判决

想法

在数学尤其是在形式逻辑，由判断[弗雷格（1879，§2）]一个是指断言[罗素和怀特黑德（1910，p.xviii）]或验证[Kochen（1961年，第2页）]的命题 $P（P）$，因此证明属于$P（P）$[教会（1940年，第5节）].

为了表现出微妙（参见。电话：43154266)但关键的区别——通过Martin-Löf（1996年，讲座1-2）-介于命题 $P（P）$以及其判断/断言/验证/证明真理，传统上在后者前面加上符号“$\vdash公司$“，称为Urteilsstrick公司（德语：“判断笔画”）[弗雷格（1879，§2）]（见历史指针在下面)，作为：

例如黎曼假设当然是一个命题，但我们是否可以真实地断言或验证它仍然是公开的，因此我们还不能法官它是正确的：不证明是已知的，尽管事实上可能如此真的.

换句话说，判断符号“$\vdash\，P$“转达一下我们知道（a）证明的，因此真理第页，共页）$P（P）$[Martin-Löf（1996年，讲座1-2）].

因此，判断可以形式化为“元盈利”，即命题但在环境中元语言（该演绎系统或逻辑框架)而不是在目标语言其中给定的$P（P）$它本身就是公式化的。（更具体地说演绎系统作为其规范的一部分，包括哪些符号串将被视为判决。其中一些符号本身可能表示命题在对象语言中，但情况未必如此。）

一般来说，人们认为假设性判断（可能首先在[教会（1940年，第5节）])它们是这样的断言/验证，但有前提条件，因此证据基于假设$A类$：正在写入

就是表达这样的判断鉴于任何断言/验证/证明$A类$我们知道如何（从中）验证/证明$P（P）$.

在以下系统中(依赖的)类型理论（这种符号似乎可以追溯到霍夫曼（1995年，第31页），参见。在下面)事实上是这样的范畴语义学这种假设性的判断是由功能（通常是可计算函数，因此是算法)其中地图证明$A类$证明$P（P）$.

更广泛地说，在类型理论这个命题 $A类$和$P（P）$出现在这里可以是任何(依赖的)类型（请参阅命题作为类型). 在这种普遍性中指称语义学假设性判断(2)由（可计算的）给出功能/态射具有领域 $A类$和密码子 $P（P）$.英寸程序设计语言基于此类型理论这转化为实际值的表示程序生产数据属于数据类型 $P（P）$在输入上运行时数据属于数据类型 $A类$.

判断本身要经过以下计算自然扣除由此可以从给定的判断中推断出进一步的判断。例如，符号

传统上表示，无论何时我们都可以断言$第1页$以及$第2页$假设验证$A类$（因此：给定一对属于功能具有领域 类型 $A类$)，然后使用相同的假设，我们发现它们的断言/验证/证明逻辑连接 $P_1\乘以P_2$（即功能具有密码子到他们的产品类型).

最后，为了明确一个假设性判断真正依赖于哪些特定假设，通常将一个通用的上下文符号$\伽马射线$左侧的假设Urteilsstrick公司：符号，例如

表示判断$P（P）$可以在验证后断言$\伽马\倍A$但这样做只是为了验证$A类$实际上是利用了，而$\伽马射线$可以是任何上下文假设（其验证可能在之前/未来使用演绎步骤）。

示例

一阶逻辑

在一阶逻辑，判断的一个典型例子是判断某个符号串是一个格式良好的字符串命题。通常写为“$P \；支柱$“，其中$P（P）$是一个元变量代表表示命题的一串符号。

判断的另一个例子是这些符号构成命题的判断证明成为真的。这种判断通常被写成“$P \；真的$”.

这两种判断都与命题不同$P（P）$自身。特别是，这个命题是一个陈述在里面逻辑是一种陈述，而判断命题是一个命题或可证明是真的关于逻辑。然而，人们经常滥用符号，将命题与判断命题为真混为一谈$P（P）$而不是$P \；真的$.

在类型理论中

判决和命题在以下方面尤为重要内涵型理论.

