的monad。在计算机科学背景这些被称为延续单子这种结构也可以推广到任何其他双闭单体范畴例如，有一个类似的双双单子在 $\兽医（_k）$ .

代数

例子

自由健忘者附加之间套和类别 $R（右）$ -模块。这会导致自由的 $R（右）$ -模单子 $R[-]：设置\为设置$ . The自由阿贝尔群单子和自由向量空间单子是特殊情况。

例子

自由健忘者附加之间套和类别组提供了自由基单子 $F：设置\设置$ 发送 $A类$ 到集合 $F（A）$ 字母中的有限单词 $a \在a中$ 加上倒数 $^{-1}$ .

拓扑结构

例子

有一个遗忘函子 $U:\顶部\至\设置$ 服用拓扑空间至其基础设置它是离散空间函子的右伴随 $D： \设置\为\顶部$ 把一套带到它的离散拓扑。还有一个伴随对 $\beta\dashv U’$ 在类别之间契约 Hausdorff拓扑空间和类别拓扑空间，其中 $\β$ 是石灰岩压实这两个伴随对的组合构成一个单子 $\测试版：\设置\到\设置$ 将一个集发送到其离散空间的Stone-Cech紧化的基础集。它也被称为超滤器单子作为 $\β$ 可以认为是一个函子，它把一个集合带到它的一组超滤子上。

猫身上的单子

单子通常被视为2类猫它们是由内函子上面有一个幺半结构。特别是单子在里面 猫在设置等价于泛代数中研究的方程理论。在这种情况下，monad抽象了代数理论（例如“组”或“环”），给出了额外结构在一个类别的对象上。

典型地，如果 $\矩阵{T}$ 是代数理论（例如群理论） $\矩阵{T}$ -布景上的结构告诉我们如何解读各种条款（例如。 $（a \cdot c）$ )由集合的元素构成，受某些公理（例如。 $（a \ cdot（b \ cdot c））=（（a \ cdot b）\ cdot c）$ ). 一个单子将此集合为一个函子 $T型$ 。对于集合 $X$ , $T X（T X）$ 是理论中所有术语的集合，由 $X$ ，如果公理强制它们相等，则确定术语。对于组， $T X（T X）$ 因此是（的基础集）自由群正式词汇的 $a\cdot b\cdot\cdots\cdot s$ 从 $X$ ；事实上 $T型$ 给予自由的结构原来是典型的.

为了充分理解这个理论，我们需要包含更多的数据：自然地图 $\eta_X:X\至T X$ 记录每个 $X中的\$ 给出了一个微不足道的术语 $一$ ，和地图 $\mu_X:T T X至T X$ 记录根据术语构建的其他术语如何作为术语出现在中 $T X（T X）$ .

给一个单子猫关于一个范畴 $C$ ，总是可以生成标准分辨率任何对象的 $C$ .

其他示例

Monads开偏序集特别简单（尤其是，它们总是幂等的). 事实上，monad on动力装置s在数学中极为常见；它们在分类不太倾斜的圈子里被称为摩尔闭合s、那里有很多例子。
安内部的上的单子子对象分类器的地形 $E类$ 是一个Lawvere-Tierney拓扑在 $E类$ .
如果 $C$ 是具有的类别有限极限然后是双类别中的单子跨度在里面 $C$ 与内部类别在里面 $C$ .
双类别中的单子教授属于亵渎者关于一个范畴 $A类$ 可以用恒等对物函子来识别 $A\至B$ .

高等范畴理论中的单数

有一个垂直分类单子到（∞，1）-类别。请参阅（∞，1）-单子.

在里面第3节属于

雅各布·卢里,非交换代数(arXiv公司)

工具书类

概念(有限公司)单子体是以“标准结构”（即现在所认为的诱导结构）的名义引入的标准分辨率)英寸：

彼得·胡贝尔，§2英寸：一般范畴中的同伦理论，Mathematische Annalen144(1961) 361–385 [doi:10.1007/BF01396534]

以下内容：

罗杰·戈德门特，附录：拓扑algébrique et theorie des faisceaux《科学现状》。印度。1252赫尔曼，巴黎（1958）[网页,pdf格式]

（其中单子定律出现在第272页上，作为诱导结构的一部分标准分辨率，称之为“基本结构”）。

在早期范畴理论-文学单体被称为三元组，指的是（正如幺半群)他们的数据-结构是的吗三元组包括：（1.）潜在的类别，（2.）a二进制运算和（3.）a机组运行:

