n实验室笛卡尔纤维的模型结构

重定向自“共笛卡尔纤维的模型结构”。

上下文

模型范畴理论

$（\infty，1）$ -范畴理论

值得注意的是 $S=｛*｝$ 这是一个演示（∞，1）-范畴：作为普通模型类别这是奎伦当量到准范畴的模型结构，但它确实是一个 $sSet_{Quillen}（设置{Quillen）$ -丰富的模型类别（即比普通产品丰富单形集上的模型结构那个模型∞-广群s） ●●●●。

这个 $（\infty，1）$ -分类的Grothendieck建筑显示了笛卡尔纤维s和（∞，1）-预升反过来由奎伦等效标记单形集合上的模型结构与射影简单预升的整体模型结构.

标记单形集

标记的单形集是单纯集合It’还有一点额外的结构：一个可以记住应该是哪些边缘的标记笛卡尔态射第条。

定义

在组件中

定义

A类标记单形集是

一双 $（南、东）$ 包括
- 一单纯集合 $S公司$
- 和一个子集 $E\子集S_1$ 的边缘 $S公司$ ，调用了标记的边缘,
这样的话
- 所有退化边都是标记边。

变形 $（S，E）至（S’，E’）$ 标记单形集的是一个态射 $f:S\到S'$ 属于单纯集合将标记的边带到标记的边 $f（E）\子集E'$ .

符号

表示标记单形集的范畴 $sSet（设置）^+$ .
对于 $S公司$ 一单纯集合让
- $S^\扁平$ 或 $S^{分钟}$ 是最小标记单形集：只标记退化边；
- $S^\夏普$ 或 $S^{最大值}$ 是最大标记单形集：每条边都被标记。
对于 $p:X\至S$ 一笛卡尔纤维属于单纯集合让
- $X^\天然$ 或 $X^{购物车}$ 是笛卡尔标记的单纯集：精确地说 $第页$ -笛卡尔态射s已标记

作为准topos

尽管上面的定义很简单，但为了看到它的一些属性，考虑一下是很有用的 $sSet（设置）^+$ 以一种更抽象的方式。

定义

让 $\三角洲^+$ 成为类别定义为单纯形范畴 $\三角洲$ ，但还有一个对象 $[1^+]$ 这是唯一态射的因素 $[1] \至[0]$ 在里面 $\三角洲$

\阵列{[0]&\stackrel{\to}{\to{&[1]\\{}^{\mathllap{=}}\downarrow&\swarrow&\downarrow^{\mathrlap{p}}\\[0]&\左箭头&[1^+]}\,.

为该类别配备新闻报道其唯一的非平凡覆盖家庭是 $\{p:[1]到[1]^+\}$ .

观察

类别 $sSet（设置）^+$ 是准topos属于分离预升在 $\三角洲^+$ :

s设置^+\simeq SepPSh（\Delta ^+）\,.

证明

A类预切 $X:（\增量^+）^{op}\设置$ 如果同态化

X（p）：X_{1^+}\到X_1

是一个单态，因此如果 $X_{1^+}$ 是的子集 $X_1型$ 通过函数性，这个子集包含所有退化的1-细胞

\阵列{X（_0）\\\向下箭头&\searrow^{\mathrlap{\sigma}}\\X_{1^+}&\hookrightarrow&X_1}\,.

因此，我们可以自然地确定 $X（X）$ 作为配备了 $X_1型$ 包含所有退化的1-细胞。

此外，分离的preshaft的态射 $\三角洲^+$ 从定义上来说只是一个自然转化在它们之间，这意味着在这个解释下，正是单形集的一个态射，它尊重标记的1-单形。

请注意 $S设置^+$ 是真正的准topos：

观察

$sSet（设置）^+$ 不是地形.

证明

正则态射 $X^\平坦\至X^\尖锐$ 是单态s和满态s、但不是同构s.因此 $sSet（设置）^+$ 不是平衡类别，因此不能是拓扑。

笛卡尔闭包

引理

类别 $sSet（设置）^+$ 是一个笛卡尔闭范畴.

