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高等代数

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代数理论

代数和模

高等代数

模型类别演示

代数形式对偶上的几何

定理

高等线性代数

同伦理论,（∞，1）范畴理论,同伦型理论

口味：稳定的,等变的,理性的,p-adic码,适当的,几何的,内聚的,定向的…

模型：拓扑,简单的,局部的, …

另请参阅代数拓扑

简介

定义

路径和圆柱体

同伦群

基本事实

定理

目录

想法

基本思路

基本思想是模块 V（V）V（V）是一个装备了行动由幺半群 A类A类这与表示的组.

模块的一个常见示例是向量空间 V（V）V（V）超过领域 k个k个：这是一个模块结束k个k个在类别中抗体阿贝尔群的每个元素k个k个通过矢量的乘法作用于矢量空间，此操作涉及矢量的加法，但在向量空间这取决于以下事实k个k个这是一个领域：一般来说，可以是任何交换环（甚至是将军操纵)R（右）R（右）。用环替换字段的向量空间的模拟是模块在环上R（右）R（右）.

安R（右）R（右）-中的模块抗体可以认为是阿贝尔群的推广，其中取元素整数倍的运算（视为迭代加法）被扩展为取系数为R（右）R（右）.在微不足道的情况下ℤ\矩阵{Z}-模只是一个阿贝尔群。

这是模块的传统概念，可能也是最常见的概念。但基本概念很容易更为笼统。

模块的动机和作用：广义向量束

幺半群或环及其模的理论，其“意义”和用法，通过二元性之间代数和几何学:

  1. 一戒指 R（右）R（右）被认为是功能在一些空间,

  2. 一个R（右）R（右）-模块被认为是部分的向量束在那个地方。

这种对应关系的经典情况是拓扑，其中

  1. 这个Gelfand对偶定理说发送一个紧拓扑空间 XX至其C-星代数 C(X,ℂ)C（X，\mathbb{C}）属于连续函数中的值复数构成范畴的等价性紧拓扑空间与相反类别可交换的C *上一次-代数；

  2. 这个Serre-Swan定理说发送一个豪斯道夫拓扑复合体向量束 E类→XE至X在紧拓扑空间上C(X,ℂ)C（X，\mathbb｛C｝）-其连续模部分在拓扑复向量丛之间建立范畴的等价性XX和的有限生成的 投射模结束C(X,ℂ)C（X，\mathbb{C}）.

事实上，如本例所示，模块忠实地包含向量束，但实际上更通用。在许多情况下，人们认为模块是向量丛概念的规范化推广，具有更好的形式属性。

向量束的这种识别R（右）R（右）-模是函数环为R（右）R（右）可以被视为定义：特别是在代数几何Gelfand二元性被视为“按定义持有”，因为代数簇本质上，它是给定环的形式对偶，Serre-Swan定理类似地成为这样的语句：向量丛在簇上的截面空间等价于该环上的一个模准相干模了解更多信息。）

这个二元性在几何和代数之间，我们可以用向量丛的形式重新解释许多关于模的陈述。例如

  • 这个直接和模的个数对应于向量束的纤维直和；

  • 这个标量的推广模的同态对应于拉回沿空间对偶映射的向量丛；

  • 等。

例如，使用本词典下降向量束的一元血统，请参阅Sweedler取芯来讨论这一点。

更一般的观点

概念幺半群在一个单体范畴直接推广到2类，其中称为单子因此，模块的概念推广到了这个更一般的情况，然而它被称为单子上的代数。有关更多信息，请参阅2-范畴中幺半群的模：单子上的代数如下所示。

除了这个直接的概括外，还有两个不同的、分别重要的关于模块概念的观点nPOV公司:

