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想法

模态类型理论是的味道类型理论具有类型形成规则对于模式，因此类型理论哪个在命题减少到模态逻辑.

以下(莫吉91,Benton，Bierman&de Paiva 19198年;比尔曼和德佩瓦1996,2000;小林1997)模态类型理论被特别理解为具有(钴-)单子在其类型系统上，表示预期的模态运算符.自计算机科学中的单子体现一个概念计算，一些作者也谈到计算类型理论这里(Benton，Bierman&de Paiva 1998年,费尔特洛·曼德勒02).

根据(Benton，Bierman&de Paiva 1998年，第1-2页)这与默认的(第4页)模态逻辑关于模式 $T型$第页，共页“可能性”:

莫吉工作的出发点是明确区分计算和值.如果$A类$是一个解释特定类型的值的对象，那么$T（A）$是模拟该类型计算的对象$A类$.$[...]$对于各种各样的计算概念，一元运算符$T（-）$结果是有一个强单子关于一个基本的笛卡尔闭值范畴。$[...]$在纯粹的直觉层面上，尤其是当人们考虑非终结性时，类型计算的概念当然有一些吸引人的地方$A类$表示类型的值的可能性$A类$.

当潜在类型理论是同伦型理论这些模式是对传统模式的“更高”概括，在高等范畴理论：他们有范畴语义学在里面（∞，1）-类别由提供（∞，1）-单元。请参阅(舒尔曼12,Rijke、Shulman、Spitters)用于定义高级模态，请参阅反射子宇宙.

属性

与单子体的关系

至少在许多情况下，类型理论中的模态被识别为单子或基础上的共鸣类型 宇宙，或在的子宇宙上命题.

请参见示例(Benton，Bierman&de Paiva 1998，第3.2节), (小林寺), (Gabbay-Nanevski，第8段), (Goubault-Larrecq，Goubault，第5.1节), (驻车档，第2.6节), (舒尔曼)作为第一个示例，以及(Moggi，定义4.7), (Awodey-Birkedal，第4.2节)作为第二个例子。

与内源性佐剂的关系

a上的内联函数法律范畴产生了满足模态公理K的模态类型理论；看见从属右伴随这也产生了良好的声音和对惠誉式模态的完整解释$\λ$-微积分。

示例

几何形态——Grothendieck拓扑

作为特殊情况模态-模态关系，a格罗森迪克拓扑上网站基础a割前地形在脱毛 单子 $PSh（C）\至Sh（C）\hookrightarrow PSh（C）$由sheaf地形 几何嵌入更一般地说，任何几何子拓扑都等价地由一个左正幂等单体表示。

当限制行动时（-1）-截断对象（即。次终端对象或者更一般地说单态)，这将成为万能闭包算子当内化为对子对象分类器，这将成为相应的Lawvere-Tierney操作员。这种关于脱衣舞的模态观点可能首先由比尔·劳弗尔:

Grothendieck“拓扑”最自然地表现为自然界的模态算子“这是局部情况”(劳弗尔).

这里，“在局部情况下，[X是/Eclidean/etc]”，用通常的说法，对应于“X是局部可度量的/Eclidean/etc”。

更多讨论将在(戈德布拉特)，其中这种形式称为几何形态.

对于较高的地形，一般来说，子主题由其在$(-1)$-截断对象，但我们仍然可以将整个sheafifation monad视为高级模态在内部同伦型理论.

关闭模式

上的规范单子局部地形在其内部语言中产生命题的闭包形式，如(Awodey Birkedal公司).

必要性和可能性

请参阅必要性和可能性该部分依赖型理论的可能世界

衔接和差异形式

通过添加到同伦型理论编码的三种（更高）模式离散类型和共晶型因此隐含了一个非（共）离散的概念凝聚获得一个内聚同伦型理论.为添加更多模式无穷小（co）离散收益率微分仿射型理论.

相关概念

• 闭合算子

• 幂等单子,幂等元（∞，1）-单子

• 模态类型,反模态

• 模态同伦型理论

• 伴随逻辑

• 反射子宇宙

• 几何类型理论

工具书类

明确识别模态运算符关于类型单子（请参阅monad（计算机科学）)是由于

• 尤金尼奥·莫吉,计算和单子的概念。信息与计算, 93(1), 1991. (pdf格式)

这是为了系统地产生建设性的模态逻辑in（另请参阅计算类型理论)

• 尼克·本顿,加文·比尔曼,瓦莱丽亚·德佩瓦,从逻辑角度看计算类型，函数编程杂志82 (1998) 177-193 [网址：10.1017/S0956796898002998,网状物]

• 加文·比尔曼,瓦莱丽亚·德佩瓦,重新审视直觉主义的必要性伯明翰大学计算机科学学院研究报告（1996）[研究门,pdf格式]

• 加文·M·比尔曼,瓦莱丽亚·德佩瓦,论直觉主义模态逻辑，Studia Logica公司65(2000) 383–416 [doi:10.1023/A:1005291931660,pdf格式]