证明

这是上述情况的直接后果观察那个 $sSet（设置）^+$ 是一个拟拓扑。但详细说明笛卡尔闭包是有用的。

根据的一般逻辑预升上的闭合单体结构我们有这个 $PSh（增量^+）$ 是笛卡尔闭合的。仍需检查是否 $十、 Y\单位PSh（Delta ^+）$ 标记为单纯形集 $X_{1^+}\到X_1$ 是单态的，对于 $Y（Y）$ ，然后也 $是^X$ 具有此属性。

我们发现 $是^X$ 是

（Y^X）_{1^+}\simeqHom_{PSh（\Delta^+）}（[1^+]，Y^X）\simeq Hom_}（\Delta ^+）{（[1 ^+]\乘以X，Y）

以及态射 $（Y^X）_{1^+}\到（Y^X）_1$ 发送 $X次[1^+]\stackrel{\ta}{\to}Y$ 到

X\times[1]\stackrel{（Id，p）}{\to}X\times[1^+]\stackrel{\ta}{\to}Y\,.

现在，通过构造，每个非同一态射 $到[1^+]$ 在里面 $\三角洲^+$ 因素通过 $U到[1]$ ，这意味着如果 $p^*\eta_1$ 和 $p^*\eta_2$ 重合 $单位[1^+]$ ，那么已经有了的组件 $\eta_1$ 和 $\埃塔_2$ 在 $U型$ 巧合。通过假设 $X（X）$ 的值 $\eta_1$ 和 $\埃塔_2$ 在 $U=[1^+]$ 由于包含，已修复 $X_{1^+}\次[1^+]_{1p+}\钩右箭头X_{1\次[1^+/]_{1\}$ .因此 $第页^*$ 是内射的，所以 $是^X$ 形成于 $PSh（增量^+）$ 本身就是一个标记的单纯集。

定义

对于 $X（X）$ 和 $Y（Y）$ 标记单纯集let
- $地图^\平面（X，Y）$ 成为单纯集合基础笛卡尔式的内部hom $集合中的Y^X\^+$
- $地图^\锐度（X，Y）$ 由所有单形组成的单形集 $\地图^\平面（X，Y）中的σ$ 这样，每个边缘 $\西格玛$ 是的标记边缘 $是^X$ .

推论

这些映射复合体的特点是我们有自然的双投影

Hom_{sSet}（K，映射^\平面（X，Y））\西马克Hom_{集合^+}（K^\平面，Y^X）\西马克Hom_{sSet^+}（K^\flat\times X，Y）

和

Hom_{sSet}（K，Map^\sharp（X，Y））\西马克Hom_｛sSet^+｝（K^\sharp，Y^X）\西马克Hom_{sSet^+}（K^\sharp\times X，Y）

对于 $K\in设置$ 和 $十、设置中的Y\^+$ 特别是

映射^\平面（X，Y）_n=Hom_{集合^+}（X\时间\增量[n]^\平面，Y）

和

映射^\sharp（X，Y）_n=Hom_{集合^+}（X\times\Delta[n]^\sharp，Y）\,.

用文字表示

这个 $n个$ -内部hom的简化 $年^X$ 是简单的映射 $X\时间\增量[n]\右箭头Y$ 当你限制 $X_1\时间\增量[n]_1\右箭头Y_1$ 到 $E\时间\增量[n]_0$ （其中 $E类$ 是的标记边集 $X（X）$ )，此同态因子通过 $Y（Y）$ .
标记的边缘 $是^X$ 那些是简单的地图吗 $X\时间\增量[1]\右箭头Y$ 这样的限制 $X_1\时间\增量[1]_1\右箭头Y_1$ 到 $E\时间\增量[1]_1$ 通过标记边缘的因子 $Y（Y）$ 在前面的条件下，这表示当你应用同伦时 $X\时间\增量[1]\右箭头Y$ 到…的标记边缘 $X（X）$ 与身份匹配 $[1]$ ，应标记结果。

推论

$地图^\平面（X，Y）$ 是由给出标记保留映射的顶点所跨越的基础单纯形集的内部hom的完全单纯形子集，从这个意义上说 $\地图^\平面（X，Y）$ 精确地包含顶点为标记保护的简单体。

