n实验室左伴随

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范畴理论

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想法

一对的左边部分伴随函子s是a的两个最佳近似值之一弱逆这对函子的另一个函子。（另一个最佳近似是函子的右伴随（如果存在）注意，弱逆本身（如果存在）必须是左伴随，形成伴随等价.

A的左伴随词健忘函子称为自由函子许多左伴随可以构造为自由函子的商。

这一概念立即概括为丰富的类别和中2类.

定义

对于类别

定义

给定的类别𝒞\数学{C}和𝒟\数学{D}和函子R（右）:𝒟→𝒞R： \mathcal{D}\to\mathcal{C}，一个左伴随属于R（右）R（右）是函子L（左）:𝒞→𝒟五十： \mathcal{C}\to\mathcal{D}与一起自然变换 ι:身份证件 𝒞→R（右）∘L（左）\iota:id_\mathcal{C}\到R\circ L和ϵ:L（左）∘R（右）→身份证件 𝒟\ε：L\circ R\到id_\mathcal｛D｝如下图（称为三角形恒等式)通勤，在哪里⋅\cdot（光盘）表示晶须具有自然变换的函子。

备注

定义相当于要求自然同构在Hom函子

霍姆 𝒞(L（左）(−),−),霍姆 𝒟(−,R（右）(−)):D类 操作×C类→设置.Hom_\mathcal{C}\左（L（-），-\右），Hom_\tathcal{D}\left（-，R（-）\right）：D^{op}\ times C\to\mathsf{Set}。

取决于某人对设置\mathsf{集合}，的集合的类别严格来说，可能需要限制局部较小要解析的等价项的类别。

对于丰富的类别

定义的等效公式在备注中给出立即概括为丰富的类别.

定义

鉴于𝕍\mathbb{V}-丰富的类别𝒞\数学{C}和𝒟\数学{D}和a𝕍\mathbb{V}-富足函子 R（右）:𝒟→𝒞R： \mathcal{D}\to\mathcal{C}，一个左伴随属于R（右）R（右）是一个𝕍\mathbb{V}-富足函子L（左）:𝒞→𝒟五十： \mathcal{C}\to\mathcal{D}与一个𝕍\mathbb｛V｝-丰富的自然同构在Hom函子

霍姆 𝒞((L（左）(−),−),霍姆 𝒟(−,R（右）(−)):D类 操作×C类→𝕍.Hom_\mathcal{C}\左（（L（-），-\右），Hom_\tathcal{D}\右（-，R（-）\右）：D^{op}\次C\to\mathbb{V}。

在2类中

定义立即从CAT公司，2类（大）类别，到任何2类.

定义

让𝒜\数学{A}属于2类。给定对象𝒞\数学{C}和𝒟\数学{D}和1箭头R（右）:𝒟→𝒞R： \mathcal{D}\to\mathcal{C}属于𝒜\数学｛A｝，一个左伴随属于R（右）R（右）是1箭头L（左）:𝒞→𝒟五十： \mathcal{C}\to\mathcal{D}以及2个箭头ι:身份证件 𝒞→R（右）∘L（左）\iota:id_\mathcal{C}\到R\circ L和ϵ:L（左）∘R（右）→身份证件 𝒟\epsilon:L\circ R\to id_\mathcal{D}这样，下面的图表可以相互转换，其中⋅\cdot（光盘）表示晶须在里面𝒜\数学{A}.

备注

如果假设一个人的环境2类别具有更多的结构，则使其更接近于2-地形，例如aYoneda构造，应该能够给出定义的等效公式类似于Remark.

对于预序和偏序集

仅限于预售或偏序集，定义在Remark的等效公式中可以用以下术语表示。

定义

鉴于偏序集或预售 𝒞\数学{C}和𝒟\数学{D}和a单调函数 R（右）:𝒟→𝒞R： \mathcal{D}\to\mathcal{C}，一个左伴随属于R（右）R（右）是单调函数L（左）:𝒞→𝒟五十： \mathcal{C}\to\mathcal{D}这样，对所有人来说x个x个在里面𝒟\数学{D}和年年在里面𝒞\数学{C}，我们有L（左）(x个)≤年L（x）\leq y仅当且仅当x个≤R（右）(年)x\leq R（y）持有。

属性

同伦类型理论

注：HoTT手册调用HoTT中的内部类别a“前类别”和a单价类别一个“类别”，但这里我们将分别指“类别”和“单价类别”的标准术语。

引理

（引理9.3.2HoTT手册)
如果A类A类是一个单价类别和B类B类是一个类别然后是类型“F类F类是左边的伴随词“是纯粹命题.

证明

假设我们被给予(G公司,η,ϵ)（G，\eta，\epsilon）用三角恒等式(G公司′,η′,ϵ′)（G'，\eta'，\epsilon'）.定义γ:G公司→G公司′\伽马：G\到G'成为(G公司′ϵ)(ηG公司′)（G'\epsilon）（\eta G'）.然后

δγ =(G公司ϵ′)(ηG公司′)(G公司′ϵ)(η′G公司) =(G公司ϵ′)(G公司F类G公司′ϵ ))ηG公司′F类G公司)(η′G公司) =(G公司ϵ′)(G公司ϵ′F类G公司)(G公司F类η′G公司)(ηG公司) =(G公司ϵ)(ηG公司) =1 G公司\开始{对齐}\δ\gamma&=（G\epsilon'）（\eta G'）（G'\epsilen）（\eta'G）\\&=（G\epsilon'）（G F G'\epsilen_））\\&=（G\epsilon'）（G\ epsilon'FG）（G F\eta'G）（\etaG）\\&=（G\epsilon）（\eta G）\\&=1克\结束{对齐}

使用引理9.2.8（参见自然转化)和三角形恒等式。类似地，我们显示γδ=1 G公司′\伽马\delta=1_{G'}，所以γ\伽马射线是一个自然同构 G公司≅G公司′G\cong G'根据定理9.2.5（参见函子范畴)，我们有一个身份 G公司=G公司′G=G’.

现在我们需要知道什么时候η\埃塔和ϵ\ε是运输?沿着这个身份，他们变得平等η′\埃塔和ϵ′\ε’.根据引理9.1.9，

需要包括引理9.1.9。目前，由于传输还没有写好，我没有费心包括对页面的引用类别.-阿里

这运输通过组合给出γ\伽马射线或δ\三角洲视情况而定。对于η\埃塔，这个产量

(G公司′ϵF类)(η′G公司F类)η=(G公司′ϵF类)(G公司′F类η)η′=η′（G'\epsilon F）

使用引理9.2.8（参见自然转化)以及列车员身份。案例ϵ\ε类似。最后，三角身份会自动正确传输，因为设置了hom-set。

示例

上次修订时间：2022年6月9日08:21:49。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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