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想法

在任何类型理论，判断平等是平等定义为判断判断平等在单层次类型理论中最常用，如马丁·洛夫型理论或高等观测类型理论用于制作归纳定义，但它也用于立方型理论和单纯形理论定义探针形状（无穷大，1）-范畴在香草依赖型理论中无法统一定义的类型。

有两种不同的判断等式

• 条款的判断平等

• 类型的判断相等性，in依赖型理论用一个单独的类型 判断.

类型的判断相等对于依赖型理论进行单独的类型判断。它的行为与平等之间套在里面结构集合论，集之间的相等对于结构集理论来说是不必要的，因为可以简单地处理令人惊讶的事或一对一通信组之间。类似地，在依赖型理论，一个人可以和定义同构或是关于类型的等价性而不是判断类型是否相等。

条款的判断平等

术语的判断相等性由以下判断给出：

• $\伽马\v灰分a\equiv a'：a$-$一$和$a’$在判断上是相等的、类型良好的术语$A类$在上下文中$\伽马射线$.

有两种不同的术语判断平等概念可以区分：

• 弱判断的术语相等只是身份类型作为典型的平等

• 严格的判断相等是类型上的附加结构，它为每个类型提供了设置除了$\英菲$-群形的类型上的结构身份类型.

在大多数情况下，都使用了严格的术语判断等式依赖型理论.术语的弱判断等式可用于弱类型理论，其中直接翻译为推理规则中类型的马丁·洛夫型理论导致Martin-Löf型理论的弱版本。

术语的判断相等性可以与命题等式条件，其中相等是命题在某种意义上一阶逻辑、和典型的平等条件，其中相等是类型.

判断平等性弱

术语的弱判断相等性仅由反射规则给出身份类型:

严格的判断平等

严格的判断平等是一种等价关系：

• 判断平等的自反性

• 判断平等的对称性

  $$\裂缝{\Gamma\vdash A\；\mathrm{type}\quad\Gamma\vdash A\equiv b:A}{\Gamma\vdash-b\equiv-A:A}$$

• 判断平等的及物性

  $$\压裂{\Gamma\vdash A\；\mathrm{type}\quad\Gamma\vdash A\equiv b:A\quad b\equiv-c:A}{\Gamma\vdash-A\equivc:A}$$

此外，严格判断术语的相等性有替换的一致性规则替代原则:

• 判断平等条款的替代原则：
  $$\压裂{\Gamma\vdash a\equiv b:a\quad\Gamma，x:a，\Delta\vdash c（x）：b}{\Gamma，\Delta（a）\vdash-c（a）\ equiv c（b）：b{$$

如果有单独的类型 判断，那么对于类型族的替换原则也有一个单独的规则。

如果一个人有判断类型的相等性，那么替换为类型族的原则由下式给出

这意味着弱判断等式的反射规则，因为可以导出以下规则：

否则，类型族替换的原则如下所示定义运输作为显式转换:

哪里$A\丛B$是定义同构类型使用定义自然扣除 推理规则。如果没有定义同构，可以通过组件定义它

这表明，跨判断平等的传递形成了广群.

不管怎样，这也意味着弱判断等式的反射规则，因为可以导出以下规则

同样，对于一个术语$c（x）：B（x）$依赖于$x： A类$如果一个人有判断类型的相等性，那么跨$c（x）$由规则给出：

否则，它是由标识的功能应用:

在计算和唯一性规则中

术语的判断相等性可用于计算规则和唯一性规则类型的：

• 从属产品类型的计算规则：

• 相关产品类型的唯一性规则：

• 负相依和类型的计算规则：

如果没有判断类型相等，则必须对第二个计算规则使用跨判断相等的传输：

• 负相依和类型的唯一性规则：

• 身份类型的计算规则：

类型的判断相等性

在依赖型理论用一个单独的类型 判断，类型的判断相等性由以下判断给出：

• $\伽马\vdash A\equiv A'；\mathrm{type}$-$A类$和$A’$在上下文中判断是否为类型良好的类型$\伽马射线$.

判断类型的平等性有两种不同的概念，可以加以区分：

• 类型的弱判断相等只是类型等价的缩写

• 严格判断类型的相等性可以被认为是使隐式胁迫属于等效类型作为亚型，并在整个类型理论中保留为同余.

在这两种情况下，类型的判断相等主要用于定义平等类型的。

判断平等性弱

类型的弱判断相等性由两组结构规则之一给出：

• 判断相等类型的变量转换规则：
  $$\裂缝{\Gamma\vdash A\equiv B\；\mathrm{type}\quad\Gamma，x:A，\Delta\vdash\mathcal{J}}{\Gama，x:B，\Delta \vdash\ mathcal}}$$

或

• 判断相等类型之间的同构规则：

在第一种情况下，可以根据变量转换规则、其他结构规则和函数类型的规则来构造同构：

根据判断相等类型的通用术语规则和变量转换规则$A\等于A'$我们有$x： A'\v灰x:A$和$x： A\v现金x:A'$根据函数类型的介绍和计算规则，我们有函数$\λx:A'.x:A'到A$和$\λx:A.x:A\到A'$使得

实现两个功能$\λx：A’。x个$和$\λx:A.x$同构。

严格的判断平等

除了变量转换规则外，还有自反性、对称性和及物性规则，这些规则使类型和等价关系:

• 判断平等的自反性

• 判断平等的对称性

  $$\裂缝{\Gamma\vdash A\equiv B\$$

• 判断平等的及物性

  $$\压裂{\Gamma\vdash A\equiv B\；\mathrm{type}\quad\Gamma\vdash B\equiv-C\；\mathrm{type}}{\Gamma\vdash A\equiv C\；\mathrm}type}}$$

判断类型相等的同余规则

此外，严格的判断平等同余规则对于类型理论中的每一种类型。

• 依赖函数类型的同余规则

• 依赖对类型的同余规则：

• 标识类型的一致性规则：

• 空类型的同余规则：

• 布尔类型的同余规则：

• 自然数类型的同余规则：

类似地，我们对每个公理在从属类型理论中，例如

• 同余规则函数可拓性:

• 同余规则选择公理:

语境的判断平等

在一些依赖型理论，也有判断平等上下文，如下所示判断:

• $\伽马\equiv\Gamma'；\数学{ctx}$-$\伽马射线$和$\伽马射线'$在判断上是平等的。

除了变量转换规则外，还有自反性、对称性和及物性规则，使得上下文的判断相等性等价关系:

• 判断平等的自反性

• 判断平等的对称性

  $$\裂缝{\Gamma\equiv\Delta\；\mathrm{ctx}}{\Delta\equiv \Gamma\；\mathrm{ctx}}$$

• 判断平等的及物性

  $$\压裂{\Gamma\equiv\Delta\；\mathrm{ctx}\quad\Delta\equiv \Xi\；\mathrm{ctx}}{\Gamma\equiv\Xi\；\mathrm{ctx}}$$

另请参见

• 平等

• 命题等式,典型的平等

• 胁迫

工具书类

• 罗宾·亚当斯，判断相等的纯型系统《函数编程杂志》，第16卷第2期（2006年）(网状物)

• 文森特·塞尔斯（Vincent Siles）、雨果·赫伯林（Hugo Herbelin）、，等式在半完全纯类型系统中是可类型化的(pdf格式)

• 埃格伯特·里杰克,同伦类型理论简介《剑桥高等数学研究》，剑桥大学出版社(pdf格式)（478页）