诱导模块

想法

给定一个组 $G公司$具有子组 $H\hookright箭头G$和a表示属于$H（H）$，有一个规范归纳表示$G公司$：诱导表示.

定义

我们对

• 传统配方

归纳表示法。然后我们提供一个

• 同伦类型理论中的一般抽象公式

这将概念细化为∞表示属于∞-组配备任何额外的几何结构。

传统配方

归纳表示法

每子组-夹杂物，夹杂物$H\重叠{\iota}{\hookrightarrow}G$诱导限制性陈述-对应的表示的类别

这很简单忘记全部$G公司$-行动在给定的$G公司$-表示$V（V）$只记住子组的操作$H（H）$.

具有给定的风味组和他们的表示类别指定时，通常立即给出左诱导表示的显式公式：

参见示例。汤迪克09，第4章.

更多说明

假设李群 $G公司$在光滑歧管 $米$. The稳定剂分组给定点的$x\单位：M$则为Lie子群$H\subseteq G$、和

是陪集空间。

从这个开始，有一个食谱表示 $秒$属于$H（H）$在上向量空间 $V（V）$并将其变成向量束 $E类$结束$米$-调用了诱导束此外，集团$G公司$ 行为关于这个捆、和投影

与兼容行动属于$G公司$:

因此$E类$是一个$G公司$-等变的向量丛$米$.

描述的“流程”实际上是函子，的诱导函子.

有一个类别

的线性表示$H（H）$，和一个类别

属于$G公司$-上的等变向量丛$米$.诱导束构造给出了一个函子

但是，如果你仔细想想，你会注意到还有一个函子反过来：

如果你给我一个$G公司$-等变向量丛$E类$结束$米$，我可以把它的纤维带到你最喜欢的地方$x个$，我得到了一个向量空间，这就是稳定器组的表示$H（H）$，多亏了$G公司$根据$E类$.

这个函子是更简单而不是诱导束结构！

每当我们有函子在两个类别之间双向运行时，我们应该怀疑它们伴随词。较简单的函子通常等于“忘记”某事。这个健忘的模仿者通常是正确的伴随。这是另一个合作伙伴左边伴随，通常包括“构建”某些东西，而不是“忘记”某些东西。

事实上，这就是这里发生的事情！从技术上讲，这就是说

在这里$V（V）$是的表示$H（H）$-注意调用它时符号的滥用$V（V）$，这是其中的向量空间的名称$G公司$acts，而不是更迂腐的表示全名，它类似于$s： G至GL（V）$.

同样，$F类$是一个$G公司$-等变向量丛$米$-这应该是这样的$\圆周率：F到M$或者更冗长的东西$G公司$根据$F类$和$米$.

$L伏$是感应束，对应于$V（V）$.

$右前（R F）$是的纤维$F类$超过你最喜欢的点$x个$，它成为$G公司$.

还有这个：

这么说$G公司$-等变向量束映射$低压$到$F类$与来自$V（V）$到$右前（R F）$.

现在，每当你看到任何一种“遗忘”过程时，你都应该怀疑它是否有左伴随，这种结构在某种松散的意义上是遗忘的“反向”。为什么？因为这些左伴随词往往很重要。

有了这种启发，一旦你看到一个相当明显的“健忘”过程$G公司$-等变向量丛$米$并给出了$H（H）$在光纤上方$x\单位：M$，您将寻求“反向”过程，然后您将重新发现诱导的束构造！

为什么这么棒？还有一个过程需要$G公司$和限制它代表了$H（H）$:

这个也有一个左伴随:

它被称为诱导表示.

详细描述

给定一个组 $G公司$与一个子组$H（H）$、和表示 $秒$属于$H（H）$关于向量空间$V（V）$，我们定义了一个左行动属于$H（H）$上产品 $G\倍V$通过$h\cdot（g，v）=（g h ^{-1}，s（h）v）$.我们写作$[（g，v）]$对于包含以下内容的轨道或等效类$（g，v）$.

