n实验室限制

本条目是关于范畴理论对于中相同名称的概念分析和拓扑看见序列的极限和函数的极限.

上下文

范畴理论

极限和结肠炎

在范畴理论a的极限图表 $F:D\到C$ 在一个类别 $C$ 是一个对象 $限制F$ 属于 $C$ 装备有物体的形态 $F（d）$ 为所有人 $d中的d\$ 这样，所有可见的东西都可以通勤。此外，限制 $限制F$ 是普遍的具有此属性的对象，即查找此类对象问题的“最佳解决方案”。

极限结构在范畴理论和一般数学中有着丰富的应用。实际上，这可能是在可表示函子作为一个分类空间将地图转换为图表。所以在某种意义上，极限对象 $限制F$ “包含”整个图表 $F（D）$ 到单个对象，就形态而言进入之内这是令人担忧的。形态对应的通用对象外面的图的是上极限.

直观的一般想法是，图的极限是一组方程的轨迹或解集，其中每个坐标由图中的一个对象参数化，方程由图的形态规定。这个想法得到了更正式的解释在这里.

通常，如果源于 $F类$ 被认为是相反类别 $D^op（上）$ （或同等，如果 $F类$ 被认为是反变函子). 这就是我们下面要做的。当然，在任何给定的情况下，您都可以使用您感兴趣的任何类别和函子。

在某些情况下，极限的分类理论概念确实再现了分析中已知的极限概念。请参阅以下示例。

全球与本地

与地方的定义伴随函子（如上所述），有一个地方的极限的定义（以圆锥体表示），它为每个单独的图定义了一个极限（如果存在），并且有一个全球的定义，定义全部的图表（根据伴随).

如果一个类别中存在给定图形的所有限制，那么这两个定义是等价的。

另请参阅上的类似讨论同伦极限.

术语和符号

限额被接管函子 $F:D^{op}\到C$ 由于函子带有关于它的域是什么的信息，人们可以只写 $\限制F$ 达到极限。但通常，指示如何在对象上计算函子是有帮助的，在这种情况下，写极限 $\d}F（d）中的lim_{d\$ ；这尤其适用于 $F类$ 由公式给出（与其他带绑定变量的符号一样）

在一些数学流派中，极限被称为投影极限，而结肠炎被称为感应极限。还可以看到（分别）逆极限和直接限值在区分界限和结肠炎时，这两种术语体系都是使用“co-”的替代方法。第一个系统也出现在问题对象和ind-对象.

相应地，符号 $\低于{\leftarrow}lim$ 和 $\底部箭头$ 使用而不是 $\林$ 和 $\绞痛$ .

令人困惑的是，许多作者将这些替代术语的含义限制在（co）范围内，其来源是有向集；看见定向极限事实上，这是原意；在一般范畴（co）极限的理论概念之前，在代数中研究了这种意义上的射影极限和归纳极限。

定义

用可表示函子表示的局部定义

有一个关于极限的一般抽象定义，即我们现在描述的可表示函子。这就再现了更具体、可能更熟悉的通用锥体描述，下文将对此进行进一步描述。

引入以下内容 $D类$ 成为小类别和设置集合的范畴（可能实现为范畴 $U设置$ 属于 $U型$ -关于给定的小集格罗森迪克宇宙.)

集值函子的极限

这个集值函子的极限 $F:D^{op}\设置$ 是霍姆塞特

lim F\coloneqq Hom_{[D^{op}，集合]}（pt，F）\在集合中

在中函子范畴 $[D^{op}，集合]$ （该预切类别），其中

pt:D^{op}\设置

pt:d\mapsto\{*\}

是上的函子常数指向，即终端图表。

这套 $限制F$ 等效地称为

一套全局节属于 $F类$ ;
一套广义元素属于 $F类$ .

这套 $限制F$ 可以等效地表示为均衡器的产品，明确地：

极限F\simeq\左\l种族（x_d）{d\在d}中\英寸\d}中的prod_{d\F（d）|\对于d中的所有（d_i\stackrel{\alpha}{\to}d_j）：F（α）（x{d_j}）=x{d_i}\右\r种族

特别地，集值函子的极限总是存在的。

注意协变的重要琐事人-叛徒具有集值极限的通勤：对于每个集 $S公司$ 我们有集合的双射

Hom_{Set}（S，lim F）\西马克\lim Hom_{集合}（S，F（-））\,,

哪里 $Hom（S，F（-））：D^{op}\到集合$ .