• 小林佐治,Monad作为情态，理论计算机科学1751 (1997) 29-74 [doi:10.1016/S0304-3975（96）00169-7]

• M.Fairlough、Michael Mendler、，命题松弛逻辑，信息与计算137（1）：1-33（1997）[pdf格式]

• 史蒂夫·阿沃迪，第279页，见：范畴理论，牛津大学出版社（20062010）[doi:10.1093/acprof:oso/9780198568612.001.0001,国际标准图书编号：9780199237180,pdf格式]

另请参见伴随逻辑，如中所述

• 丹·利卡塔,迈克·舒尔曼,具有2类模式的伴随逻辑，英寸2016年计算机科学逻辑基础(pdf格式,幻灯片)

中的模态系统“CL”和“PLL”(Benton，Bierman&de Paiva 1998年)和(费尔洛夫·曼德勒)分别相当于戈德布拉特中的系统CS4(小林1997)产生了一个建设性的版本S4模态逻辑.

明确提到配备了这样一个单子的类型理论模态类型理论或计算类型理论在中

• 马特·费尔特洛、迈克尔·门德勒、，计算类型理论的逻辑内容：柯里问题的一种解决方法，《计算机科学》第2277卷，2002年，第63-78页，证明和程序讲稿类型

中明确讨论了模态运算符依赖型理论（并简要提及与单子)在中

• 阿列克桑达尔·纳内夫斯基,弗兰克·普芬宁布里吉特·皮恩特卡，语境模态类型理论(2005) [网状物,幻灯片]

• 瓦莱丽亚·德佩瓦艾克·里特，纤维模态类型理论，《理论计算机科学电子笔记》第323卷，2016年7月11日，第十届逻辑和语义框架及其应用研讨会论文集（LSFA 2015），第143-161页(doi:10.1016/j.entcs.2016.06.010)

• 丹尼尔·格拉泽，乔纳森·斯特林,拉尔斯·比克达尔,模态依赖型理论的实现, (pdf格式,github)

• 丹尼尔·格拉泽，模态依赖型理论的实现，在ICFP第19页(幻灯片pdf)

• 丹尼尔·格拉泽,G.亚历克斯·卡夫沃斯,安德烈亚斯·努伊茨,拉尔斯·比克达尔:多模相关型理论，计算机科学中的逻辑方法173（2021）lmcs:7713[arXiv公司：2011.15021,doi:10.46298/lmcs-17（3:11）2021年]

• 迈克·舒尔曼,多模态伴随类型理论的语义(arXiv公司：2303.02572)

• 丹尼尔·格拉泽,情态类型理论的句法和语义奥胡斯博士（2023年）[pdf格式]

模态类型理论领域的综述正在收集中

• M.Fairtlough、M.Mendler、，尤金尼奥·莫吉（编辑），类型理论中的模式《计算机科学中的数学结构》，第11卷，第4期，（2001年）

• 瓦莱丽亚·德佩瓦拉杰夫·戈尔、迈克尔·门德勒，建构逻辑和类型理论中的模态《逻辑与计算杂志》专刊，第439-446页，第14卷，第4期，牛津大学出版社，（2004）(pdf格式)

• 瓦莱丽亚·德佩瓦，Brigitte Pientka（编辑）直觉模态逻辑与应用（IMLA 2008）, . Inf.计算。209(12): 1435-1436 (2011) (网状物)

历史上第一个模态类型理论，对脱毛作为内部语言的情态格罗腾迪克topos回到了Lawvere-Tierney操作员

• 比尔·劳弗尔,量化器和滑轮演员，国会实习生，数学。，1970年，《汤姆一世》，第329至334页(pdf格式)

已在中审阅

• 罗伯特·戈德布拉特,Grothendieck拓扑作为几何形态《数学逻辑季刊》，第27卷，第31-35期，第495-529页，（1981）

模态类型理论同伦型理论在中进行了讨论

• UF-IAS-2012,模态类型理论

形式的形式化同伦型理论(模态同伦型理论)在中进行了讨论

• 迈克·舒尔曼,更高的模式，在UF-IAS-2012，2012年10月(pdf格式)

• 埃格伯特·里杰克,迈克·舒尔曼,低音喷溅,同伦类型理论中的模态，计算机科学中的逻辑方法，161 (2020) [arXiv:1706.07526,认识：6015,doi:10.23638/LMCS-16（1:2）2020年]

• 迈克·舒尔曼,http://homotopytypetheory.org/2015/07/05/modules-for-modifies/(2015)

• 埃格伯特·里杰克,低音喷溅，约为的定义1.11同伦类型理论中的集合(arXiv公司：1305.3835)

• 凯文·奎林和尼古拉斯·塔巴鲁，同伦类型理论中的Lawvere-Tierney剪切,车间2015年谈话(pdf格式)、凯文·奎林论文

特别是在内聚同伦型理论在里面

• Urs Schreiber公司,迈克尔·舒尔曼,凝聚同伦型理论中的量子规范场理论，英寸罗斯·邓肯,普拉卡什·帕南加登（编辑）第九届量子物理与逻辑研讨会论文集2012年10月10日至12日，比利时布鲁塞尔(arXiv:1408.0054)

