n实验室内层

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上下文

地形理论

拓扑理论

背景

主题

内部逻辑

Topos形态

额外的材料、结构、属性

上同调与同伦

在高等范畴理论中

定理

内部范畴理论

(∞,2)（\infty，2）-拓扑理论

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想法

The notions of预切,网站和捆可以制定内部的到任何地形普通的此类概念通过内化恢复为设置.

更确切地说，这些概念的直接内在化是非常大 2-地形 Sh公司^ 2(𝒮,可以)\帽子Sh_2（\mathcal{S}，罐装）给定环境地形的𝒮\数学{S}，因为内部压力是𝒮\数学{S}-值内函子，但𝒮\数学{S}并不完全坐在里面。然而，它确实坐在里面Sh公司^ 2(𝒮,可以)\帽子Sh_2（\mathcal{S}，罐装），化身为2层 𝒮¯\条形图\mathcal{S}对应于其共染色质纤维.

因此，关于Sh公司^ 2(𝒮,可以)\帽子Sh_2（\mathcal{S}，罐装）作为2类属于内部类别在里面𝒮\数学{S}，一个内部站点在里面𝒮\数学{S}是一个对象ℂ¯\条\mathbb{C}属于Sh公司^ 2(𝒮,可以)\帽子Sh_2（\mathcal{S}，罐装）而内部预置是一个态射F类:ℂ¯ 操作→𝒮¯F:\bar\mathbb{C}^{op}\to\bar\mathcal{S}.

定义

虽然定义内部站点，因此领域对于一个内部（前）层，余域的定义稍微更精细一些，因为它需要是环境的副本宇宙内化为自身。一种自然而然地表示这一点的方法是传递给外部的 2升 2-地形。我们在中所述定义的这个版本

但由此产生的概念当然可以完全用环境地形中的数据表示。我们在其中详细说明了这一点

就外部2滑轮而言

让𝒮\数学{S}成为地形然后让ℂ\mathbb{C}成为内部类别在里面𝒮\数学{S}:

ℂ=(C类 1→t吨→秒C类 0)∈𝒮.\mathbb{C}=\左(C_1\stackrel{\超集{s}{\to}}{\欠集{t}{\to}}C_0（0）\右侧）\在\mathcal{S}中\,.
定义

写入ℂ¯\条\mathbb{C}对于2层在𝒮\数学{S}

ℂ¯:𝒮 操作→猫\bar\mathbb{C}:\mathcal{S}^{op}\到猫

那就是代表通过ℂ\mathbb{C}。更明确地说，这是伪函子哪一个对象 X（X）∈𝒮X\in\mathcal{S}受让人

ℂ¯:X（X）↦(𝒮(X（X）,C类 1)→𝒮(X（X）,t吨)→𝒮(X（X）,秒)𝒮(X（X）,C类 0)).\条\mathbb{C}:X\地图\左(\数学{S}（X，C_1）\stackrel{\overset{\mathcal{S}（X，S）}{\to}}{\underset{\mathcal{S}（X，t）}{\to}}\数学{S}（X，C_0）\右侧）\,.
定义

写入

𝒮¯:𝒮 操作→猫\bar\mathcal{S}:\mathcal{S}^{op}\到猫

对于2层那个分类这个共结构域纤维化属于𝒮\数学{S}，的伪函子将对象发送到相应的切片地形和语态基本更改

𝒮¯:X（X）↦𝒮 /X（X）\bar\mathcal{S}:X\mapsto\mathcar{宋体}_{/X}

（也称为“自我索引属于𝒮\数学{S}”).

备注

这是𝒮\数学{S}自身，将其视为内部2层 2-地形 Sh公司^ 2(𝒯,可以)\帽子Sh_｛2｝（\mathcal｛T｝，可以）.