2类幺半群的模：单体上的模

概念幺半群直接从中的幺半群推广单体范畴到中的幺半群2类：用于2类 猫，更一般地，对于任意的2个类别，这些被称为单子第条。

A类单子上的模（有关更多详细信息，请参见此处）本质上定义为幺半群上的模。由于历史原因猫被称为单子上的代数，因为代数在泛代数可以作为a上的代数/模获得有限单子在里面设置设置：自由代数单子（对于某些代数）的模设置，它们是自由代数函子及其右伴随健忘函子正是这种类型的代数。固定单体上的模块（in猫猫)是的对象Eilenberg-Moore类别单子；在任意的双范畴中，这一范畴推广到可能存在或不存在的艾伦伯格-穆尔对象。

强化预升

请参见丰富范畴上的模.

稳定的过度分类

A模块N个N个（交换，幺正）环上R（右）R（右）可能被编码在另一个环中：作为阿贝尔群的环是直接和 R（右）⊕N个R\oplus N（参考编号N）其乘积由公式定义

(第页 1,n个 1)⋅(第页 2,n个 2):=(第页 1第页 2,第页 2n个 1+第页 1n个 2).（r1，n1）\cdot（r2，n2）：=（r1 r2，r2 n1+r1 n2）\,.

这是一个square-0扩展属于R（右）R（右）.它规范地配备了一个环同态R（右）⊕N个→R（右）R \oplus N\到R哪个是上的身份R（右）R（右）并发送的所有元素N个N个到0。像这样的，R（右）⊕N个→R（右）R \oplus N\到R是中的对象过度分类 CR环/R（右）CRing/R（CRing/R）但是一个特殊的这样的对象：它实际上是规范上的阿贝尔数组对象在里面CRing（CRing）/R（右）CRing/R（CRing/R），其中组操作（overR（右）R（右）!) 通过在中添加元素得出N个N个.

从这个角度来看，这对一般类别 CC想想阿贝尔化他们的过度分类 C/A类信用证作为对象上的模块类别A类A类.

总的来说，这使纤维状阿贝尔化他们的共染色质纤维 鳕鱼:[我,C]→Ccod:[I，C]\至C所有对象上所有可能模块的类别CC.

这个一般的观点很好垂直分类上下文（∞，1）-类别：abelinization变为稳定在这种情况下共染色质纤维任何（∞，1）-范畴 CC是切线（∞，1）-范畴 T型 C→CT_C\到C.

例如sAlg公司 k个符号（_k）这个（∞，1）-范畴属于单形代数在地面上k个k个特征0的稳定 刺(斯阿尔克/A类)刺（Algk/A）的（∞，1）-范畴上结束A类A类相当于(∞,1)（\infty，1）-类别A类国防部A Mod系列属于A类A类-模块。

定义

我们详细说明了模块对于

然后我们给出了更一般的定义

幺半群范畴中幺半群上的模

请参见幺半群上的模.

丰富范畴理论中的预设

请参见丰富范畴上的模.

就稳定的过剩类别而言

根据幺半群范畴的稳定切片类别，有一个关于模的一般定义：贝克模块,切线（无穷大，1）-类别.

环上的模块

环上模的一般情况是根据稳定的超范畴来表述的，这至少可以追溯到(贝克67)，并在(奎伦70); 两者均列在下面。有关更多信息，请参阅贝克模块.

提议

让R（右）∈CRing（CRing）CRing中的R\是可交换的戒指。然后有一个规范等效在类别 R（右）国防部R Mod（R模式）属于R（右）R（右）-模块和类别抗体(CRing（CRing）/R（右）)抗体（CRing/R）的组对象中的过度分类属于CRing（CRing）CRing（CRing）结束R（右）R（右）

R（右）国防部≃抗体(CRing（CRing）/R（右）).R Mod\simeq抗体（CRing/R）\,.
证明

我们首先了解阿贝尔群对象的结构(对:K（K）→R（右）)（p:K\至R）在过度分类中CRing（CRing）/R（右）CRing/R（CRing/R）是显式的

中阿贝尔群对象的单位CRing（CRing）/R（右）CRing/R（CRing/R）是一个图表

R（右） → K（K） 身份证件↘ ↙ 对 R（右）.\阵列{R&&\到&&K\\&{}_{\mathllap{Id}}\searrow&&\swarrow_{\mathrlap{p}}\\&&R（右）}\,.