然后我们定义$E=（G乘以V）/H$作为它的一组轨道行动属于$H（H）$,$M=克/小时$作为的左陪集集$H（H）$和投影$\圆周率：E到M$通过$\pi（[（g，v）]）=g H$，如果我们重新描述轨道，当然没有什么不同$[（g，v）]$作为$[（g h ^{-1}，s（h）v]$对于任何$h\在h中$因为$（g h^{-1}）h=g h$.

对于每个$x\单位：M$，选择$克$成为…的任何元素$G公司$这样的话$x=克高$.定义$E_x=\pi^{-1}（x）$、和$\phi_g:V\到E_x$,$\phi_g（v）=[（g，v）]$.

地图$\phig（_g）$上：任何$[（k，w）]\在E_{（g H）}=\pi^{-1}（g H）中$，我们有$k=g h_1^{-1}$对一些人来说$h_1\单位h$，所以$k^{-1}g\单位：H$,$（k^{-1}g）\cdot（g，s（g^{-1{k）w）=（k，w）$，所以$\phi_g（s（g^{-1}k）w）=[（g，s（g_{-1}k）w）]=[（k，w）]$.

地图$\phig（_g）$是一对一：如果$\phi_g（v）=$，然后$[（g，v）]=[（g、w）]$对一些人来说$h_1\单位h$，我们有$h1\cdot（g，v）=（g，w）$，或$（g h_1^{-1}，s（h_1）v）=（g，w）$; 将第一个坐标相等需要$h1=e$、和$秒$是一个表示，所以$s（e）=1_V$、和$v=w$.

自$\phig（_g）$是一个双射$E_x（_x）$和向量空间$V（V）$，我们可以$E_x（_x）$通过定义$\αp+\betaq\equiv\phi_g（α\phi_g^{-1}（p）+\beta \phi_c^{-1{（q））$，对于所有人$\α，β\in\mathbb{R}，p，q\inE_x$但这与我们的选择无关吗$克$? 如果我们选择$克小时$而不是$克$，我们会的$\phi{gh}（v）=[（gh，v）]=[（g，s（h）v）]=\phig$，所以$\phi{gh}=\phig\circs（h）$、和$\phi_{gh}^{-1}=s（h^{-1{）\circ\phi_g^{-1}$然后：

$\phi{gh}（α=（\phi_g\circs（h））（\alpha（s（h^{-1}）\circ\phi_c^{-1{）（p）+\beta$

与我们最初的定义一致。

我们定义了$G公司$在$E类$通过$g_1\cdot[（g，v）]=[（g_1 g，v$，或者换句话说$g_1\cdot\phi_g（v）=\phi_{g_1g}（v）$。然后我们有：

$\pi（g_1\cdot[（g，v）]）=\pi[（g_1 g，v$

那就是，$\圆周率$是一个$G公司$-同构。这也意味着动作将光纤映射到光纤，$g_1:E_{（gH）}\到E_{g_1\cdot（gH$更重要的是$g_1级$仅限于光纤$E_｛（g H）｝$是$\phi_{g_1g}\circ\phi_g^{-1}$，来自$E_{（g H）}到V\到E_{g_1到cdot（g H$，这是线性的，因为我们定义了$E_x（_x）$.

我们得到了一个代表$第页$属于$G公司$关于向量空间$\伽马（E）$管束截面的$E类$签署人：

$（r（g_1）f）（x）=g_1\cdot f（g_1^{-1}\cdot x）$

同伦类型理论中的一般抽象公式

我们在中抽象地表述了表示的归纳和共归纳同伦型理论.（因此，以下自动为（∞，1）范畴理论-版本，有时部分称为上同调诱导.)