定义

安内部预切在ℂ\mathbb{C}（内部到𝒯\数学{T})是一个态射

F类:ℂ¯ 操作→𝒮¯F:\bar\mathbb{C}^{op}\to\bar\mathcal{S}

属于2个滑轮在𝒮\数学{S}（也称为“指数函子“协议双方索引类别“.)

此外，假设ℂ\mathbb{C}具有内部站点.然后F类F类上面是一个内层在ℂ\mathbb{C}如果它满足证据下降条件。

A类态射内压胀的2-同构在里面Sh公司^ 2(𝒮,可以)\帽子Sh_2（\mathcal{S}，罐装）（也称为“指数自然变换”). 这将产生一个类别

PSh（磅/平方英寸）(ℂ)PSh（\mathbb{C}）

内部预应力。因此，我们有完整子范畴

Sh公司(ℂ,𝒮)↪PSh（磅/平方英寸）(ℂ,𝒮)Sh（\mathbb{C}，\mathcal{S}）\hookrightarrow PSh（\mathbb{C}，\mathcal{S}）

内部滑轮。

明确的定义

我们更明确地阐述了上述内容。

让(ℂ,J型)（\mathbb{C}，J）做一个内部站点在里面𝒮\数学{S}，即内部类别 ℂ\mathbb{C}配备有内部新闻报道 J型J型.让𝒮 ℂ 操作\数学{S}^{\mathbb{C}^{op}}成为…的地形内部图表在ℂ 操作\mathbb{C}^{op}.

定义

  1. 安内部预切在ℂ\mathbb｛C｝是一个内部图表F类∈𝒮 ℂ 操作F\in\mathcal{S}^{\mathbb{C}^{op}}.

  2. 安内鞘在ℂ\mathbb{C}（关于J型J型)是一种内部压力ℂ\mathbb{C}满足以下等效条件之一：

    1. F类F类满足常用层条件在中解释内部语言属于𝒮\数学{S}.
    2. F类F类是一个j个j个-一捆Lawvere-Tierney拓扑在𝒮 ℂ 操作\数学{S}^{\mathbb{C}^{op}}诱发因素J型J型（等价性是因为𝒮=\数学{S}=设置具有建设性，因此可以在任意拓扑中内化。）

属性

让𝒮\数学{S}和ℂ\mathbb{C}同上。

提议

内部预升的类别PSh（磅/平方英寸）(ℂ,𝒮)PSh（\mathbb{C}，\mathcal{S}）是一个地形.

这显示为(约翰斯通，科罗拉多州B.2.3.17).

提议

让如果:ℂ→𝔻f:\mathbb{C}\to\mathbb{D}成为内函子.写入如果¯:ℂ¯→𝔻¯\条f:\bar\mathbb{C}\to\bar\mathbb{D}中对应的态射Sh公司^ 2(𝒮,可以)\帽子Sh_2（\mathcal{S}，罐装）。使用此态射的预合成会导致函子内部预切类别

如果 *:PSh（磅/平方英寸）(𝔻,𝒮)→PSh（磅/平方英寸）(ℂ,𝒮).f^*\冒号PSh（\mathbb｛D｝，\mathcal｛S｝）\至PSh（\mathbb{C}，\mathcal{S}）\,.

这是反像的几何态射属于地形

如果:PSh（磅/平方英寸）(ℂ,𝒮)→PSh（磅/平方英寸）(𝔻,𝒮).f\colon PSh（\mathbb{C}，\mathcal{S}）\至PSh（\mathbb{D}，\mathcal{S}）\,.

这显示为(约翰斯通，科罗拉多州B.2.3.22).

内层拓扑的整体截面函子𝒮\数学{S}是有界几何态射结束𝒮\数学{S}.

工具书类

关于内压胀基本地形:

关于格罗森迪克地形:

和第B2.3节

在这些参考文献中，部件中引入了内部预升，如显式定义以上。与抽象公式上面，就2个滑轮之间的形态而言，如下所示(约翰斯通，引理B.2.3.13).

类别：层理论

上次修订时间：2023年11月8日07:26:35。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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