此图标识K（K）K（K）有一个环阿贝尔群是直接和 R（右）⊕克尔(对)操作员（p）一些戒指R（右）R（右）使用内核属于对对这样，对于第页∈R（右）r中的r和n个∈克尔(对)n\in克尔（p）我们有第页⋅n个∈克尔(对)r \ cdot n \ in ker（p）.

这个产品属于R（右）⊕N个→R（右）R \oplus N\到R自身位于过度分类是纤维制品结束R（右）R（右）在原始类别中，因此是R（右）⊕N个⊕N个R \oplus N.

因此，阿贝尔群对象上的加法运算是一个态射

R（右）⊕N个⊕N个 → R（右）⊕N个 ↘ ↙ R（右）.\阵列{R\oplus N\oplus N&&\到&&R\oprus N\\&\searrow&&\swarrow\\&&对}\,.

对于上面的单位，关于这个运算的单位公理以及顶部态射是环同态的事实表明这个态射是

R（右）⊕N个⊕N个→身份证件⊕(身份证件+身份证件)R（右）⊕N个.R\oplus N\oplus N\stackrel{Id\oplu斯（Id+Id）}{\to}R \oplus N（操作系统N）\,.

由于环积在直积环中R（右）⊕N个⊕N个R \oplus N在两个副本中的两个元素之间N个N个因此，它也必须在同一副本中的两个元素之间消失。

这说明了R（右）⊕N个R \oplus N（操作系统N）是0的平方延伸R（右）R（右）相反，对于每一个平方0扩展，我们都可以通过这种方式获得阿贝尔群对象。

例如，一个环的平方0-extensionR（右）R（右）对应于规范R（右）R（右）-上的模块结构R（右）R（右）它本身就是双数环对于R（右）R（右）.

组上的模块

让G公司G公司成为组.综合以上描述

  1. 属于群上的模作为群环上的模

  2. 属于环上作为稳定超范畴的模

有人发现：

提议

这个类别属于G公司G公司-模块是相等的到类别阿贝尔群对象在中片属于戒指超过群环

G公司国防部≃抗体(戒指 /ℤ[G公司]).G Mod\simeq Ab（环{/\mathbb{Z}[G]}）\,.

但沿着这些线还有一个更直接的特征，不涉及群环的辅助构造。

提议

这个类别属于G公司G公司-模块等价于阿贝尔群对象在中切片类别属于组结束G公司G公司

G公司国防部≃抗体(组 /G公司).G Mod\simeq抗体（Grp_{/G}）\,.
证明

这个证明类似于道具的证明。一个检查组同态G公司^→G公司\帽子G到G具有阿贝尔群对象的结构G公司G公司是一个中央分机属于G公司G公司由一些人阿贝尔群 A类A类它是一个分裂扩展（是阿贝尔群对象的中性元素），因此是一个半直乘积群 G公司^≃G公司⋉A类\帽子G \simeq G \times A。通过讨论，这些等价于行动属于G公司G公司在A类A类按组自同构这正是它的意义所在A类A类携带G公司G公司-模块结构。

此结构概括为∞-组。请参阅∞-作用截面∞-作用–G模块.

单形环上的模

让斯阿尔格 k个sAlg_k（_k）（或斯阿尔格斯阿尔格简而言之）是（∞，1）-范畴可交换的单形代数在基本场上k个k个.

