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想法

同伦实现是的特例同伦性结肠炎，当索引图为$\增量^{op}$，的相反类别的单形范畴.

同伦实现可以定义为相对范畴，就像同伦性结肠炎，但实际计算通常是在存在其他结构时进行的，例如模型结构事实上，丰富的模型类别是最常见的设置。

计算

在任何$V（V）$-丰富的模型类别，同伦实现单纯形对象

可以用三种不同的方法计算，所有这些方法都使用函子的张量积（即。，加权结肠炎).

具体来说，考虑函子

这需要函子的张量积，即加权大肠杆菌，其中$V（V）$是一元模型类超过$C$是丰富的。

如果我们将第一个参数设置为常数函子具有值$1$（单分子单元属于$V（V）$)，则结果函子为科利米特函子 $C^{\增量^{op}}\到C$.

函子$\奥蒂姆$成为左奎伦分叉器如果我们装备$V^\增量$和$C^{\增量^{op}}$使用以下三对模型结构之一：

• 内射和投射；
• 投射和内射；
• 瑞迪和瑞迪。

因此，同伦实现单纯形对象 $X\冒号\增量^{op}\到C$可以如下计算。

• 共同解析恒重$1$在上面列出的三种模型结构之一中。
• 共同解决$X（X）$在同一对中的另一个模型结构中。
• 计算$Q 1\注意事项Q X$，这是的同伦实现$X（X）$.

联合决议内射模型结构可以通过应用一些共纤维分解函子属于$C$对象方面。

联合决议Reedy模型结构可以通过反复分解闭锁图属于$X（X）$作为一个共纤维然后是弱等价性和调整$X（X）$相应地。

联合决议投影模型结构可以在一些实际示例中显式计算。

简化为半单纯对象

包含半单形范畴（即fininite有居全序集和内射序-保序映射）单形范畴（去掉注入条件）是一个同伦初始函子也就是说，限制包含相反的类别同伦性结肠炎.

因此，同伦实现可以计算为同伦性结肠炎在对面半单形范畴后一类是直接类别这使得共纤维条件变得特别容易。

示例

单纯形集合

A瑞迪共纤维置换恒定重量的$1\colon\Delta\到sSet$可以计算为Yoneda嵌入 $Y_\Delta\colon\Delta\到sSet$.

这个Reedy模型结构在简单对象在里面单纯形集具有单纯弱等价与内射模型结构，如文章中所述优雅的Reedy类别尤其是，所有对象都是共纤维.

因此，同伦实现

可以计算为

它与对角线的属于$X（X）$.

阿贝尔群的链复合物

对于链状复合体具有拟同构（我们配备了链式复合体的内射模型结构)，一个类似于Reedy上单形集的计算可以很好地将恒定权重解析为

哪里$\数学{N}$表示正规链函子和$\矩阵{Z}[-]$表示自由单形阿贝尔群函子.

再一次，所有简单对象在里面链状复合体是Reedy的搭档。

因此，同伦实现$X\冒号\增量^{op}\到Ch$可以计算为

它与直接和 总复合体的双链复合体通过应用Dold–Kan通信到单纯形对象 $X\冒号\增量^{op}\到Ch$.

拓扑空间

考虑拓扑空间具有弱同伦等价。下面，我们使用Serre模型结构.

这个拓扑单纯形 $\mathbf{\Delta}\colon\Delta\到顶部$Reedy是一个共简约拓扑空间.

不是所有的简单对象在里面拓扑空间是Reedy共纤维，由于闭锁图不必是拓扑空间的共构即a收回相对细胞图。

然而，正如上面所解释的，我们可以传递到半简单设置。在这种情况下，Reedy共纤维可以归结为对象共纤维。

因此，同伦实现$X\冒号\增量^{op}\到顶部$可以计算为

哪里$问$表示对象化共纤维置换这正是经典fat几何实现属于单形拓扑空间.

相关概念

• 实现

• 同伦大肠杆菌

• 同伦余

• 同伦推出

• 同伦余积

• 同伦协等式

• 同伦累加

工具书类

对于以下情况链状复合体，请参阅

• 荒川贤介,链络合物的同伦极限和同伦结肠炎,arXiv:2310.00201.