n实验室高等范畴理论

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高级范畴理论

通常，在实践中考虑可能的维度 $n个$ 非平凡细胞的数量是有限的。这与拓扑空间刚好消失了同伦群s在某些尺寸以上 $n个$ –a同伦n型–由n-广群。此的完全定向版本是n类，它是（n，n）-类别：尺寸小于等于 $n个$ 所有这些都是不可逆的。实际上，可以继续 $（n，n+1）$ -类别，或 $（n+1）$ -偏序集；你可以考虑 $n个$ -细胞是有序的，否则认为存在不可逆的 $（n+1）$ -无法区分的细胞。（可逆不可区分 $（n+1）$ -单元格都是身份，因此也可能不存在。）

对于低 $n个$ 非常明确代数模型对于 $n个$ -类别是可用的，但在其全部通用性中，很快就变得不可操作 $n个$ 增加：系列以开始二分类,三类的和四类虽然双范畴已经找到了大量的应用，但三范畴的公理已经相当复杂，它们的理论主要是用来证明存在一个好的半限制被称为灰色类别.

事实上，有很多严格的更高类别的模型：为更好的具体控制而牺牲全部通用性的组合或代数模型。值得注意的是，对于严格∞-范畴虽然还不够，但它在描述一般高级范畴结构方面已经走了很长的路。事实上，通过辛普森猜想每一个∞-类别相当于一个看起来像严格∞范畴除非可能有弱单位定律。

描述完全通用的挑战∞-类别是实现对所有高等单元的高等组成规则的组合或代数控制。人们可以大致区分两种处理问题的正交方法：

在中高等范畴的代数定义建立了一个代数机制，允许具体处理显式选择细胞复合物。此类机械通常涉及操作的以某种方式使用ic工具。这类定义中最复杂的是巴塔宁∞-类别和Trimble∞-类别.

另一方面，在高等范畴的几何定义建立了一个组合机械，可以保证存在细胞复合物。在弱∞范畴的单纯形模型较高类别的特征是单纯集合s加上额外的财产某些复合材料的存在。这里的问题是正确地描述这些存在定律。

这种“存在法则”的基本例子是Kan-filler条件其特征是Kan复合体es，模型（∞，0）-类别。通过适当放宽Kan条件，可以获得更一般的更高类别。例如，通过简单地将Kan-condition限制为所有单元格的某个子集，就产生了称为准范畴。这些模型（∞，1）-类别.

（弱）Kan填充条件的正确进一步松弛更为复杂。获取这一点的方法如下所示多米尼克·维里蒂的简单集定义复杂集合s和弱复杂集第条。

人们期望更高类别的每个代数定义都包含一个称为神经将其映射到单纯集合这将构成相应的几何模型。

处理更高类别的几何定义的另一种方法是使用 $n个$ -折叠单纯形集。这是基于以下概念完全Segal空间本质上是准范畴它的优点是可以递归地应用其定义以产生n重完备Segal空间s.这些模型（∞，n）-类别对于有限 $n个$ .

最后，还存在大量其他模型（∞，1）-类别依据丰富范畴理论.简单丰富的模型类别是一个高度开发的处理工具包可表示（∞，1）-类别.预三角化dg-enrich类别和A-∞类别是一个高度发达的处理工具稳定（∞，1）-范畴.

基本概念

高等范畴理论建立的基本概念是k态射为所有人 $k\in\mathbb{N}$ ，具有构图的概念，使得相干定律秒都很满意。

这就是一切。

基本构造

较高的预升

高等拓扑理论

更高的通用结构

基本定理

与高等结构其他观点的关系

如本文导言所述，高等范畴理论的一个动机来自于 $\英菲$ -群胚和拓扑空间通过同伦假说人们可以将同伦假设所述的等价性解释为： $\英菲$ -群胚和拓扑空间是相同的更高的结构。具体来说，本例中的高层结构可以称为同构类型.

同样，推广同伦假设、更高类别和高定向空间应为相同类型的高层结构建模：定向同伦类型高级范畴和有向空间之间的区别在于，后者的概念（如拓扑空间）通常依赖于连续体 $\mathbb{R}$ 在其定义中，我们可以将有向空间称为有向同伦类型的连续体（或拓扑）模型。相比之下，更高的类别通常不需要依赖连续统，而是用组合术语（如“更高形态的集合”等）定义的——因此，我们可以称其为更高结构的“组合”模型。

可以说，高等结构的模型还有第三极，即“几何”模型（这里，“几何”指的是以下方面的定义分层流形；这与之前的不同几何构图范式组合结构中）。例如，在 $n个$ -品类咖啡馆如下一节所述，它是将更高范畴理论应用于配体理论的基础。它还导致了以下概念几何高级类别.