n实验室局部紧拓扑空间

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上下文

拓扑结构

或者更确切地说，如果人们不同时假设空间是Hausdorff拓扑空间然后，人们需要要求这些紧凑的街区以受控的方式存在，例如，人们可以在每个规定的开放街区内找到它们（def）。并且可能是较小开放邻里的拓扑封闭（def）。（见下文）。

使用中有各种定义，如果空间也是豪斯道夫（道具。（见下文）。

局部紧集豪斯道夫空间也可以称为局部紧集; 比较紧凑的.

局部紧性是使用拓扑空间时默认情况下经常需要的条件之一：局部紧空间是一类“好拓扑空间”.

定义

（通过紧邻域基的局部紧性）

A类拓扑空间是局部紧的如果每个点都有邻里基地包括紧子空间这意味着每一点 $x中的x$ 每一个开放邻里 $U_x\supset\{x\}$ 包含一个契约街区 $K_x\子集U_x$ .

或者：

定义

（通过邻近区域内的紧凑封闭实现局部紧凑性）

A类拓扑空间 $X（X）$ 被称为局部紧的如果每个点 $x中的x$ 以及每个开放邻里 $U_x\supset\{x\}$ 有一个较小的开放社区 $V_x\子集U_x$ 谁的拓扑闭包是契约仍然包含在 $U型$ :

\{x\}\子集V_x\subset\underset{\text{compact}}{Cl（V_x）}\子集U_x\,.

提议

如果 $X（X）$ 是一个Hausdorff拓扑空间然后定义等同于定义.

证明

一般定义意味着定义我们需要证明Hausdorffness意味着相反。

因此，假设对于每一点 $x中的x$ 然后每一个开放的街区 $U_x\supset\{x\}$ 包含紧凑的邻里关系。我们需要证明它也包含闭包 $氯（V_x）$ 一个较小的开放式社区，因此这种封闭是紧凑的。

所以让我们 $K_x\子集U_x$ 成为一个紧凑的社区。作为一个社区，它有一个非平凡的内部这是一个开放的街区

\{x\}\子集Int（K_x）\子集K_x\子集U_x\子集x\,.

自Hausdorff空间的紧致子空间是封闭的，因此 $K_x\子集x$ 是闭子集。这意味着拓扑闭包作为其内部的子集 $X（X）$ 仍包含在中 $K_x（K _ x）$ （因为拓扑闭包是包含给定子集的最小闭子集）： $Cl（Int（K_x））\子集K_x$ .自如果子集在环境空间中是闭合的，那么它们在闭子空间中是精确闭合的, $氯（国际（K_x））$ 也作为紧致子空间的子集闭合 $K_x（K _ x）$ 。从现在起紧空间的闭子集是紧的，因此，这个闭包也是紧致的，作为 $K_x（K _ x）$ ，自紧空间的连续映象是紧的，最后得出结论，它也是紧的子空间 $X（X）$ :

\{x\}\子集Int（K_x）\子集\下集{\text{compact}}{Cl（Int（K_x））}\子集\下集{}{K_x}\子集U_x\子集x\,.

备注

（术语备注）

至于紧凑空间(这句话)，一些作者选择包括豪斯道夫当然，将局部紧非必要Hausdorff空间称为“局部拟紧”。我们在此不遵循这一惯例，但应该警告读者，如果没有豪斯多夫假设，文献中存在几个关于局部紧性的不公平概念；看见英语维基百科调查和反例。

然而，请注意，拓扑空间 $X（X）$ 令人满意的定义是有规律的，因为从定义中可以直接看出，封闭的街区形成了 $X（X）$ ，这相当于规则性。因此，我们只需要 $X（X）$ 是 $T_{0}$ 事实上是豪斯多夫。

示例

例子

每离散空间是局部紧的。

例子

(紧Hausdorff空间的开子空间是局部紧的)

每打开拓扑子空间 $X\底集{\text{open}}{\subset}K$ 的契约豪斯道夫空间 $K（K）$ 是一个局部紧拓扑空间.

尤其是每紧Hausdorff空间它本身就是局部紧的.

相反，每个局部紧Hausdorff空间 $X（X）$ 以这种方式出现，因为它可以被视为它的一个开放子空间单点紧化 $X\sqcup\{\infty\}$ .看那里这个例子.

例子

这个实数,复数，以及 $\mathfrak{p}$ -adic完井属于代数数字段（关于首要理想 $\mathfrak{p}$ 在中整数环)局部紧密。在正特性 $第页$ ，领域洛朗级数 $\马特布{F} （_q）（吨）$ 超过有限域具有 $q个$ 根据离散估值进行拓扑化的元素是局部紧的。事实上，任何非离散局部紧领域必须是这些类型之一；他们被称为本地字段.

例子

有限乘积拓扑空间局部紧空间是局部紧的。

例子

闭子空间局部紧空间是局部紧的。（因此局部紧空间形成有限完全范畴.)

例子

(拓扑流形是局部紧拓扑空间)

拓扑流形，在本地同胚的到欧几里得的度量空间 $\矩阵{R}^n$ ，局部紧凑，通过示例和.

这也适用于局部欧几里德空间不一定是仿紧的 Hausdorff拓扑空间，例如长线.

