n实验室左腓骨的模型结构

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模型范畴理论

下面描述的模型类别结构声明过度分类 $S设置/S$ 是弱等价的，如果它诱导了这些推出给出的拟范畴的弱等价。所以这实际上是说，如果在左伴随下，我们将拟范畴的右fibration的态射视为弱等价 $（\infty，1）$ -Grothendieck构造，它诱导了 $（\infty，1）$ -对这些纤维进行分类的函子。

定义

对于 $f:X\到S$ 的一个态射单纯集合s、写入 $C^{\triangleft}（f）$ 对于推出

\阵列{X&\hookrightarrow&X^{\triangleft}\\\向下箭头&&\向下箭头\\S&\to-S\coprod_{X}X^{\triangleft}&=：C^{\trangleft{（f）}

在类别中sSet（设置）单纯集合。把这个叫做左锥体结束 $（f）$ .

这个上极限中的sSet（设置）是按组件计算的，因此顶点集 $C^{\triangleft}（f）_0$ 是以下顶点的不相交并集 $S公司$ 和一个额外的顶点 $五$ ，的锥头.

定义

(HTT，定义2.1.4.5)

这个左腓骨的模型结构或协变模型结构 $（集合/S）_{lfib}$ 在 $S集/S$ 由提供

形态 $f:X\到Y$ 是

如果单纯形集的基本态射是标准中的一个协合单形集上的模型结构，即a单态;
锥的诱导态射的弱等价性

$X^{\triangleft}\coprod_X S\至Y^{\triangleft}\coprod_Y S$

是Joyal中的弱等价准范畴的模型结构，其中 $X^{\triangleft}$ 是参加 $X ^｛\triangleleft｝：=｛*｝\星号X$ .

提议

这是一个

(HTT，支柱2.1.4.7、2.1.4.8)

我们有

fibrant对象正是左腓骨秒(HTT，推论2.2.3.12)
每一个左零差态射都是一个无环共纤维。(HTT，道具2.1.4.9)

该模型结构的另一个特征是：

定理

左侧纤维化的模型结构为布斯菲尔德本地化的过度分类上的模型结构 $S设置/X$ 由拟范畴的模型结构在 $S设置$ 在一组地图上 $\{\Lambda^n_0\hookrightarrow\Delta^n|n\ge 0，\ Delta^n\到X\}$ 由以下所有单纯形索引 $X（X）$ .

这在中提到Heuts-Moerdijk公司，第5页；另请参阅这次讨论.

属性

弱等价

提议

让 $S公司$ 是任何单纯集合.每个态射

\阵列{X&&\到&&Y\\&\searrow&&\swarrow\\&&S公司}

在里面 $设置_ S$ 对于其中 $X到Y$ 是左止痛药是左腓骨模型结构中的弱等效。

这是HTT，道具。2.1.4.6.

证明

从调用在这里剩下的无痛态射是由喇叭夹杂物（即超限成分属于收回第个，共个推出s） ●●●●。因此，检查语句中是否存在这些生成的形态就足够了。

根据上面弱等价的定义，这意味着我们需要检查

（\Lambda[n]_i）^{\triangleft}\coprod_{\Lambda[n]-i}S\至（\Delta[n]）^{\triangleft}\coprod_{\Delta[n]_i}S

是中的弱等价 $集合_｛Quillen｝$ .

注意这是一个推出

\阵列{\兰姆达[n+1]_{i+1}&\到&（\Lambda[n]_i）^{\triangleft}\coprod_{\Lambda ^n_i}S\\\向下箭头&&\向下箭头\\\增量[n+1]&\到&（\Delta[n]）^{\triangleft}\coprod_{\Delta^n}S}

的内零差态射 $\兰姆达[n+1]_{i+1}\to\Delta[n+1]$ 因此，这是一个弱等价。

为了说明上述pushout属性集 $n=2个$ 例如。从2单工开始 $\西格玛$ 在里面 $S公司$ .然后 $（\Delta ^2）^{\triangleft}\coprod_{Delta ^2}S$ 是原始的单纯形集 $S公司$ 与四面体一起 $\增量^3$ 建造 $\西格玛$ .四面体的一面是原始的2-单纯形 $\西格玛$ 在里面 $S公司$ ，其他三个“突出” $S公司$ :

单纯形集 $（\Lambda ^2_1）^{\triangleft}\coprod_{\Lambda^2_1}S$ 因此是单纯集 $S公司$ 只有这个四面体的三个面中的两个面 $\西格玛$ 已安装。

地图 $（\Lambda^3_2）\到（\Delta^2）^{\triangleft}\coprod_{Delta^2}S$ 标识由这两个新面和原始面给定的四面体的角 $\西格玛$ .

因此，推出粘在四面体的剩余面上，并用3个单元填充它。

更换底座

对于每一个态射 $j:S\到S'$ 我们有相应的附加在过度分类

（j_！\dashv j^*）:sSet/S\stackrel{\overset{f！}{\to}}{\underset{j^*}{\leftarrow}}}S集合/{S'}\,,

哪里

$j_！$ 通过后合成 $j个$ ;
$j个^*$ 由提供拉回沿着 $j个$ .

提议

（更换底座）

这是一个奎伦附加关于左侧腓骨的模型结构 $S公司$ 和 $S’$ 分别是。(HTT，道具。2.1.4.10)

如果 $j个$ 是一个中的弱等价 $sSet_{乔亚尔}$ ，那么这是一个奎伦等效. (HTT，备注2.1.4.11)

格罗森迪克建筑

提议

( $（\infty，1）$ -格罗森迪克建筑）

对于 $C类$ 一简单充实范畴和 $S=N（C）$ 它的同伦相干神经，有一个奎伦等效

（S集合/S）_{lfib}\stackrel{leftarrow}{\to}[C，sSet_{Quillen}]

左侧腓骨的模型结构之间 $S公司$ 和sSet函子的全局模型结构在 $C类$ 值在中sSet（设置）配备标准单形集上的模型结构.

有关此的更多信息，请参阅（∞，1）-Growthendieck构造.

工具书类

这是第2.1.4节的内容

雅各布·卢里,高等拓扑理论

这里是模型结构 $（集合/S）_{lfib}$ 被称为协变模型结构和模型结构 $（集合/S）_{rfib}$ 这个逆变模型结构.

作为本地化的替代结构在

Gijs Heuts公司,列克·莫尔迪克,左腓骨和同伦性结肠炎，Mathematische Zeitschrift279(2015) 723–744 [doi:10.1007/s00209-014-1390-7,arXiv公司：1308.0704]
Gijs Heuts公司,列克·莫尔迪克,左腓骨和同伦性结肠炎II[arXiv:1602.01274]

进一步讨论：

丹尼·史蒂文森,协变模型结构与单纯形定位西北部。欧洲数学杂志。三(2017) 141-202 [arXiv:1512.04815]

上次修订时间：2022年8月19日16:00:48。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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