值在任意范畴中函子的极限

上述公式直接推广到函子的极限概念 $F:D^{op}\到C$ 对于 $C$ 如果我们构造一个特定的预切在 $C$ 我们会给它打电话 $\帽子\lim F$ .实际限制 $限制F$ 如果存在，则为 $C$ 代表这个预兆。

更准确地说，使用Yoneda嵌入 $y： C\到[C^{op}，集合]$ 为定义 $F:D^{op}\到C$ 这个预切 $\hat\lim F\in[C^｛op｝，集合]$ 通过

（\hat\lim F）（c）\coloneqq Hom_{集合^{D^{op}}}（pt，Hom_c（c，F（-））

为所有人 $c \以c表示$ ，或抑制下标以提高可读性：

（极限F）（c）=Hom（pt，Hom（c，F（-）））\,.

这个预切-值极限总是存在的；如果这个预治疗是可代表的通过对象 $\限制F$ 属于 $C$ ，那么这就是限制属于 $F类$ :

霍姆（c，\lim F）\西马克Hom（pt，Hom（c，F（-）））\,.

加权极限的推广

在上述公式中，有一个明显的概括加权限额:

替换上面的常数终端函子 $pt:D^{op}\设置$ 具有任何函子 $W:D^{op}\设置$ –然后致电重量–，然后 $W公司$ -加权极限 $F类$

\极限_W F

经常写

\{W，F\}

如果存在，则为表示前缀的对象

c \mapsto（地图）Hom_{[D^{op}，集合]}（W，Hom_C（C，F（-）））\,,

也就是说

霍姆（c，\lim_W F）\西马克Hom（W，Hom（c，F（-））\,

自然进入 $c \以c表示$ .

与连续函子的关系

上述极限的定义断言协变人-叛徒 $Hom（c，-）：c\设置$ 有形成极限的通勤。实际上，这个定义相当于说人-叛徒是一个连续函子.

通用锥体的定义

解开上述极限的抽象定义，得出以下关于通用锥的更实际的描述。

拆解

让 $F:D^{op}\到C$ 做一个函子。

请注意，对于每个对象 $c \以c表示$ 元素

*\到Hom（pt，Hom（c，F（-）））

用一组语态来识别

c至F（d）

对所有人来说 $d\在d中$ ，这样所有三角形

\阵列{&&c（c）\\&\swarrow&&\searrow\\F（d_i）&&\stackrel{F（F）}{\到}&&F（d_j）}

通勤。这种语态集合称为圆锥体结束 $F类$ ，原因显而易见。

如果限制 $\极限F\以C表示$ 属于 $F类$ 存在，然后它挑选出一个由复合态射给出的特殊锥

*\stackrel{*\mapsto Id_{\lim F}}{\to}Hom_C（\lim F，\lim F）\stackrel{\simeq}{\to}Hom（pt，Hom（\lim F，F（-）））\,,

其中第一个态射选择同一态射在 $\限制F$ 第二个是如上所述定义极限的双射。

圆锥体

\阵列{&&\lim法郎\\&\swarrow&&\searrow\\F（d_i）&&\stackrel{F（F）}{\到}&&F（d_j）}

被称为通用锥体结束 $F类$ ，因为，再次通过如上所述极限的定义性质，每个圆锥体 $\{c\到F（d）}_{d\在d}中$ 如上所述，它与一个态射密切相关 $c至lim F$

*\堆叠在d}}{to}中的{c\到F（d）}_{d\Hom（pt，Hom（c，F（-）））\stackrel{\simeq}{\to}Hom（c，\lim F）\,.

通过观察，我们发现，事实上，态射 $c至lim F$ 是表示锥因式分解的态射 $\{c\到F（d）}_{d\在d}中$ 通过通用极限锥

\阵列{&&c（c）\\&\swarrow&&\searrow\\F（d_i）&&\stackrel{F（F）}{\到}&&F（d_j）}=\阵列{&&c（c）\\&&\向下箭头\\&&\lim法郎\\&\swarrow&&\searrow\\F（d_i）&&\stackrel{F（F）}{\到}&&F（d_j）}\,.

示例如下：恒等函子 $Id_c:c\至c$ 如果存在，则为初始对象属于 $C$ .

常数图函子伴随的整体定义

给定的类别 $D类$ 和 $C$ ，对函子的限制 $D^{op}\到C$ 对于某些函子可能存在，但不是所有函子都存在。如果它对所有函子都存在，那么上面的局部定义的极限等于以下全局定义.