证明

这个 $n个$ -这种类型的单纯形是单纯形映射 $X\次\增量[n]\到Y$ 这样，对于每个点 $\增量[0]\到\增量[n]$ ，复合材料 $X\times\Delta[0]到X\times\Delta[n]\到Y$ 是标记保护。

定义

我们将所有这些符号从 $sSet（设置）^+$ 到过度分类 $S集合^+/S:=集合^+/（S^\夏普）$ 对于任何给定的（纯）单形集 $S公司$ ，通过声明

Map_S^\平面（X，Y）\子集Map^\平面

和

Map_S^\锐化（X，Y）\子集Map^\锐度（X，X）

是由与底映射相关的单元格跨越的子复杂体 $S公司$ .

观察

让 $Y到S$ 成为笛卡尔纤维单纯形集的 $X^\天然$ 如上所述，带有笛卡尔态射已标记s。

然后

$Map_S^\平面（X，Y^\自然）$ 是一个准范畴;
$Map_S^\锐利（X，Y^\自然）$ 是它的吗核心，最大值Kan复合体在里面。

这是HTT，备注3.1.3.1.

证明

这个 $n个$ -的单元格 $Map_S^\平面（X，Y^\自然）$ 是形态 $X\倍\增量[n]^\平\到Y^\自然$ 结束 $S公司$ 。这意味着对于固定 $x_0中的x\$ , $\增量[n]$ 映射到纤维属于 $Y到S$ 但笛卡尔纤维的纤维是内纤维s、因此是准范畴。

类似地 $n个$ -的单元格 $Map_S^\锐利（X，Y^\自然）$ 是形态 $X倍\Delta[n]^\sharp\to Y^\natural$ 结束 $S公司$ 。再次用于固定 $x_0中的x\$ , $\增量[n]$ 映射到纤维属于 $Y至S$ 但现在只触及笛卡尔边。但是（正如在笛卡尔态射)，如果一个点上的边是等价的，那么它就是笛卡尔边。

提议

我们有一系列伴随函子秒

（-）^{\flat}\dashv（-）_{\flat}\dash（-）:\数组{&\stackrel{（-）^{\flat}}{\to}&\\ &\stackrel{（-）_{\flat}}{\leftarrow}&\\ sSet&\stackrel{（-）^{\sharp}}{\to}&sSet^+\\ &\stackrel{（-）_{\sharp}}{\leftarrow}&}

标记单形集上的模型结构

笛卡尔弱等价

观察到准范畴的模型结构其特征如下。

引理

形态 $f:C\至D$ 在单纯形集之间准范畴是中的弱等价准范畴的模型结构准确地说，如果以下等效条款成立：

对于每个单形集 $K（K）$ ，态射 $集合（K，f）：将（K，C）设为集合（K、D）$ 是拟范畴模型结构中的弱等价。
对于每个单形集 $K（K）$ ，态射 $堆芯（集（K，f））：堆芯（集合（K，C））\到堆芯（sSet（K，D））$ 上核心s、最大值Kan复合体内部为es，是标准中的弱等价单形集上的模型结构，因此是同伦等价.

证明

这是HTT，引理3.1.3.2.

这可能被视为以下定义的动机。

定义/主张

对于每个笛卡尔纤维 $Z\到S$ ，我们有

Map_S^\平面（X，Z^{\自然}）

是一个准范畴和

Map_S^\sharp（X，Z^\natural）=核心（Map_S^\ flat（X，Z ^\nature））

是其中最大的Kan复数。

形态 $p:X\到Y$ 在里面 $S设置^+/S$ 是一个笛卡尔等价如果对每个笛卡尔纤维 $Z轴$ 我们有

诱导态射 $Map_S^\平面（Y，Z^{\natural}）\到Map_S^\flat（X，Z^}\natural}）$ 是一个拟范畴的等价性;

或同等方式：

诱导态射 $Map_S^\锐化（Y，Z^{\自然}）\到Map_S^\sharp（X，Z^}\自然}）$ 是一个Kan复形的弱等价.

这是HTT，道具。3.1.3.3具有HTT，备注3.1.3.1.