让$\矩阵{H}$成为一个环境（∞，1）-拓扑。通过在上的讨论∞-作用，用于$组中的G（\mathbf{H}）$一组对象在里面$\矩阵{H}$，因此是∞-组，的切片（∞，1）-拓扑 $\数学BF{高}_{/\mathbf{B} G公司}$在其上去循环是（∞，1）-范畴属于$G公司$-∞-动作

（一个真正的∞-表示/∞-模块结束$G公司$可能被认为是阿贝尔人$\英菲$-将对象分组到$法案（G）$，但我们也可以在更一般的可能是非线性表示的环境中工作，因此也可以在行动中工作。）

因此，对于$从H到G$的同态∞-组，因此对于态射$\数学BF{B} （f）\colon\mathbf{B} H（H）\至\mathbf{B} G公司$的去循环，有相应的基变换几何态射

在这里

• 这个反像/（∞，1）-回拉函子$（f）^*$产生“受限制的”$\英菲$-表示沿$（f）$;

• 这个相依和 $\总和（_f）$是诱导表示∞函子；

• 这个从属产品 $\产品_f$是创造表象∞-函子。

对于以下情况置换表示属于离散群这个观点在(Lawvere 69，第14页,Lawvere 70，第5页).

属性

布劳尔归纳定理

这个布劳尔归纳定理在复数这个虚拟表示的有限群都是诱导表示一维表示。

统一性

我们讨论一下统一表示再次诱导酉表示。

（例如，这与物理学，例如在研究Poincaré群的幺正表示.)

让我们说$V（V）$有一个内积，$\lang\cdot，\cdot\lang$、和$秒$是一个统一表示。我们可以在上定义内积$E_x（_x）$通过$\lang\lang p，q\rang\range\equiv\lang\phi_g^{-1}（p），\phi_g ^{-1{（q）\rang$。此定义与我们的选择无关$克$：如果我们选择$克小时$相反，我们应该

为了真正彻底，我们应该核实一下$\lang\lang\cdot，\cdot\rang\rang$实际上是一个内积，但这应该直接遵循我们对向量空间操作的定义$E_x（_x）$.

现在我们需要证明$g_1\在g中$在光纤上$E_{（g H）}$是单一的：

最后，我们需要在$\伽马（E）$，并显示表示$第页$是单一的。如果我们有一个$G公司$-不变测度$\亩$在$克/小时$，我们可以定义两个部分的内积$（f）$和$f’$属于$E类$成为

那时我们会

（因为$g_1级$统一作用于每根光纤）

（因为$G公司$以传递方式作用于$G/H公司$)

（因为$\亩$是$G公司$-不变量）。这表明$第页$是单一的。

诱导束结构的伴随

上述诱导束结构为函子它采用了稳定剂分组 $H（H）$到$G公司$-上的等变向量丛$米$:

有一个相关的函子朝着相反的方向发展：

哪一个限制的作用$G公司$关于稳定子群作用的整丛$H（H）$在所选点上方的光纤上$x个$.此的存在附加被称为弗罗贝纽斯互惠.

我们现在希望表明$L（左）$和$R（右）$是伴随函子。

在上图中，左上角有一个通用$G公司$-等变向量丛$米$,$矢量（M，G）$，带投影$\pi_1:F\到M$和选定的点$x\单位：M$其稳定器子组为$H（H）$.函子$R（右）$地图$F类$代表$H（H）$在光纤上方$x个$,$\pi_1^{-1}（x）$，如右上角所示。

在右下角，我们有一个$H（H）$关于向量空间$V（V）$.的形态$代表（H）$是缠绕器，所以我们对缠绕器感兴趣，例如$i： V\到\pi_1^{-1}（x）$.函子$L（左）$，诱导束构造，映射的泛型表示$H（H）$到$G公司$-等变向量丛$（G乘以V）/H$，如左下方所示。这个包裹有一个突出部分$\pi_2：（G\乘以V）/H\到G/H$,$\pi_2（[（g，v）]）=g H$.自$从G/H$，这个包裹在$向量（M，G）$我们对$兽医（M，G）$，例如$（f，m）$哪里$f： L（V）\至f$和$m： G/H\至m$.

事实上，我们需要与子类别属于$兽医（M，G）$其中所有的形态都保留了点$x\单位：M$.当我们处理包裹时$G/H\丛M$，我们将使用明显的双射$g H至g cd ot x$，并相应地限制我们使用映射的向量束形态$x个$给陪衬$e小时$或反之亦然.

