n实验室奎伦分叉器

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模型范畴理论

它保存结肠炎在每个变量中分别进行，
(推导出公理):

对于任何
- 共纤维 $\;i \，\冒号\，c\到c'$ 在里面 $C类$
- 共纤维 $\;j\，\冒号\，d\到d'$ 在里面 $D类$ ,
诱导的推出产品-同构

$F（c’，d）\重叠{F（c，d）}{\amalg}F（c，d’）\长向右箭头F（c'，d'）$

是一个共纤维在里面 $E类$ ，这是一个弱等价性如果有 $我$ 或 $j个$ 是一个弱等价。

备注

更详细地说推出出现在Def的第一个条件中。是坐在下面推出位置的那个吗广场:

\阵列{F（c，d）&\stackrel{F（Id，j）}{\to}&F（c、d'）\\\;\;\向下箭头^{F（i，Id）}&&\向下箭头\\F（c'，d）&\stackrel{}{\to}&F（c'，d）\coprod_{F（c，d）}F（c，d'）}\,.

特别是，如果 $i=（\varnothing\hookrightarrow c）$ （用于 $\瓦诺$ 表示初始对象)我们有 $F（\varnothing，d）=F（\vanothing，d'）=$ （自初始对象是上极限超过空图表和 $F类$ 假设保留了腹痛），上述推出图减少为

\阵列{\空集&{\to}&\emptyset\\\;\;\向下箭头&&\向下箭头\\F（c，d）&\stackrel{}{\to}&F（c，d）}\,.

因此：

对于 $c（c）$ 一共纤维对象条件是 $F（c，-）\，\冒号\，D\到E$ 保存共纤维和无环共纤维;
对于 $d日$ 一共库对象，条件是 $F（-，d）\，\冒号\，C\到E$ 保存共纤维和无环共纤维.

属性

提议

让 $\otimes\冒号C\次D\到E$ 做一个两个变量的附加之间模型类别并假设 $C类$ 和 $D类$ 是共同生成的模型类别.然后 $\奥蒂姆$ 正是当Quillen对偶满足其关于生成（非循环）共函数的公理时，即如果 $f\colon c1\到c2$ 和 $g\冒号d_1\到d_2$ 我们有关于态射的

（c1\otimes d_2）\coprod_{c1\ otimes d1}（c2\otimesd_1）\至c2\音符d_2

是

如果两者都有 $（f）$ 和 $克$ 正在生成共纤维；
如果一个是生成共纤维，而另一个是产生非循环共纤维，则称为非环共纤维。

例如，这在中显示为推论4.2.5

马克·霍维,模型类别

应用

单面和丰富的模型类别

在一个单模态模型类别 $C类$ 这个张量积 $\注释：C\次C\到C$ 必须是奎伦分叉器。
安丰富的模型类别 $D类$ 超过单模态模型类别 $C类$ 是一个权力ed和联合电力公司ed结束 $D类$ 这样联合电力公司 $\注释：D\次C\到D$ 是奎伦双歧杆菌。

张量上的升力系数

以下命题断言，在温和条件下，Quillen双生子 $C\倍D$ 提升到Quillen分叉器上函子范畴的函子到 $C类$ 和 $D类$ .

提议

让 $\注释：C\次D\到E$ 做一个奎伦模仿者。让

$S公司$ 成为Reedy类别然后拿着函子范畴 $[南、中]$ 和 $[S^{op}，C]$ 配备相应的Reedy模型结构.
或假设 $C类$ 和 $D类$ 是组合模型类别然后让 $[南、中]$ 和 $[S^{op}，A]$ 分别配备射影球和内射球函子范畴的模型结构.

然后共同（coend）函子

\int ^｛S｝（-\otimes-）：[S，C]\times[S ^｛op｝，D]\到E

又是一个Quillen双生子。

这个Lurie道具。A.2.9.26，备注A.2.9.27.

相应的左边导出函子计算相应的同伦余.

Bousfield-Kan型同伦性结肠炎

这是上述应用程序的应用程序。

让 $C类$ 成为类别和 $A类$ 成为简单模型范畴.让 $F:C\到A$ 是函子并让 ${*}:C^{op}\到A$ 是终端对象上的函子常数。

考虑一下函子的全局模型结构 $[C^{op}，SSet]_{proj}$ 和 $[C^{op}，A]_{inj}$ 然后让 $Q（{*}）_{proj}$ 成为联合纤维的替代品 ${*}$ 在里面 $[C^{op}，集合]_{proj}$ 和 $Q_{inj}（F）$ 共纤维替代物 $F类$ 在里面 $[C，A]_{注射}$ .

其中一个显示同伦大肠杆菌结束 $F类$ 计算为共同（coend）或加权限额

hocolim F=\int Q_{proj}（{*}）\cdot Q_{inj}\,.

一个可能的选择是

Q_{proj}（{*}）=N（-/C）^{op}\,.

这确实是常数在终端对象例如，如所示Hirschorn（2002），第14.8.9号提案.

对于这种情况 $C=\增量^{op}$ （该相反的的单纯形范畴)这是讨论中的经典选择Bousfield-Kan地图.

假设 $A类$ 在中接受值共纤维对象属于 $A类$ ，那么它已经在函子上的内射模型结构 $[C，A]_{注射}$ 我们可以接受 $Q_｛inj｝（F）=F$ 然后上面说

霍科利姆F\,=\, \int N（-/C）^\op\cdot F\,.

对于 $C类=$ $\三角洲$ 这是Bousfield-Kan的经典处方同伦性结肠炎，另请参阅上的讨论加权限额.

使用上面的命题，它特别明确地得出，同构共线保留了它所取的函子的逐阶共函数。

关于这个的一个很好的讨论甘比诺（2010）.

工具书类

马克·霍维，定义4.2.1英寸：模型类别，数学调查和专著，63AMS（1999）[国际标准图书编号：978-0-8218-4361-1,doi:10.1090/surv/063,pdf格式,图书搜索]
雅各布·卢里，附录A.2：高等拓扑理论(2009)
尼古拉·甘比诺，定义2.3英寸：单形同伦理论中的加权极限，《纯粹与应用代数杂志》2147 (2010) 1193–1199 [doi:10.1016/j.jpaa.2009.10.006]

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