n实验室（无穷，1）范畴中的广群对象

重定向自“（∞，1）类别中的组对象”诊断树。

上下文

群论

内部 $（第1页）$ -类别

$（第1页）$ -范畴理论

根据逻辑垂直分类，一个内部的 $\英菲$ -组或内∞-广群可以定义为（∞，1）-范畴 $C类$ 具有（∞，1）-拉回如上文所述，一般而言，这不仅涉及削弱常规结合性和单位法则高达同伦，但需要规范一致性这些同伦的规律直到更高的同伦，等等。

A类组对象在中（∞，1）-范畴概括并统一了两个熟悉的概念：

它是群概念的推广斯塔舍夫 $A_\信息$ -空间从顶部到更一般的（∞，1）-层（∞、1）-拓扑：带有关联和可逆的对象幺半群结构，最多相干的同伦，可能只有部分定义的（另请参见成环和脱环更多信息）；
它概括了等价关系–或者更确切地说内部的概念同余–来自范畴理论到（∞，1）范畴理论.

特别相关的是这样的组对象，它们定义有效商数

这些是不透光的;
这些概括了正则满态;
这些用于描述正则（∞，1）-范畴–例如∞-堆栈（∞，1）-topoi–因为每个这样的物体都是有效商数.

A类广群对象则相应地是多个对象的版本组对象.

但请注意以下几点。因为这是定义的内部的到（∞，1）-范畴，外表看起来像是真的∞-广群和∞-组物体。例如a组对象在一个（2,1）-类别例如Grpd公司从外部来看2组.

还要注意，如果环境 $（第1页）$ -类别实际上是（∞，1）-拓扑，那么其中的每个对象都可能已经被认为是“具有几何结构的∞-广群体”（参见内聚（∞，1）-拓扑，但更普遍地说是这样的）。The relation between the内部广群对象则对象本身是（油化)的循环和去循环.特别是 $G公司$ 任何内部组对象（外部∞-组)相应的普通对象是它的去循环对象 $\马特布夫{B} G公司$ 、以及每个指出有联系的中的对象 $（第1页）$ -拓扑以这种方式产生于内部组对象。

类groupoid对象

\cdots C_2\stackrel{\to}{\stackrol{\to}{\to

存在有效的意味着它是切赫神经

\光盘C_0\时间{C_0//C_1}C_0\次数{C_0//C_1}C_0\stackrel{\to}{\stackrel{to}{\to{}}C_0\时间{C_0//C_1}C_0\stackrel{\ to}{\ to}C_0

第个，共个商堆栈 $C_0\slash C_1$ （（∞，1）-大肠杆菌在其图表上）

\cdots C_2\stackrel{\to}{\stackrol{\to}{\to\至C_0//C_1:=大肠杆菌_i C_i\,.

相应地 $（第1页）$ -范畴在主∞-丛.

请注意（∞，1）-拓扑通过更高的模拟吉拉德定理就这些吗（无穷大，1）拓扑中的广群对象是有效的.

定义（完整的分段空间样式）

Groupoid对象

以下定义在样式上遵循完全Segal空间对象。

定义

（群胚的西格尔条件)

对于 $C类$ 一个（∞，1）-范畴，一个广群对象在里面 $C类$ 是一个（∞，1）范畴中的单形对象

A:\增量^{op}\到C

这样，对于所有分区 $S杯S’$ 属于 $[无]$ 正好共享一个顶点 $秒$ ，我们有

\阵列{A（[n]）&\至&A（S）\\\向下箭头&&\向下箭头\\A（S'）&\到&A（\{S\}）}

是一个（∞，1）-回拉中的图表 $C类$ 在这里，通过一个分区 $S杯S’$ 属于 $[无]$ 正好共享一个顶点 $秒$ ，我们指的是两个子集 $S公司$ 和 $S’$ 属于 $\{0,1，\ldot，n\}$ 谁的工会是 $\{0,1，\ldot，n\}$ 它的交集是单点 $\{s\}$ 。上的线性顺序 $[无]$ 然后限制为上的线性顺序 $S公司$ 和 $S’$ .

这个 $（第1页）$ -中的广群对象类别 $C类$ 是满的吗子（∞，1）范畴

Grpd（C）\hookrightarrow函数（\Delta^{op}，C）

的（∞，1）-函子的（∞、1）-范畴在属于广群对象的对象上。

这是HTT，道具。6.1.2.6第4项具有HTT，定义6.1.2.7.

备注

如果只需要为那些order-preserving分区满足上述条件，那么这将产生（pre-）的定义（∞，1）范畴中的范畴对象.