我们假设$G公司$以传递方式作用于$米$，因此任何$y\单位：M$至少存在一个元素$G公司$，说吧$k（年）$，因此$k（y）\cdot x=y$。我们现在假设某个确定的函数$k： M至G$已选择此属性，为了方便起见，我们将进一步假设$k（x）=e$，中的标识元素$G公司$.group元素$k（年）$为我们提供了使用$G公司$在$米$从我们选择的点出发$x个$到了另一点$年$-同样，使用$G公司$在整个捆上$F类$从光纤中获取$x个$到光纤上方$年$.

现在，为了表明这一点$L（左）$和$R（右）$是伴随函子，我们需要在交织器之间构造一个双射$i： V\到\pi_1^{-1}（x）$和$G公司$-等变向量丛态射$（f，m）$，其中$f： L（V）至f$和$m： G/H\至m$.

给定一个交织器$i： V\到\pi_1^{-1}（x）$，我们首先定义$m： G/H\至m$签署人：

独立于$我$，并且只是$G/H公司$和$米$接下来，我们定义$f： L（V）至f$签署人：

换句话说，给定等价类$[（g，v）]$我们使用缠绕器$我$去拿$v \以v表示$到$\pi_1^{-1}（x）$，然后是$G公司$在$F类$将结果传输到光纤$\pi_1^{-1}（g\cdot x）$。这满足投影的兼容性条件：

我们还需要检查一下$（f）$以…的行动通勤$G公司$在各个束上：

接下来，给定一个$G公司$-等变向量丛同构$（f，m）$，其中$f： L（V）至f$和$m： G/H\至m$具有$m（e H）=x$，我们定义了一个交织器$i： V\到\pi_1^｛-1｝（x）$签署人：

我们知道$我$将映射到$\pi_1^{-1}（x）$因为$（f）$必须映射$[（e，v）]$到光纤中的某一点$m（\pi_2（[（e，v）]））=m（e H）=x$.

我们检查这是否是一个交织器，用于表示$H（H）$在各自的向量空间上：

我们还可以证明交织器和$G公司$-另一个方向上的等变向量丛态射：交织器$i^*：\pi_1^{-1}（x）\到V$和向量束态射$（f^*，m^*）$，其中$f^*：f\到L（V）$和$m^*：m至G/H$.

给定一个交织器$i^*：\pi_1^{-1}（x）\到V$，我们定义$m^*：m至G/H$作为：

我们定义地图$f^*：f\到L（V）$签署人：

对于每个$在F中为w\$.因为$k（\pi_1（w））$,$k（\pi_1（w））^{-1}$将整个光纤映射到$w个$属于$\pi_1^{-1}（x）$，缠绕器的领域$我^*$。我们有：

地图$（f）^*$是光纤之间的线性映射$\pi_1^｛-1｝（y）$和$\pi_2^{-1}（m^*（y））$，因为，随着$我^*$，的纤维上的向量空间结构$L（V）$是定义所以表单的所有映射$v至[（g，v）]$都是线性的。所以，$米^*$和$（f）^*$一起给出了一个向量丛态射$F类$到$L（V）$.

为了成为$G公司$-等变向量束，$（f）^*$还应该通过$G公司$。我们有：

让我们缩写一下$\pi_1（w）$作为$年$并定义$h=k（g\cdot y）^{-1}gk（y）$，需要$x个$到$x个$所以必须躺着$H（H）$。然后我们有：

假设给我们一个$G公司$-不变向量丛同构$（f^*，m^*）$，其中$f^*：f\到L（V）$和$m^*：m至G/H$，使用$m^*（x）=高度$.

我们利用线性双射$\phi_e:V\到e_{eH}$，由定义$\phi_e（v）=[（e，v）]$.我们引入了这些线性双射$\phig（_g）$最初描述诱导束结构时。我们定义$i ^*：\pi_1^｛-1｝（x）\到V$签署人：

我们检查这是一个交织在$H（H）$:

假设$f^*（w）=[（e，v）]$对一些人来说$v \以v表示$.然后$i^*（w）=v$、和：

示例和应用

定期代表

这个正则表示法组的$G公司$作为线性表示，是沿着平凡子群包含的平凡表示的诱导表示$指数_1^G（1）$.