对于 $D类$ 一小类别和 $C$ 任何类别函子范畴 $[D^{op}，C]$ 是的类别 $D类$ -图表在里面 $C$ .沿函子拉回 $D^{op}\到pt$ 到终端类别 $pt=\｛\bullet \｝$ 诱导函子

常量：C\到[D^{op}，C]

发送的每个对象 $C$ 到这个对象上的图函子常量。

这个左伴随

colim_D:[D^{op}，C]\到C

如果这个函子存在，则它是将每个图发送给它的函子上极限和右伴随是函子（如果存在）

lim_D:[D^{op}，C]\到C

它将每个图表发送到它的限制.这些的Hom-同构附加词精确地陈述限制和上极限如上所示。

具体来说，这意味着 $c \以c表示$ 我们有一个双射

Hom_C（C，\lim F）\西马克Hom_{[D^{op}，C]}（常数_C，F）\,.

从这个角度来看，极限是Kan扩展，即Kan扩展到指向.

概括

极限的概念，是范畴理论，概括到许多其他情况。示例如下。

在丰富范畴理论有人认为加权限额这在普通范畴理论中也有意义，但事实证明，在这种情况下，所有加权极限都会减少为普通的“锥形”极限。
加权极限进一步推广到配备探针的2类，或发送到Yoneda构造.
在2范畴理论一个人有一个概念2-限制.
类似地，在（无穷大，1）-类别理论中有一个极限的概念。使用拟范畴作为 $（\infty，1）$ -类别，定义是一个作为终端锥的简单扩展：它只是一个准范畴终端对象在锥的拟范畴中。请参见准范畴中的极限.
人们预计，类似地较高类别有自己适当的极限和极限概念。

示例

极限示例的中心点是：

分类限制无处不在.

在相当程度上，范畴理论都是关于限制和其他通用结构:Kan扩展,伴随函子,可表示函子，这些都是限额的特殊情况，限额是这些情况的特殊情况。

列出中的限制示例范畴理论很像列出的示例积分在里面分析：可以而且确实可以用这些来填满书籍。（事实上，这个类比比普通人看到的要多：看共同（coend）更多信息）。

记住这一点，我们确实列出了一些特殊情况和特殊类别的示例，这些示例非常有用。但任何列表都必然是极其不完整的。

概述

有关示例的教学列表，请参见极限与结肠炎举例.

以下是一些重要的极限示例，按形状分类图表:

限制空图表是一个终端对象.
由两个（或更多）对象组成且没有非平凡形态的图的极限是它们的产品.
A的极限科斯潘是一个拉回.
一对（或更多）的极限平行态射是一个均衡器.
超过A的限制有限范畴是一个有限极限.
限制的另一个重要“形状”是那些导致完.
图表的极限 $F:D\到C$ 对于其中 $D类$ 承认初始对象 $我$ ，很简单 $F（一）$ .

分析中的限制

概念序列的极限在里面拓扑空间是范畴理论极限的特例，请参见那里.

属性

存在：由产品和均衡器构成

通常，一些限额可以根据其他限额计算。这使得事情变得更容易，因为我们只需假设范畴具有或函子保留一些更容易验证的极限类，以便获得关于更大极限的结果。

最常见的例子是计算乘积和均衡器的极限。具体而言，如果 $F:D^｛op｝\到C$ 和产品 $\对象（d）}F（d）中的prod_{d\$ 和 $\在Mor{d}f（s（f））中的prod_{f\$ 都存在，那么 $限制F$ 是一个子对象属于 $\对象（d）}F（d）中的prod_{d\$ ，即均衡器属于

\对象（d）}中的prod_{d\F（d）\Mor（d）}（f（f）\circ p_{s（f）}）}{\to}中的stackrel{\prod_{f\\prod_{f\在Mor（D）}中F（s（F））

和

\对象（d）}中的prod_{d\F（d）\莫尔（d）}（p_{t（f）}）}{to}中的stackrel{\prod_{f\\prod_{f\在Mor（D）}中F（s（F））\,.

相反，如果这两个乘积都存在，并且这对映射的均衡器也存在，则该均衡器是 $F类$ 特别是，一个范畴一旦有了所有乘积和均衡器，就有了所有极限，并且在这个范畴上定义了一个函子保存只要保留产品和均衡器，就可以进行所有限制。

（更确切地说，只考虑自反对.)

另一个例子是有限极限可以计算为拉回和a终端对象.

与的交互 $霍姆$ -函子

提议

(hom-functor保持极限)

对于 $C$ 一局部较小类别，用于 $F:D^｛op｝\到C$ 函子与写作 $C（C，F（-））：D^{op}\到集合$ ，我们有

C（C，lim F）\simeq lim C（C、F（-））\,.