备注

目前尚不清楚上述意义上的类群对象是否恢复了经典的广群对象在一个1类。这可以通过以下方式推断。让 $[2] =S\杯S'$ 是隔断 $S=\{0,1\}$ 和 $S’=\｛1,2\｝$ 。另一方面，让 $[2] =T\杯T'$ 是隔断 $T=\{0,1\}$ 和 $T’=\{0,2\}$ 。两个分区都存在 $A_2类$ 等同于 $A_1\时间{A_0}A_1$ ，但投影图不同。具体来说，我们有两个拉回图：

\阵列{A_1\times_{A_0}A^1&\覆盖{A（d_0）}\到&A_1&A_1\times_{A_0}A_1&\覆盖\\A（d_2）\downarrow&&A（d_ 1）\ downarror&&A\\A_1&\覆盖{A（d_0）}\到&A_0&A_1&\overset{A（d_0）}\至&A_0}

在第一个图中，上水平箭头投影到第二个坐标上，左垂直箭头投影到第一个坐标上。底部的水平图是“域”图，右侧的垂直箭头是“共域”图。这是“通常”的Segal图。在第二张图中，上部的水平地图仍然投影到第二个坐标上，但左侧的垂直地图是“合成”地图。那么其他两个映射必然都是“域”态射。因为这两个因素都会带来回调 $A_1\次_{A_0}A_1$ ，必须存在等价关系 $\φ\冒号A_1\倍_{A_0}A_1\重叠{\simeq}\到A_1\次_｛A_0｝A_1$ 它与各自图表中的形态相兼容。这有时被称为剪切图，尽管它不同于用于定义托索.

如果我们假设函子的余域 $A类$ 是设置然后写 $\φ（f，g）=（\phi_0（f，g），\phi_1（f、g））$ 那么这意味着 $\phi_0（f，g）\phi_1（f、g）=f$ 和 $\phi_1（f，g）=g$ .因此 $\phi_0（f，g）g=f$ 。特别是，设置 $f=id_{A_0}$ 给予 $\phi_0（f，g）$ 作为的反转 $克$ 因此，类别对象的每个态射 $A类$ 是可逆的。为了产生实际的反转态射，我们采用合成 $A_1\重叠{A（s_0）}\到A_1\次_{A_0}A_1\重叠{\phi}\到A_1\次_{A_0}A_1\将{A（d_0）}\重叠到A_1$ .

定义

广群对象 $A:\增量^{op}\到C$ 是切赫神经态射的 $A_0\至B$ 如果 $A类$ 是增广单纯形对象的限制 $A^+：\增量^{op}_a\至C$ 具有 $A^+_0\到A^+_{-1}$ 作为同态 $A_0\至B$ ，这样子-图表

\阵列{A^+_1至A^+_0\\\向下箭头&&\向下箭头\\A ^+_0&&到A ^+_｛-1｝}

属于 $A类^+$ 是一个（∞，1）-回拉中的图表 $C类$ .

这是HTT，低于道具。6.1.2.11.

如果 $A类$ 是切赫神经态射的 $A_0\到A_{-1}$
那么groupoid对象是可去环的在类群体的意义上。

定义

类groupoid对象 $A:\增量^{op}\到C$ 是一个有效的商对象如果（∞，1）-大肠杆菌图表 $A^+：\Delta_A^{op}\到C$ 存在，因此 $A类$ 是切赫神经属于 $A^+_0\到A^+_{-1}$ ，即 $A_0\至\lim_\至A_\bullet$ .

Group对象

A类组对象是一个广群对象 $U:\增量^{op}\到C$ 对于其中 $U_0\模拟*$ 是一个终端对象.

(HTT，定义7.2.2.1).

它如下(HTT，道具。7.2.2.4)组对象的形式

U=\左(\cdots G\times G\stackrel{to}{\stackrol{to}}{\to}}G\stackerel{to{to}*\右侧）\,.

与的关系 $（第1页）$ -商

备注

中的groupoid对象 $（第1页）$ -类别

\left（\cdots A_2\stackrel｛\to｝｛\stackrel｛\to｝｛\to｝A_1\stackrel{\to}{\to{A_0\右侧）

是（∞，1）-范畴内部模拟等价关系在 $A_0（0）$ ，这只是一对形态

R\stackrel{\to}{\to{A_0\,.

这个上极限(协调剂)后一个图表的商属于 $A_0（0）$ 通过关系 $R（右）$ .

类似地（∞，1）-共线

\lim_\to（\增量^｛op｝\stackrel｛A｝｛\to｝C）

在单纯形图上 $A:\增量^{op}\到C$ 是相应的 $（第1页）$ -商.