提议

让

\阵列{X&&\stackrel{p}{\to}&&Y\\&\searrow&&\swarrow\\&&秒}

是中的同态 $S设置/S$ 这样两个垂直映射到 $S公司$ 是笛卡尔式的谎言。那么以下是等效的：

$第页$ 是一个同伦等价.
诱导态射 $X^\天然\到Y^\天然$ 在里面 $S设置^+/S$ 是笛卡尔等价。
每根光纤上的诱导态射 $X_s\到Y_{p（s）}$ 是中的弱等价准范畴的模型结构.

证明

这是HTT，引理3.1.3.5.

模型结构

这个带标记单形超集的模型结构 $设置^+/S$ 结束 $在SSet中$ –也称为笛卡尔模型结构因为它是模型笛卡尔纤维s–定义如下。

定义/主张

（笛卡尔模型结构 $S设置^+/S$ )

类别 $S设置^+/S$ 属于标记单形集标记单形集上的s $S公司$ 带有左侧正确组合单纯形模型范畴定义如下。

这个S设置-丰富由提供

S集合^+/S（X，Y）：=Map_S^\夏普（X，Y）\,.

变形 $f:X\至X'$ 在里面 $S设置^+/S$ 属于标记单形集s是

一共纤维的精确if基础态射单纯集合s是标准中的共纤维单形集上的模型结构（即a单态).

（定义3.1.2.2HTT公司)
如果它是如上所定义的笛卡尔等价，则精确地表示弱等价。

证明

模型结构为中的命题3.1.3.7HTT公司简单富集是3.1.4.4的推论。

备注

使用 $Map_S^\平面（X，Y）$ 为映射对象生成 $S设置^+/S$ 一 $sSet_{乔亚尔}$ -丰富的模型类别（即富含准范畴的模型结构). 这是HTT，备注3.1.4.5.

请注意，这个模型结构中的每个对象都是共库的。以下命题表明，上述模型结构确实呈现了 $（\infty，1）$ -类别 $碳纤维（S）$ 属于笛卡尔纤维第条。

提议

一个物体 $p:X\至S$ 在里面 $S设置^+/S$ 是撒谎的关于上面的模型结构，精确地说，如果它同构于形式的对象 $Y^\自然$ ，用于 $Y至S$ 一笛卡尔纤维在里面sSet（设置）.

证明

这是HTT，道具。3.1.4.1.

特别是 $设置^+\cong设置^+/*$ 正是其中标记边正是等价物注意，笛卡尔模型结构 $S设置^+/S$ 是不这个超范畴上的模型结构诱导于 $S设置^+/S$ 从笛卡尔模型结构 $sSet（设置）^+$ !

定义/主张

（上下笛卡尔模型结构 $S设置^+/S$ )

还有另一种这样的模型结构笛卡尔纤维到处都被替换为共笛卡尔纤维。

标记的无痛形态

一类具有左起重特性同样，某些类型的腓骨通常被称为止痛药例如，单纯形集的左/右/内零差态射是一种对所有集都具有左提升性质的态射左/右腓骨s或内纤维s、分别是。

The class of标记止痛药中的态射 $sSet（设置）^+$ 如下文所定义的，是一种对所有笛卡尔纤维几乎具有左提升特性的东西。它并不完全是这样，但对于各种用途仍然有用。

定义(HTT，定义3.1.1.1)

收集标记无差态射在里面 $S设置^+/S$ 是一类形态 $An^+=LLP（RLP（An^+_0））$ 其中发电机组 $一个^+_0$ 包括

对于 $0 \ lt i \ lt n$ 最低限度的标记喇叭夹杂物

$（\Lambda[n]_i）^\flat\to\Delta[n]^\flat$
对于 $i=n$ 最后一个边缘标记的角状夹杂物：

$（\Lambda[n]_n，\mathcal{E}\cap（\Lambeda[n]_n）_1）\至（\Delta[n]，\mathcal｛E｝）\,,$

哪里 $\数学{E}$ 是中所有退化边的并集 $\增量[n]$ 与边缘一起 $\增量^{{n-1，n\}}到Delta[n]$ .
夹杂物

$（\Lambda[2]_1）^\sharp\coprod_{（\Lambeda[2]_1）^\flat}（Delta[2]）^\平面\至（Delta[2]）^\夏普\,.$
对于每个Kan复合体 $K（K）$ 态射 $K^\平坦\至K^\尖锐$ .