H.苹果糖,M.巴尔,J.贝克,F.W.劳弗尔,F.E.J.林顿,E.马内斯,M.蒂尔尼,F.乌尔默:三元组和范畴同调理论研讨会，ETH 1966/67，编辑贝诺·埃克曼和迈尔斯·蒂尔尼,LNM 80型，Springer（1969），再版为：类别理论与应用的再版18(2008) 1-303 [节气门执行器控制（TAC）:18,pdf格式]

现代术语“monad”（以及任何二分类)是（参见。巴尔2009)由于：

让·贝纳布，§5.4英寸：双类别简介，数学课堂笔记47施普林格（1967）1-77[doi:10.1007/BFb0074299]

进一步的历史评论：

马丁·海兰德,约翰·鲍尔,泛代数的范畴论理解：Lawvere理论和单子，电子票据。公司。科学。172(2007) 437-458 [doi:10.1016/j.entcs.2007.02.019,预印本]
巴尔,关于：单子这个词是从哪里来的？（2009年4月1日）[猫径：09-4,文本,jpg格式]
罗斯街,回复：单子（2009年4月4日）[猫径：09-4,文本,jpg格式]

其他原始文本：

Jean-Marie Maranda女士,关于基本构造和伴随函数，加拿大数学公告95 (1966) 581-591 [doi:10.4153/CBM-1966-072-9]
Jean-Marie Maranda女士,Sur les Properties Universe les des Foncteurs副词，单位：埃里昂集团/阿贝尔群的研究斯普林格（1968）[doi:10.1007/978-3642-46146-0_16]
弗雷德·林顿,功能语义学概述，英寸三元组和范畴同调理论研讨会，数学课堂笔记80，施普林格（1969）7-52[doi:10.1007/BFb0083080]
弗雷德·林顿,应用功能语义学，英寸三元组和范畴同调理论研讨会，数学讲义80，施普林格（1969）53-74[doi:10.1007/BFB0083800]
阿明·弗雷,关于三元组的一些评论，Mathematische Zeitschrift109(1969) 269–272 [doi:10.1007/BF01110118]
迪特尔·普吕恩,Eine Bemerkungüber Monaden和Adjungeerte Funktoren，Mathematische Annalen185(1970) 329-337 [eudml:161964,pdf格式]
劳伦特·科佩，同位语的形态和同构,C.R.学院。Sc.巴黎 271(1970), [方格：12148/bpt6k5619186c/f27]
桑德斯·麦克莱恩第六章：数学工作者的范畴，数学研究生课程5斯普林格（1971）[doi:10.1007/978-1-4757-4721-8]
让·贝纳布,Les三连体，Séminaire de mathequepure pure纯数学26卢万大学（1972年）[pdf格式]
罗斯街,单子的形式理论，《纯粹与应用代数杂志》22 (1972) 149-168 [doi:10.1016/0022-4049（72）90019-9]
斯蒂芬·莱克,罗斯街,单子叶形式理论II，《纯粹与应用代数杂志》

1751–3 (2002) 243-265 [doi:10.1016/S0022-4049（02）00137-8]
巴尔,查尔斯·威尔斯，第3章：拓扑、三元组和理论格兰德伦数学。Wissenschaften公司278，Springer（1985），《范畴理论与应用中的再版》12(2005) 1-287 [战术：tr12]

更多教科书说明：

弗朗西斯·博尔塞克斯，第4章“单子”：范畴代数手册第2卷，数学百科全书及其应用50剑桥大学出版社（1994）

曝光：

卡特斯夫妇,莫纳兹，短片讲座（2007）[1:年初至今, 2:年初至今, 3:年初至今，3A：年初至今, 4:年初至今, 5/6:年初至今]
约翰·贝兹,泛代数与图解推理（介绍性幻灯片）。
艾米丽·里尔，第154页，共页：语境中的范畴理论(2017)
保罗·佩罗内,用基础数学中的例子说明范畴理论，第5章。(arXiv公司)

更多关于与泛代数:

马丁·海兰德和约翰·鲍尔,泛代数的范畴论理解：Lawvere理论和单子(pdf格式).
安东尼·沃塔斯,单子的基本理论及其与泛代数的联系, (2012) [pdf格式,pdf格式]

无穷大等价性的初等证明Lawvere理论和单子上集合的类别的附录A中给出

马丁·勃兰登堡,大型草图和拓扑空间对象[arXiv公司：2106.11115]

在高等范畴理论:

T.M.菲奥雷,N.甘比诺,J.科克,双类别单曲,阿西夫/1006.0797
加布里埃拉·伯姆,斯蒂芬·莱克,罗斯街,弱双水母,阿西夫/1002.4493

上次修订时间：2024年1月22日07:13:03。请参阅历史获取所有贡献的列表。