对于A类∈斯阿尔格 k个在sAlg_k中通常有一个函子

A类国防部→刺(斯阿尔格 k个/A类)A Mod\ to针刺（sAlg_k/A）

来自稳定（∞，1）-范畴属于A类A类-模块到稳定的过度分类属于斯阿尔格斯阿尔格但一般来说，这个函子既不是基本上是满腹的也不是满的然而，如果k个k个具有特征0，则这是等价的。

运算数上代数上的模

有一个概念是运算对象上的代数。模块的相应概念在运算器上代数上的模.

钻机上的乘法可消模

A模块M（M）M（M）超过操纵 S公司S公司称为乘法抵消（inNazari和Ghalandarzadeh（2019），第3节)如果有秒,秒′∈S公司s、 s中的“s”和0≠米∈M（M）0\neq m\单位：m,平方米=秒′米sm=秒暗示秒=秒′s=s’.

示例

环上的模块

让R（右）R（右）成为交换环.

例子

戒指R（右）R（右）通过考虑其乘法映射，自然是一个模块R（右）⊗R（右）→R（右）R到R的音符作为模块操作R（右）⊗N个→N个注释N到N具有N个≔R（右）编号R.

例子

一般来说n个∈ℕn\in\mathbb{n}这个n个n个-折叠直接和的阿贝尔群潜在的R（右）R（右）自然是一个模块结束了R（右）R（右）

R（右） n个≔R（右） ⊕ n个≔R（右）⊕R（右）⊕⋯⊕R（右）⏟ n个最高法院.R^n\coloneqq R^{\oplus_n}\coloneqq\下大括号{R\oplus R\oprus\cdots\oplus R}_{n\；和}\,.

模块操作是组件式的：

第页⋅(第页 1,第页 2,⋯,第页 n个)=(第页⋅第页 1,第页⋅第页 2,⋅第页⋅第页 n个).r\cdot（r_1，r_2，\cdots，r_n）=（r\cdot r_1\,.
例子

更一般地说，对于我∈输入 设置任何设置，直接和⊕ 我∈我R（右）\i}R中的oplus_{i\是一个R（右）R（右）-模块。

这是自由模块（超过R（右）R（右）)在片场上S公司S公司.

这套我我用作自由模的基：通用元素v（v）∈⊕ 我R（右）v\in\oplus_i R是一个形式线性组合的元素我我具有系数在里面R（右）R（右）.

对于戒指的特殊情况R（右）R（右），概念R（右）R（右）-模块等同于其他概念：

例子

对于R（右）=ℤR=\mathbb{Z}这个整数，一个R（右）R（右）-模块等价于阿贝尔群.

例子

A类ℤ\矩阵{Z}-模，因此是阿贝尔群，如果它有一个非平凡的模，就不是自由模扭转子群.

例子

对于R（右）=k个R=k一领域，一个R（右）R（右）-模块相当于向量空间结束k个k个.

每有限生成的 自由的 k个k个-模块是自由模块，因此每个有限维向量空间都有一个基础。对于无限维，如果选择公理持有。

例子

对于（f）:S公司→R（右）f:S\至R一同态属于戒指,标量的限制生产R（右）R（右）-模块（f） *N个f_*N号从S公司S公司-模块N个N个和标量的推广生产S公司S公司-模块（f） !N个f！N个从R（右）R（右）-模块N个N个.

例子

对于N个N个模块和{n个 我} 我∈我\{n_i\}_{i\inI}一组元素线性跨度

⟨n个 我⟩ 我∈我↪N个,\语言n_i\rangle_{i\in i}\hookrightarrow n\,,

（因此，这一套的完成N个N个和乘法R（右）R（右）)是一个子模块属于N个N个.

例子

考虑示例对于模块是N个=R（右）N=R，戒指本身，如示例所示.然后是子模块相当于（称为）理想的属于R（右）R（右）.

例子

让XX成为拓扑空间然后让

R（右）≔C(X,ℂ)R\coloneqq C（X，\mathbb{C}）

是…的戒指连续函数在XX值位于复数.