• 迈克·舒尔曼,实内聚同伦型理论中的Brouwer不动点定理，《计算机科学中的数学结构》第28卷（6）（2018）：856-941(arXiv公司：1509.07584,doi:10.1017/S0960129517000147)

• 费利克斯·韦伦,模态同伦类型理论中的Cartan几何(arXiv公司：1806.05966,论文pdf)

• 大卫·杰斯·迈尔斯,通过Modal Prism的良好纤维(arXiv:1908.08034v2)

一本专著旨在哲学家在中

• 大卫·科菲尔德,模态同伦型理论，牛津大学出版社2020(国际标准图书编号：9780198853404)

下列的

• 大卫·科菲尔德,模态同伦型理论, 2017 (PhilSci档案：15260)

一元模态类型理论幂等单子/一元反射在

• 安杰伊·菲林斯基,表示分层单体，POPL 1999。(pdf格式)

• 安德烈·菲林斯基,论一元语义之间的关系，TCS 375:1-3，2007年。(pdf格式)

• 安德烈·菲林斯基,行动中的单子，POPL 2010。(pdf格式)

• Oleg Kiselyov和Chung-chieh Shan，嵌入式概率编程。特定领域语言工作会议, (2009) (pdf格式)

一般框架在

• 丹·利卡塔,迈克·舒尔曼,具有2类模式的伴随逻辑，英寸2016年计算机科学逻辑基础(pdf格式,幻灯片)

  （用于情态动词 一元类型理论?)

• 丹尼尔·利卡塔,迈克·舒尔曼、和米切尔·莱利,亚结构和模态逻辑的纤维框架（扩展版），《第二届计算和演绎形式结构国际会议论文集》（FSCD 2017）(doi:10.4230/LIPIcs。FSCD.2017.25版,pdf格式)

  （用于情态动词 简单类型理论)

审查内容包括

• 丹·利卡塔,费利克斯·韦伦,模态相关型理论中的综合数学，教程位于类型、同伦理论与验证, 2018

  教程1，Dan Licata：模态简单类型理论的纤维化框架(记录)

  教程2，Felix Wellen：实内聚HoTT和覆盖空间中的形状模态(记录)

  教程3，Dan Licata：衔接HoTT中的离散和共离散模式(记录)

  教程4，Felix Wellen，衔接HoTT中的离散和共离散模式，II(记录)

  教程5，Dan Licata：模态相关型理论的纤维化框架(记录)

  教程6，Felix Wellen：差异内聚HoTT, (记录)

• 丹·利卡塔,模态相关型理论中的综合数学，上的教程注释类型、同伦理论与验证, 2018 (pdf格式)

• 迈克尔·舒尔曼,高级模态的语义，在Modal HoTT中的几何学（2019）(pdf幻灯片,视频录制)

• 费利克斯·切鲁比尼,模态HoTT中的几何，在Modal HoTT中的几何学（2019）(视频录制)

• 埃格伯特·里杰克,反射子宇宙和模式，在Modal HoTT中的几何学（2019）(视频录制)

• 埃格伯特·里杰克,模态下降，在Modal HoTT中的几何学（2019）(视频录制)

另请参见

• 弗兰克·普芬宁,走向模态类型理论(2000) [pdf格式]

• 弗兰克·普芬宁,模态类型理论中的内涵性、外延性和证明无关性，in：计算机科学逻辑研讨会（2001）221&-230[网状物]

• 朱塞佩·普里米埃罗，多模态相关型理论(pdf格式)

• 默多克·加贝，阿列克桑达尔·纳内夫斯基,语境模态类型理论（CMTT）的外延：语法和元编程(pdf格式)

• G.A.Kavvos，模式、衔接和信息流, (arXiv:1809.07897号)

• Y.Nishiwaki、Y.Kakutani、Y.Murase、，通过迭代富集的模态，2018年MFPS(pdf格式)

中的模态内部语言的局部地形在第4.2节中进行了讨论

• 史蒂夫·阿沃迪,拉尔斯·比克达尔,局部拓扑映射的基本公理，《纯粹与应用代数杂志》，177（3）：215-230，（2003）(秒,pdf格式)

• Jean Goubault-Larrecq、Eric Goubault、，直觉S4证明的几何性质《同调、同伦与应用》第5卷第2期（2003年）

• Sungwoo公园，罗伯·哈波,特效的模态语言(2004) (网状物)

• 丹·利卡塔,罗伯·哈波,ML5的一元形式化(arXiv:1009.2793)

• Ranald Clouston、Bassel Mannaa、Rasmus Ejelles Mögelberg、Andrew M.Pitts、Bas Spitters、，模态从属类型理论与从属右伴随词 阿尔西夫, 2018

• 费利克斯·切鲁比尼,埃格伯特·里杰克,模态下降, (arXiv:2003.09713号)

相关参考文献列表也保存在

• 瓦莱丽亚·德佩瓦,直觉主义模态逻辑精选出版物(网状物)