集中器代数/赫克代数

让

是群同态（通常假定为子组包容性，有时$G公司$假设为有限群). 对于$H代表中的E$一些$H（H）$-表示（通常被认为是琐碎的$H（H）$-代表），让$G代表中的Ind_i E$被诱导$G公司$-代表。然后自同态环 $结束G（Ind_i E）$属于$Ind_i E公司$在里面$G代表$被称为中心化代数或者也是赫克代数或Iwahori-Hecke代数? $赫克（E，i）$诱导表示的。（基本知识在(Woit，定义2)，详情见(Curtis-Reiner，第67节)，相关理论的快速综述在(斯里尼瓦桑)).

在符号方面一般抽象公式上面和的$i冒号H到G$的任何同态$\英菲$-小组，我们有∞-单半群

哪里$[-,-]$是内部hom在中切片（∞，1）-拓扑 $\数学BF{高}_{/\mathbf{B} G公司}\simeq G动作（\mathbf{H}）$.

对于$第五幕（G）$任何其他表示，都有一个规范∞-作用属于$赫克（E，i）$在$\低于{\mathbf{B} G公司}{\prod}\left[\underset{\mathbf{B} 我}{\总和}E，V\右]$.如果在这里$E类$是微不足道的表示，那么通过伴随这就是不变性 $体积$属于$V（V）$因此，赫克代数作用于不变量。（参见示例(Woit，定义2)). 这有时被称为Iwahori固定向量上的Hecke代数作用(例如，这里，第9页)

Zuckerman函子：Harish-Chandra模的合成

上的CoinductionHarish-Chandra模块被称为扎克曼诱导。有关详细信息，请参阅此处。

相关概念

• 表示诱导作为超左伴随的识别基本更改同构，如一般抽象讨论上面，将归纳表示放在与存在量词在里面逻辑一般来说相依和在里面依赖型理论（请参阅此处了解更多详细信息）。这种关系在(劳维尔).

• 如果群上的模被认为是群上函数Hopf代数上的余模，那么可以考虑对余模的归纳。请参阅协同传感器产品.

• 这个导出函子归纳函子通常被称为上同调诱导.

• 狄拉克感应

• 这个性格诱导表示的诱导特性.

• Artin-Lam诱导指数

工具书类

传统配方

• 数学百科全书诱导表示

原创文章包括

• 乔治·麦奇,局部紧群的诱导表示I《数学年鉴》，55（1952）101–139；

• 乔治·麦奇,局部紧群的诱导表示Ⅱ《数学年鉴》，58（1953）193-221；

• 乔治·麦奇,群的诱导表示与量子力学，W.A.Benjamin，纽约，1968年

教科书帐户包括

• C.Curtis和I.Reiner，表示论方法及其在有限群和阶中的应用、威利（1987）

关于诱导表征和弗罗贝纽斯互惠包括

• 坦莫·汤姆·迪克，第4章表征理论, 2009 (pdf格式)

MO讨论包括

• 有限群表示的错误Frobenius互易

这个传统配方的阐述上述条目中的部分摘自

• 格雷格·伊根,归纳表示法

• 约翰·贝兹,答复

相关讨论见

• 约翰·贝兹,Poincare群的酉表示

一般抽象公式

这个一般抽象公式上面提到了（对于离散群和他们的置换表示)英寸

• 比尔·劳弗尔,基础中的相邻关系《辩证法》第23卷（1969年），第281-296页，《范畴理论与应用的再版》，2006年第16期，第1-16页。(pdf格式)

• 比尔·劳弗尔,超学说中的等式与作为伴随函子的理解图式，AMS纯数学研讨会论文集十七（1970），1-14。(pdf格式)

一般情况$\英菲$-中的组$\英菲$-地形将在中进一步讨论

• Urs Schreiber公司,内聚拓扑中的微分上同调