证明

由基本属性属于本地可呈现类别它们在切片下是稳定的。因此$\数学{C}$也可在当地展示$\马查尔{C}（C）_{/X}$是，通过道具。具有$\数学{C}$共纤维生成$\马查尔{C}（C）_{/X}$是。

证明

根据的基本属性丰富的类别结束笛卡尔闭范畴它们在切片下是稳定的，其中张量是在$\数学{C}$（请参阅浓缩切片类别). 因此$\数学{C}$也富含$\马查尔{C}（C）_{/X}$是推出积公理现在的事实是，在超类别中，推出反映在基础类别中$\数学{C}$（由本道具。). 这个单位公理遵循单位公理$\数学{C}$利用张量是在$\数学{C}$.

证明

我们写的是等价的$（-）^\circ\coloneqq L_W（-）$.

很明显，我们有一个本质满射（∞，1）函子 $\mathcal{C}^\circ/X\到（\mathcal}/X）^\cick$。必须显示的是，这是一个完全忠实（∞，1）函子因为它是一个等效对所有人高阶模-∞-广群秒$\数学{C}^\circ/X（a，b）\simeq（\mathcal{C}/X）^\cick（a，b）$.

要看到这一点，请注意超（∞，1）范畴 $\数学{C}^\circ/X$在对象之间$冒号a到X$和$b\冒号b\至X$由（∞，1）-回拉

在里面∞Grpd.

让$A\以C表示$成为合作伙伴代表$b\冒号b\至X$成为纤维的代表$C类$这些名称的对象（始终存在）$C^\circ（循环）$分别是。就这些而言，我们有一个共同的函数

在里面$\数学{C}/X$，正在展出$一$作为的联合对象$\数学{C}/X$; 和一个谎言

在里面$\数学{C}/X$，正在展出$b条$在$\数学{C}/X$.

此外sSet（设置）由提供

是

1. 一拉回中的图表sSet（设置）（根据一个普通函数中态射的定义过度分类)；

2. 一同伦拉回在中单纯集上的模型结构，因为通过拉回力公理上sSet（设置）${}_{奎伦}$ 丰富的模型类别 $C类$以及上述（共同）纤维假设，所有对象都是Kan复合体右垂直态射是Kan纤维；

3. 在左上方有正确的导出hom空间在里面$C/X公司$（自$一$是共性的并且$b条$无稽之谈）。

这意味着这个正确的hom-space$\集合中的矩阵{C}/X（a，b）\simeq（\mathcal{C}/X）^\circ（a，b）$确实是$\数学{C}^\circ/X（a，b）\infty Grpd$.

证明

自左伴随 $f！$是后合成操作，它明显保留了潜在的形态，因此特别保留了切片模型结构中的（非循环）共纤维类（通过Prop）。)，因此是左奎伦函子.

证明

通过派生附加词使用Quillen等价的特征(在这里)，基更改附加是的Quillen等价iff

• 任何共库对象 $X到S$在上一层$秒$（即。$X（X）$是合作伙伴$\数学{C}$)

• 和a无稽之谈对象 $p\冒号Y\至T$在上一层$T型$（即。$第页$是一个纤维化在里面$\数学{C}$),

我们有这个

(1)$X\to\phi^*（Y）=S\times_T Y$是弱等价

若（iff）

(2)$\phi_！（十） \至Y$是一个弱等价。

但后一个态射是下面的顶级组合交换图:

因此三取二-属性表示，如果$p^\ast\phi$是一个弱等价。

相反，采取$X\到\ phi ^\ ast（X）$为弱等价（因此共纤维分辨率属于$\φ^\ast（X）$),三取二意味着如果$（\phi_！\dashv\phi^\ast）$那么是奎伦等价物$p^\ast\phi$是一个弱等价。

证明

考虑第一种情况：根据切片附加词，其左伴随 $L_｛/b｝$充当$L（左）$在潜在的 态射.但自从$L（左）$假设为左奎伦函子由于切片模型结构的（非循环）共纤维是潜在的形态（Prop。),$L_｛/b｝$保存它们，因此本身就是左奎伦函子.

第二种情况直接类似：这里很明显$R_{/b}$是一个右奎伦函子，因为它通过$R（右）$在潜在的态射，以及$R（右）$奎伦的假设是对的。

证明

只要检查派生附加单元和派生附加成分是弱等价(…)

证明

直接检查这一点相当简单（例如。Hovey 1999，提案。1.3.5)，但这也是Prop。-要明确这一点，请注意传递给相反的类别用他们的相对模型结构将原来的Quillen附加词转换为对面奎伦附加:

现在是指向的对象对应于切片（而不是共切片)，自

提案中的第（1）项。说有一个Quillen形式的附加词

因此与对面奎伦附加所需表格的

具有$R^{op}$直接作为$R（右）$在基础图上，使用$L^｛操作｝$作为$L（左）$以下是拉回–英寸$\数学{C}^{op}$–沿辅助装置属于$（R^{op}\dashv L^{op{）$。由于单元的相反的附加 $（R^{op}\dashv L^{op{）$是的附加单元$（L \dashv R）$，自拉回在中相反类别是推出在原始类别中，这意味着索赔。

证明

在一个方向上，假设$（f）$是一个弱等价。通过Prop。拉回操作$b^\ast$是一个右奎伦函子.因此肯·布朗引理(在这里)意味着它保留了无稽之谈的对象.自$第页$和$p’$假设是撒谎，这意味着$b^\ast（f）$是一个弱等价。

在另一个方向上，假设$b^\ast（f）$对所有人来说都是弱等价的$b\，\ in\，b_0$。那么对于任何$x、in、x_0$让$b\，\coloneqq\，p（x）\，\in\，b_0$并考虑结果同构属于同伦纤维-图表:

反过来同伦群的长精确序列，具有以下段$n\，\in\，\mathbb{无}_+$（其中$x'，\coloneqq，f（x）$):

现在(非阿贝尔的)五引理意味着$\像素n（f，x）$是一个同构，对于所有人$n\in\mathbb{无}_+$以及所有$x中的x$.

现在只剩下看了$\pi_0（f）$是一种同构。替换后的参数相同$B类$由连接的组件 $\波浪线B\xhookrightarrow{\；}B=B\sqcup（B\set-nuse\tilde B）$其中，在$\pi_0（像素_0）$，在的图像中$第页$。通过将最右边的项替换为单子; 结论如下。