标记无差态射的关键性质是具有正确提升性质的态射的以下特征。

提议

形态 $p:X\至S$ 在里面 $S设置^+$ 有右起重特性关于班级 $安^+$ 标记的零差映射的精确条件是

$第页$ 是一个内纤维
边缘 $e（电子）$ 属于 $X（X）$ 如果它是 $第页$ -笛卡尔态射和 $第（e）页$ 在中标记 $S公司$
对于每个对象 $年$ 属于 $X（X）$ 和每个标记边缘 $\条e:\bar x至p（y）$ 在里面 $S公司$ 存在标记边缘 $e:x\到y$ 属于 $X（X）$ 具有 $p（e）=\bar e$ .

证明

这是HTT，道具。3.1.1.6

备注

因此，如果 $（X，E_X）\到（S，E_S）$ 是中的同态 $sSet（设置）^+$ RLP反对标记的止痛药态射，那么它的潜在态射 $X到S$ 在里面 $sSet（设置）$ 几乎是笛卡尔纤维：这可能只是因为缺少标记 $E_S（E_S）$ .

然而，如果全部的中的形态 $S公司$ 标记，然后 $（X，E_X）\到S^\夏普$ 当底层态射精确地存在时，RLP反对标记的无痛态射 $X到S$ 是一个笛卡尔纤维而且确切地说笛卡尔态射s标记在中 $X（X）$ , $（X，E_X）=X^\自然$ -换句话说，如果它是上的模型结构中的fibrant对象 $S设置^+/S$ .

另请参见HTT，备注3.1.1.11.

标记无差态射的以下稳定性性质在应用中很重要。回想一下 $sSet（设置）^+$ 是其底层同态位于sSet（设置）是一个单态性.

提议

（粉碎产品与纤维的稳定性）

标记的无痛态射在“破碎积“带共纤维：

对于 $f:X\至X'$ 标记为止痛药，以及 $g:Y\到Y'$ 共纤维，诱导态射

（X\乘以Y'）\coprod_{X\乘以Y}（X'\乘以Y）\至X’\乘以Y’

从中退出推出在里面 $sSet（设置）^+$ 标记为无痛。

证明

这是HTT，道具。3.1.2.3.

作为 $（\infty，1）$ -类别 $（\infty，1）$ -类别

乔亚尔准范畴的模型结构 $sSet_{乔亚尔}$ 是一个丰富的类别丰富自己。确实如此不一简单模型范畴在标准意义上，这意味着 $sSet_{Quillen}（设置{Quillen）$ -丰富了。

事实上，完整的“集合丰富”子类别 $（sSet_{Joyal}）^\circ$ 关于fibrant-fibrant对象是（∞，2）-范畴（∞，1）猫属于（∞，1）-类别。对于许多应用程序，只使用（∞，1）-范畴在里面，通过吸收每个人-物体准范畴最大Kan复合体.

产生的结果（∞，1）-范畴应该由简单模型范畴标记单形集上的模型结构确实实现了这一点。

工具书类

标记单形集在

雅各布·卢里,高等地形理论

第3.1.3节描述了标记单纯形重叠的模型结构

最后一次修订时间为2024年5月15日14:36:17。请参阅历史获取所有贡献的列表。

n实验室笛卡尔纤维的模型结构

上下文

模型范畴理论

(∞,1)（\infty，1）-范畴理论

目录

想法

标记单形集

定义

在组件中

定义

符号

作为准topos

定义

观察

证明

观察

证明

笛卡尔闭包

引理

证明

定义

推论

推论

证明

定义

观察

证明

提议

标记单形集上的模型结构

笛卡尔弱等价

引理

证明

定义/主张

提议

证明

模型结构

定义/主张

证明

备注

提议

证明

定义/主张

标记的无痛形态

定义(HTT，定义3.1.1.1)

提议

证明

备注

提议

证明

作为(∞,1)（\infty，1）-类别(∞,1)（\infty，1）-类别

相关概念

工具书类

$（\infty，1）$ -范畴理论

作为 $（\infty，1）$ -类别 $（\infty，1）$ -类别