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想法

严格意义上的a循环空间在里面拓扑对于给定的点拓扑空间 $X（X）$是映射空间（带有紧开拓扑，请参见示例那里)$地图（S^1，X）$属于连续函数来自圆圈到$X（X）$，以便将圆的给定基点移到$X（X）$（或者如果一个人放弃了这个条件，那么他就会说自由循环空间). 其中一个连续函数可以被认为是$X（X）$，因此映射空间是所有这些循环的空间。

如果在这里$X（X）$配备了进一步的结构，例如光滑结构（例如a光滑歧管)，那么在好的情况下，也可以在循环空间上找到这种额外的结构，例如，形成一个平滑循环空间等。请参阅映射空间的流形了解更多信息。

如果有人认为这个结构不在点集拓扑但在拓扑空间的经典同伦理论(同等地 ∞Grpd)，然后，最多弱同伦等价，循环空间等价于同伦纤维制品基点包含$\ast\到X$沿着它本身。

定义

让顶部成为拓扑空间的好范畴尤其是一个完成,共同完成，以及笛卡尔闭合.让$（S^1，磅）$成为圆圈，即一维球，以选定的基点，并让$（X，*）$成为一个有选择的空间基点.然后循环空间属于$X（X）$（于$*$)是一个内部hom

在类别中$顶部_*$的基础空间。明确地说，它是由拉回在里面$顶部$

（使用指数表示内孔$顶部$)换句话说功能空间基点-保护映射$S^1\到X$，其基点是常量映射$S^1\到X$在…的基点$X（X）$.

类别$顶部_*$是对称的单体的关闭; 它的一元乘积称为破碎积，通常表示$\楔子$尤其是循环空间函子

有一个左伴随通过使用粉碎产品获得$（S^1，磅）$.这个左伴随词$S： Top_*\到Top_*$被称为悬架函子.明确地说，暂停$秒X$形成为推出

由右垂直箭头提供基点。

属性

同伦结合结构

循环空间是A-∞空间，特别是它是一个H空间.循环空间承认这种丰富的代数结构，这种结构源于基空间$序号^1$具有相应丰富的共代数结构，从基本空间开始$序号^1$是H-同群.

在循环空间上对这种结构的描述是引入操作的和运算对象上的代数英寸(五月).

一个重要的理论考虑是，当H空间，特别是具有CW-复合体，具有另一个CW-复数的循环空间的同伦类型：$X\simeq\Omega Y系列$。在这种情况下，有人会打电话给$Y（Y）$一去循环属于$X（X）$; 一个重要的例子是$X（X）$携带拓扑群结构$G公司$，以及$Y（Y）$是分类空间属于$G公司$.

关于delooping最基本的事实是同伦群秒：

• $\pi_n（\Omega Y）\cong\pi_{n+1}（Y）$

它直接从附加 $S\dashv\Omega公司$加上暂停$序号$是$S^{n+1}$（这种同构需要进一步发展。）

“H空间什么时候可以是”问题的现代研究去环的?” 就职典礼由是吉姆·斯塔谢夫.基本定理如下（假设所有空间都是CW-复形）：

这是由于(斯塔舍夫). 类似的说法适用于（∞，1）-拓扑除顶部。有关此更一般性声明的详细信息，请参阅循环空间对象和（∞，1）-范畴中的群群对象.

局部同伦性质

让空间$X（X）$是本地0连接和半局部1-连接（即，它允许通用覆盖空间). 循环空间$\欧米茄X$因为任何基点都是局部路径连接的，就像自由循环空间一样$X^{S^1}$.如果$X（X）$是局部1-连通的，并承认开集的基础$U型$这样的话$\pi_2（U）到pi_2（X）$是零地图，那么$\欧米茄X$是局部0连通和半局部1连通的，因此允许一个泛覆盖空间。

一般来说，如果$X（X）$是本地的$n个$-有联系的,$\欧米茄X$是本地的$（n-1）$-已连接。这个过程显然可以迭代到$n个$时间，所以$\欧米茄^n X$是本地0连接的。这可以减弱到局部$（n-1）$-连通和半局部$n个$-连接：这就像$n=1个$外壳，但更换$\pi_1$具有$\像素（_n）$（如前一段所述$\二氧化硅$). 我们实际上将空间定义为半局部的$n个$-连接以包括它是本地的条件$（n-1）$-已连接。这一结果在更一般的映射空间中得到了证明$X ^P$和各种子空间$X（X）$是Hausdorff和$P（P）$有限的多面体英寸(瓦达)而是一个更简单直接的一般证明$X（X）$和$P=I$或$P=S^1$是可能的。

对于$n=2$，这个在大卫·罗伯茨的论文。对于$n=1个$，它早已为人所知罗尼·布朗的拓扑教科书。

循环空间的同调

请参阅循环空间的同调.

模型

有一个奎伦等效

在单形群的模型结构和简化单形集上的模型结构，从而将这两个模型都作为无限群(菅直人58). 它左伴随 $G公司$，的单纯形循环空间建设，是循环空间构造的具体模型，其值为单形群.

另请参见单形群和（∞，1）范畴中的广群对象了解更多详细信息。

相关概念

• 路径空间

• 循环空间对象,自由循环空间对象

  循环空间类型

  • 循环空间的沙利文模型

  • 去循环,循环和去循环

  • 循环空间,自由循环空间,

  • 相对循环空间

  • 迭代循环空间

  • 无限循环空间

  • 形式循环空间

  • 导出循环空间

  • 平滑循环空间

  • 楔形圆的环空间

• 卡洛龙通信

• 悬挂物体

  • 悬架

• A无穷大空间,树状笛卡尔纤维的模型结构

工具书类

概述

• 丹尼尔·阚,同伦理论与c.s.s.群数学安。68 (1958), 38-53

• 是吉姆·斯塔谢夫,同伦结合$H（H）$-空间I、II，事务处理。阿默尔。数学。Soc.1081963275-312

• 彼得·梅,迭代循环空间的几何数学课堂讲稿271（1970）(pdf格式)

• H.瓦达，映射空间的局部连通性《杜克数学杂志》第卷？（1955）第419-425页

单纯形循环群函子在

• 保罗·高尔斯,里克·贾丁,单纯形同伦理论(网状物)

另请参阅参考资料循环和去循环.

示例

关于的循环空间点的配置空间:

• 爱德华·法德尔,苏菲安·侯赛尼,配置空间上的循环空间和Majer-Terracini索引、白杨。方法非线性分析。第11卷第2期（1998年），249-271(欧几里德：tmna/1476842829)

• 弗雷德·科恩,塞缪尔·吉特勒,配置空间、编织群和结的循环空间，地址：AguadéJ.，Broto C。，卡莱斯·卡萨库贝尔塔（编辑）同伦理论中的上同调方法《数学进展》，第196卷。巴塞尔Birkhäuser(doi:10.1007/978-3-0348-8312-2_7)

• Toshitake Kohno公司,配置空间的循环空间与有限类型不变量，几何。拓扑。单声道。4 (2002) 143-160 (arXiv:math/0211056)

• 弗雷德·科恩,塞缪尔·吉特勒,关于配置空间的循环空间，事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。354（2002），第5期，1705–1748(jstor:2693715,2002年中期：55020)

  （于普通同源性属于循环空间配置空间的）