例子

（非紧致空间的可数无穷乘积不是局部紧致的）
让 $X（X）$ 成为拓扑空间哪一个不是契约.然后产品拓扑空间的可数无限集的副本 $X（X）$

\底集{n\in\mathbb{n}}{\prod}X

不是局部紧凑的。

证明

自从紧空间的连续映象是紧的，自从投影地图 $p_i\；\冒号\；\underset{\mathbb{N}}{\prod}X\右箭头X$ 是连续的，因此乘积空间的每个紧致子空间都包含在以下形式之一

\underset{i\in\mathbb{N}}{\prod}K_i

对于 $K_i\子集X$ 契约。

但就本质而言Tychonoff拓扑，一个拓扑的基础在 $\下集{\mathbb{N}}{\prod}X$ 由表单的子集给出

\左(\underset{i\in\{1，\cdots，n\}}{\prod}U_{i}\右侧）\次\左(\低于{j\in\mathbb{无}_{\gtn}}{\prod}X（X）\右侧）

具有 $U_i\子集X$ 打开。因此 $\下集{\mathbb{N}}{\prod}X$ 包含此类子集，但如果 $X（X）$ 它本身是非紧的，那么这些都不包含在紧子集的乘积中。

例子

（不充足）的空间有理数作为实数欧几里德拓扑不是局部紧的，因为它的紧子集都有空的内部。

属性

概述

提议

(局部紧空间的真映射是封闭的)

让

$（X，\tau_X）$ 成为拓扑空间,
$（Y，\tau_Y）$ 一局部紧拓扑空间根据定义。,
$f\冒号X\到Y$ 一连续函数.

然后：

如果 $（f）$ 是一个正确的地图，那么它是一个封闭式地图.

范畴理论性质

也许范畴拓扑的局部紧性（如上所定义）的最重要的结果是，局部紧空间是可指数化的，即，如果 $Y（Y）$ 是局部紧的，那么 $Y\次-：从上到上$ 有一个右伴随 $（-）^Y:从上到上$ 事实上，这几乎是局部紧性的抽象定义：对于清醒的空间，局部紧性等价于指数。参考以下情况区域设置：Hyland的结果是区域设置为局部紧的当且仅当它是指数的。（参见空间指数定律和紧开拓扑了解更多详细信息。）

如上所述，局部紧空间形成有限完备完整子范畴属于 $顶部$ 局部紧致空间的任意乘积是局部紧致的，这是不正确的。然而，局部紧空间的一些重要例子被构造为限制直积，如下所示。

让 $（X_p，K_p）{p\在p}中$ 是一对空格的集合，其中每个空格 $X（_p）$ 局部紧致 $K_p\子结构X_p$ 是紧凑型打开子空间。这个限制性直接产品该系列的核心是过滤图由空间组成

D_F=\prod_{p\在F}X_p\times\prod_{p\notin F}K_p

哪里 $F类$ 的所有有限子集上的范围 $P（P）$ ，连同夹杂物 $D_F\子结构D_{F'}$ 哪里 $F\subseteq F'$ 。我们发现 $D_F（_F）$ 是局部紧的，并且是打开局部紧空间的包含也是局部紧的。因此，在上述假设下，受限制的直接产品是局部紧的。

当然，这些假设相当严格；此类受限直接产品的重要示例包括拓扑阿黛勒环s和idele群s.如果是adele环，则成对集合为 $（K_{mathfrak{p}}，O_{mathfrak{p}）$ 哪里 $K_{\mathfrak{p}}$ 是 $\mathfrak{p}$ -a的adic补全数字字段 $K（K）$ 和 $O_｛\mathfrak｛p｝｝$ 是 $\mathfrak{p}$ -整数环的adic完备 $O\subseteq K（O \ substeq K）$ .

无论如何，局部紧空间的范畴不允许一般的无限积。如果是这样的话，那么局部紧Hausdorff空间的范畴也是如此，局部紧Hawsdorff阿贝尔群的范畴也是这样。然而，在 $LCHAb公司$ 因为如果存在，那么通过利用乘积的普适性，它将成为实数上的Hausdorff TVS，这与唯一局部紧Hausdoff TVS是有限维的事实相矛盾。

局部紧空间是在以下情况下关闭副产物中的 $顶部$ 。他们不接受多种类型的上极限s一般；从某种意义上说，这是一个存在的理由对于紧生成拓扑空间：它们正是腹痛 $顶部$ 局部紧空间图的。（见下文）。

与紧生成空间的关系

Gelfand对偶

低于Gelfand对偶紧Hausdorff拓扑空间的范畴等价于相反类别可交换的C-星代数在局部紧拓扑空间中也有一些推广。请参阅Gelfand对偶了解更多信息。

其他属性

提议

局部紧Hausdorff空间是仿紧的无论何时第二可数.

例子

局部紧Hausdorff空间是完全正则拓扑空间.

（例如。杜贡吉1966，XI Thm。6.4;恩格尔金1989，Thm。3.3.1)

备注

例子在讨论切片定理，请参阅此处了解更多信息。

工具书类

教科书账户：

詹姆斯·杜贡吉，第XI.6节：拓扑结构艾琳和培根1966(pdf格式)
Ryszard Engelking公司,一般拓扑纯数学中的Sigma级数6，Heldermann 1989年(国际标准图书编号388538-006-4)
伦佐·A·皮奇尼尼,同伦理论讲座，数学研究1711992年，北荷兰(国际标准图书编号：978-0-444-89238-6)

关于以下方面的进一步讨论紧生成拓扑空间:

马丁·埃斯卡多,吉米·劳森,亚历克斯·辛普森,紧生成空间的笛卡尔闭范畴的比较《拓扑及其应用》第143卷，第1-3期，2004年8月28日，第105-145页(doi:10.1016/j.topol.2004.02.011)

上次修订时间：2024年6月1日04:00:32。请参阅历史获取所有贡献的列表。