根据人们引入限制的方式，这是一个简单的结果。

在 $设置$

Set中的极限为hom-Set

对于 $F:D^{op}\设置$ 任何函子和 $const_{*}:D^{op}\设置$ 上的函子常数指向，限制 $F类$ 是霍姆塞特

lim F\simeq[D^{op}，集合]（常数{*}，F）

在中函子范畴，即自然变换从常数函子到 $F类$ .

在函子范畴中

提议

（函子范畴中的极限是逐点计算的）

让 $D类$ 成为一个小类别，让 $D英寸$ 可以是任何类别。让 $C$ 是一个允许形状限制的类别 $D类$ .写入 $[D'，C]$ 对于函子范畴.然后

$[D'，C]$ 承认 $D类$ -形状极限；
这些极限是在中以对象方式（“点方式”）计算的 $C$ ：用于 $F:D^{op}\到[D'，C]$ 我们所有的函子 $d'\在d'中$ 那个 $（极限F）（d’）\极限（F（-）（d‘））$ 右边的限制在这里 $C$ .

与通用结构的兼容性

提议

(右伴随保留极限)

让 $R \；\冒号\；C\到C'$ 成为函子那就是右伴随到某个函子 $L:C'\至C$ .让 $D类$ 成为小类别这样的话 $C$ 承认限制形状的 $D类$ .然后 $R（右）$ 与…通勤 $D类$ -形状极限 $C$ 在那里面

对于 $F:D^{op}\到C$ 一些图表，我们有

R（极限F）\,.

证明

利用附加同构和上述事实hom-functor保持极限，每获得一个 $c'\在c'中$

\开始{对齐}C'（C'，R（lim F））和\simeq C（L（C'），lim F\\&\simeq lim C（L（C'），F）\\&\simeq lim C'（C'，R\circ F）\\&\simeq C'（C'，lim（R\circ F））\,.\结束{对齐}\,.

因为这对每个人来说都是自然的 $c’$ ，的Yoneda引理，推论II关于表示对象的唯一性意味着 $R（极限F）$ .

提议

(限制与限制相抵)

让 $D类$ 和 $D英寸$ 是小类别然后让 $C$ 是一个可以容纳限制形状的 $D类$ 以及限制形状的 $D英寸$ 然后，这些限制相互抵消 $F:D^{op}\次{D'}^{op{\到C$ 一函子，具有相应的诱导函子 $F_D:{D'}^{op}\到[D^{op{，C]$ 和 $F_{D'}:{D}^{op}\到[{D'{^{op{，C]$ ，然后是标准比较态射

(1)

lim F\simeq lim_{D}（lim__{D'}F_D）\西马克lim_{D'}（lim_}D}F_{D'}）

是一个同构.

证明

自从限制-建筑是指右伴随的函子常数图表-函子，这是右伴随保留极限（道具。).

请参见极限与结肠炎举例对于什么公式(1)比如说特殊情况 $C类=$ 设置.

备注

（极限与结肠炎的一般非交换性）

一般来说，极限是不与…通勤结肠炎。但在一些特殊条件下，他们会这样做。特殊情况和具体示例将在极限与共线的交换性.

工具书类

限制和结肠炎定义于丹尼尔·菅直人在论文的第二章中伴随函子和Kan扩展:

丹尼尔·菅直人,伴随函子《美国数学学会学报》87:2（1958），294–294(doi:10.1090/S/20002-9947-1958-0131451-0)

本文将限额称为逆极限.

可以根据观察结果构建限制产品和均衡器原因如下：

J.-M.马兰达,关于分类限制的几点意见加拿大数学公告52 (1962) 133-146 [doi:10.4153/CBM-1962-015-0]

一般来说，只考虑以下等式就足够了自反对原因如下：

欧内斯特·马内斯,三元组杂记：三元组上代数理论的一些方面卫斯理大学博士论文，1967年。[pdf格式]
S.A.Huq和R.Cornu。关于范畴极限存在性的一点注记Mathematische Nachrichten 55.1‐6（1973）：223-224。[doi:10.1002/mana.19730550111]

教科书帐户：

桑德斯·麦克莱恩，第III.4节：数学工作者的范畴，数学研究生课程5施普林格（1997年第二版）[doi:10.1007/978-1-4757-4721-8]

上次修订时间：2024年3月24日21:59:41。请参阅历史获取所有贡献的列表。