给定一个复合体向量束 E类→XE至X在XX，写入Γ(E类)\伽马（E）用于它的一组连续截面。因为每一点x个∈Xx中的x这个纤维 E类 x个E_x（_x）属于E类E类结束x个x个是一个ℂ\mathbb{C}-模块（示例),Γ(X)\伽马（X）是一个C(X,ℂ)C（X，\mathbb{C}）-模块。

由Serre-Swan定理如果XX是豪斯道夫和契约，然后Γ(X)\伽马（X）是一个投射的 C(X,ℂ)C（X，\mathbb{C}）-模块之间确实存在等价关系C(X,ℂ)C（X，\mathbb{C}）-模和复向量丛XX.

有关此内容的更多信息，请参阅向量束和模.

向量束和模块

A类向量空间是一个向量束超过指向。对于每个向量束 E类→XE至X超过空间 XX，其集合Γ(E类)\伽马（E）属于部分s是上的幺半群/函数环上的一个模XX.何时XX是一个环形空间,Γ(X)\伽马（X）被有效地认为是捆的模块结构层属于XX:

对于描述向量束及其泛化，事实证明，按照其截面模块对其进行编码的这种观点是有用的。例如，空间上向量束的类别通常不能是阿贝尔范畴但如果不是像一捆捆模块那样XX它们是一个推广到的向量束的一部分模块的相干滑轮然后得到一个阿贝尔范畴，类似于兽医(X)兽医（X）到阿贝尔范畴。如果有人进一步要求在前推操作下关闭类别，例如获得双振关于空间上的广义向量丛，我们得到了模的准相干带超过结构层.

但事实证明准相干带在一个测试空间上（请参阅此处以获取详细信息）仅相当于全部的该测试空间上的（功能）模块。这意味着模的准相干带可以很好地描述上述模的一般抽象无意义特征：

对于CC我们的（∞，1）-范畴测试的第个，共个空间s（因此相反类别 C 操作C^{op}我们的（∞，1）-范畴测试空间上的“函数环”），通过上述，测试空间上所有模块的赋值如下所示

国防部:C 操作→(∞,1)猫Mod:C^{op}\to（\infty，1）猫
国防部:U型↦刺(C/U型).型号：U \mapsto Stab（C/U）\,.

然后针对XX任何空间被视为∞-堆栈在CC，a“准相干∞\英菲-模块堆栈”XX是一个态射

X→国防部.X\至Mod\,.

工具书类

概述

教科书帐户：

课堂讲稿：

  • 威廉·劳弗尔，第27页，共页：线性分类和应用简介，课程讲稿（1992）[pdf格式]

    （其中R（右）R（右）-模块被称为R（右）R（右）-线性空间)

课堂讲稿滑轮上的模块/模块环形空间:

基础知识的阐述单体范畴和范畴代数:

形式化立方的 同伦型理论:

关于作为富集预升的模块

另请参阅参考资料丰富范畴理论和亵渎者.

关于作为稳定超范畴的模

环上模的范畴R（右）R（右）等价于超范畴中阿贝尔群对象的范畴CRing（CRing）/R（右）CRing/R（CRing/R）(贝克模块)是由于

  • 乔恩·贝克,三元组、代数和上同调哥伦比亚大学博士论文，1967年，《范畴理论与应用的再版》，第2期（2003），第1-59页(节气门执行器控制)

  • 丹尼尔·奎伦,关于交换环的（co-）同调，在程序中。交响乐团。《范畴代数》，65-87，《美国数学》。Soc.，1970年。

完全抽象的更高范畴概念稳定的 过度分类和切线（∞，1）-范畴出现在中

（∞，1）-模结束A-∞代数在第4.2节中进行了讨论

钻机上的乘法可取消模块出现在

  • 拉菲埃·拉扎维·纳扎里、沙班·加兰达扎德、，乘法半模, 2019 (arXiv:0704.2106)

上次修订时间：2023年9月19日06:33:38。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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