年判决的范例类型理论是一个打字判断。断言学期 $t吨$有类型 $A类$（书面）$t： A类$“）不是语句在里面类型理论（也就是说，在类型理论系统中不能应用逻辑运算符），而是一种语句关于类型理论。

通常，类型理论只包括一小部分判断，例如：

• 打字判断（书面$t： A类$，如上所述）

• 类型判断（通常是书面的$A\；类型$)

• 对…的判断平等在键入的术语之间（书面说$（t=t'）：A$)

（在具有类型的类型类型判断有时可以作为类型判断、写作的特例$A： 类型$而不是$A \；类型$.)

这些有限的判断常常被定义归纳地通过给予类型形成/术语介绍/术语消除-和计算规则（请参见自然扣除)它规定了在什么假设下允许一个人得出给定的判断。

这些归纳定义可以通过选择特定的类型理论成为元语言；通常一个非常简单的类型理论就足够了（例如依赖型理论只有相关产品类型). 这种元类型理论通常称为逻辑框架.

假设性判断和一般性判断

可能会发生判决$J型$只能在某些其他判断的假设下推导$J_1，\点，J_2$。在这种情况下，一个人写道

然而，通常很容易将假设纳入判断本身，以便$J_1，\点，J_n\；\vdash J公司$成为单身假设性判断它可以是其他判断的结果，或者（更重要的是）在得出其他判断时使用的假设。例如，为了得出含义 $\φ\向右箭头\psi$，我们必须得出结论$\磅/平方英寸$ 假设 $\φ$; 因此引入规则因为暗示是

以假设性判断作为其假设。请参见自然扣除进行更广泛的讨论。

在一个类型理论，我们也可以考虑假设$J_1号$是打字判断的形式吗$x： A类$，其中$x个$是一个变量其中结论判断$J型$包含以下变量自由变量例如，$J型$可以是$\φ\；支柱$，其中$\φ$只有当$x个$具有特定的类型 $X（X）$。在这种情况下，我们有一个一般判断，已写入

这表明假设假设或在先的判断那个$x个$类型为$X（X）$，因此我们有后继的判断$\φ$是一个命题。如果在右边，我们有打字判断

我们有一个上下文中的术语.

更多关于$\vdash公司$这里，看自然扣除和逻辑框架.

虽然这似乎只是一种非常基本的（假设/通用）判断形式，但在诸如依赖型理论或同伦型理论，全部逻辑而更多都是基于这一点。

概念和符号的历史

术语判断在里面形式逻辑，和符号

对于判断属于内容 $A类$是由于弗雷格（1879，§2）（弗雷格的达斯·乌泰尔–或达斯·乌特尔现代德语拼写-直接翻译为：判决).

这一概念和符号（通常是“弗雷格的乌特埃尔斯特里克”——“判断笔划”）被采用罗素和怀特黑德（1910，p.xviii）然而，他说的是“断言”而不是“判断”——参见Martin-Löf（1996年，第6页）推测这些作者可能想“避免与康德哲学有任何联系”（参见。在下面):

然后通过教会（1940年，第5节）（没有任何归属）-现在允许在Urteilsstrick公司-意思是可证明的在这些假设下：

同样，Kochen（1961年，第2页）介绍（在模型理论)符号“$\mathfrak{A}\；\vDash\；P（P）$“（显然没有积极记住其历史渊源，参见。Kochen（2017）)对于中的一个概念模型理论发音“$\马特拉克{A}$ 验证 $P（P）$“-它至少与这些假设性判断密切相关（并且经常用作同义词，例如。在这里):

一些逻辑学家（如维特根斯坦，参见。jstor:43154266)弗雷格对命题的区分$A类$“及其判断/断言/证明/验证”$\v灰A$“被雄辩地辩解Martin-Löf（1984年，第2页）,(1987)和中（1996年，第1-2讲）再加上弗雷格的再宣传Urteilsstrick公司符号“$\vdash公司$” (ML84，第2页,ML96，第2、6页):

的符号假设判决

当时（未归因于Church或Martin-Löf）被收养相依型理论在里面霍夫曼（1995年，第31页），后来出版为霍夫曼（1997年，第82页）:

这最终成为了依赖型理论（尽管主要用于没有任何归属），例如：雅各布斯（1998年，第2、121、586页）;Bauer、Haselwarter和Lumsdaine（2020年）.

