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定义

A类Artinian局部环或本地Artinian环或局部Artin环或Artin局部环或Weil环是一个局部环这也是一个阿提尼亚环; 它满足了下降链状态

重要的是，这意味着雅各布森根本地环的幂零根

这些也称为Artinian局部代数,局部Artinian代数,Artin局部代数，或局部Artin代数或Weil代数，因为Artinian局部环是交换代数在残渣场上方$\mathbb{K}$.

在合成微分几何，术语威尔代数用于真正的Artinian局部代数，请参见无限小加厚点了解更多详细信息。

属性

每个Artinian本地人$\mathbb{K}$-代数$A类$有一个最大理想 $\马特拉克{m} _A（_A）$，谁的残渣场 $A/\mathfrak（自动刹车）{m} A（_A）$是$\mathbb{K}$自身。作为一个$\mathbb{K}$ 向量空间一个有分裂$A=\mathbb{K}\oplus\mathfrak{m} _A（_A）$此外，下行链条件意味着$（\mathfrak{m} _A（_A）)^n=0$对一些人来说$n\gg 0（零）$，由于中山引理这意味着最大理想是幂零根.

给定一个字段$K（K）$和一个当地的阿提尼亚人$K（K）$-代数$A类$，让$我$成为幂零根属于$A类$。有一个功能$v： 我\到\ mathbb{N}$这需要一个幂零元素 $r \在I中$到最小自然数$n个$这样的话$r^{v（r）+1}=0$，因此给定幂零元素 $在I中$和$在I中为\$和非零标量$a \单位：K$和$b\单位：K$,

• $v（a r+b s）=v（r）+v（s）$
• $v（rs）=最小值（v（r），v（s））$

光谱

从交换环传递到它们的谱（在代数几何意义上），Artinian局部代数对应于无穷小的点空间。因此，它们在中显示为变形的基础无穷小 形变理论例如$规范（\mathbb{K}[\epsilon]/（\epsilen^2））$是一维一阶变形的基本空间。同样，$规范（\mathbb{K}[\epsilon]/（\epsilen^{n+1}））$是一维的基本空间$n个$-阶变形。

Artian局部代数具有唯一的首要理想，这意味着它光谱由一个点组成，即。，$规格（A）$作为拓扑空间是平凡的。然而，作为环形空间，它是非平凡的，因为它的函数环是$A类$由于这个原因，Artinian局部代数的谱有时被称为脂肪点在文学作品中。

示例

• 一个经典的例子是对偶数 $\mathbb{K}[\epsilon]/（\epsilen^2）$越过田野$\mathbb{K}$.

• 每主功率局部环是当地的Artian戒指。

另请参见

交换环	缩径环	积分域
局部环	约化局部环	局部积分域
阿提尼亚环	半单环	领域
Weil环	领域	领域

工具书类

• Stacks项目

  • 10.53. Artinian环

  • 10.100. Artinian环上的平坦度准则

当地Artinian$\英菲$-代数在中讨论

• 雅各布·卢里,形式模问题(pdf格式)