（很奇怪，显然马丁·洛夫实际上没有使用通用符号(3)在出版物中：在中时1996年，第29页对于假设性判断，他转而使用垂直线”$\垂直$“而不是”$\vdash公司$”.)

总之：

术语	作者
判断	弗雷格（1879）
断言	罗素和怀特黑德（1910）
证明	教堂（1940）
验证	科钦（1961）
判断	马丁·洛夫（1984）,1996) 霍夫曼（1995,1997)

相关概念

• 无限判断

• 自然扣除,矢列演算

• 上下文,上下文扩展

• 类型理论,依赖型理论

工具书类

判断概念的史前史(乌特尔)在（非正式）逻辑中：

• 九月：康德的判断理论

• 黑格尔，第一节，第二章逻辑科学(1813)

• 布伦塔诺,精神病呕吐经验主义Standpunkte(1874) [网状物]

  参见：SEP：布伦塔诺的判断理论

“判断”概念的起源（以及符号的起源）$\vdash公司$“for it）在形式逻辑:

• 弗雷格,概念文字(1879) [web扫描,维基百科条目]

在“断言”的名称下：

• 贝特朗·罗素,艾尔弗雷德·怀特海，第xviii页，见：数学原理(1910)

保留符号“$\vdash公司$“，现在允许假设在左边，但发音为”证明根据假设”：

• 阿隆佐·邱奇第5节：简单类型理论的形成《符号逻辑杂志》52 (1940) 56-68 [doi:10.2307/2266170]

  （另请参阅简单类型理论)

在被称为马丁·洛夫依赖型理论:

• 根据Martin-Löf（注释由乔瓦尼·桑宾)，第2-4页，见：直觉主义类型理论1984年在帕多瓦演讲，Bibliopolis（1984）[pdf格式,pdf格式]

• 根据Martin-Löf,命题的真实性、判断的证据、证据的有效性，合成73(1987) 407–420 [doi:10.1007/BF00484985,pdf格式]

• 根据Martin-Löf,从逻辑到形而上学的道路，在诺维问题della logica e della filosofia della scienza1990年1月(pdf格式)

• 根据Martin-Löf,论逻辑常数的含义和逻辑规律的合理性，《北欧哲学逻辑杂志》，11 (1996) 11-60 [pdf格式,pdf格式]

• 马丁·霍夫曼第2.1.2条：依赖类型的语法和语义，第2章：内涵类型理论中的外延概念，博士论文，爱丁堡大学（1995年），杰出论文，施普林格大学（1997年）[ECS-LFCS-95-327,pdf格式,doi:10.1007/978-1-4471-0963-1]

  另发布为：

• 马丁·霍夫曼，第82页，共页：依赖类型的语法和语义，英寸计算的语义和逻辑，出版物。牛顿研究所。14剑桥大学出版社（1997）79-130[doi:10.1017/CBO9780511526619.004]

审核单位：

• 弗兰克·普芬宁Rowan Davies，第2、3条：模态逻辑的判断重建，计算机科学中的数学结构114 (2001) 511-540 [doi:10.1017/S096012901003322,pdf格式]

中的进一步讨论

• 格雷塔·科拉利亚，伊万·迪·利贝蒂,背景、判断、演绎[arXiv:2111.09438号]

上下文中的教科书帐户程序设计语言:

• 罗伯·哈波，第I.3节编程语言的实用基础(2015)

替代符号“$\vDash（虚拟仪表盘）$“用于满意使用密切相关（如果不同）似乎起源于

• 西蒙·科兴，第223页，页码：模型理论中的超积，安。数学。742 (1961) 221-261 [doi:10.2307/1970235]

其作者

我想不起来是他写的还是从其他报纸上抄来的。

根据：

• 西蒙·科兴,双转门的起源，FOM邮件列表发布（2017年2月）[网状物,截图]

另请参见：

• 形式逻辑维基书：满意度