如果给我们一个模型类别演示的（∞，1）-范畴 $C类$ ，然后这个（∞，1）-大肠杆菌由同伦大肠杆菌在相应的单纯形图a上同伦商.

属性

等效特征

我们在道具中陈述。下面列出了表征（∞，1）范畴中的单形对象作为一个广群对象。这使用了以下基本概念，为了方便起见，我们在这里进行了回顾。

定义

对于 $K\英寸$ sSet（设置）一单纯集合，写入 $\增量{/K}$ 对于它单形范畴。对于 $X_\bullet\in\mathcal{C}^{Delta^{op}}$ 单纯的物体，写作

X[K]\冒号\增量^{操作}_{/K}\to\Delta^{op}\stackrel{X}{\to}\mathcal{C}

用于预合成 $X_\项目符号$ 用正则投影。此外，写

X（K）\coloneqq\underset{\leftarrow}{\lim}X[K]

对于（∞，1）-极限在这个复合材料上（∞，1）-函子在里面 $\数学{C}$ （如果存在）。（注意：方括号表示复合函子，圆括号表示其 $（第1页）$ -限制。）

备注

对于 $X_\bullet\in\mathcal{C}^{Delta^{op}}$ 和 $K\至K'$ 以下是等效的

锥的诱导态射 $（第1页）$ -类别 $\马查尔{C}（C）_{X[K]}\到\马特拉{C}（C）_{X[K']}$ 是一个（∞，1）-范畴的等价性;
的诱导态射（∞，1）-极限 $X（K）至X（K'）$ 是一个等效.

（第一个透视图用于(卢里)，第二个(鲁里岛2号).)

证明

单向：极限是终端对象在锥范畴中，so被锥范畴的等价性所保留。（此方向显示为(Lurie道具。4.1.1.8)). 相反，极限是表示圆锥体的对象，因此极限的等价性导致了圆锥体类别的等价性。

提议

让 $\数学{C}$ 成为 $（第1页）$ -类别显式体现为准范畴.然后是中的单纯形对象 $\数学{C}$ 如果以下等效条件成立，则为类群像对象。

如果 $K\至K'$ 是中的同态sSet（设置）这是一个弱同伦等价和一个双射在顶点，然后是上的诱导态射切片-（∞，1）-类别

$\马查尔{C}（C）_{/X[K]}\至\马查尔{C}（C）_{/X[K']}$

是一个（∞，1）-范畴的等价性（a）弱等价性在中拟范畴的模型结构).
对于每个 $2个$ 以及每个 $0 \leq i \leq n$ ，态射 $\马查尔{C}（C）_{/X[\Delta ^n]}\到\mathcal{C}（C）_{/X[\Lambda ^n_i]}$ 是中的弱等价准范畴的模型结构
(…)

使用备注这意味着简单对象 $X_\项目符号$ 是一个广群，如果

$X_\项目符号$ 满足普通人西格尔条件和态射 $X（Delta ^2）到X（Lambda ^2_0）$ 是一个等效.
(…)

第一项显示为(Lurie道具。6.1.2.6). 第二个出现在(Lurie2，道具。1.1.8，引理1.2.25).

这个 $（第1页）$ -广群对象的范畴

提议

这个 $（第1页）$ -中的广群对象类别 $C类$ 是一个反射子（∞，1）范畴

Grpd（C）\堆叠箭头函数（\Delta^{op}，C）\,.

这是HTT，道具。6.1.2.9在很好的情况下，这个反射子类别的图像是有效的表态：

提议

如果 $C=\mathbf{H}$ 在中（∞，1）-半拓扑有一种天然的（∞，1）-范畴的等价性

Grpd（\mathbf{H}）\模拟当量（\mathbf｛H｝^I）_｛eff｝

在 $（第1页）$ -中的广群对象类别 $\矩阵{H}$ 和全部子（∞，1）范畴的箭头类别属于 $\矩阵{H}$ （（∞，1）-函子（∞、1）-范畴 $函数（\Delta[1]，\mathbf{H}）$ )在上有效表态.

如下所示HTT，cor.6.2.3.5.

切赫神经

写入 $\增量（_a）$ 对于增强型单纯形范畴（包括对象 $[-1]$ ).

提议

增广单纯形对象 $A^+：\Delta_A^{op}\到C$ 是正确的吗Kan扩展其限制 $[-1]$ 和 $[0]$

\阵列{\{[-1]\leftarrow[0]\}&\stackrel{A^+|_{\leq0}}{\to}&C\\\向下箭头&\nearrow_{\mathrlap{A^+}}\\\增量^{op}}

precisley如果 $^+|_{\geq 0}$ 是中的groupoid对象 $C类$ 和图表

\阵列{A_1至A_0\\\向下箭头&&\向下箭头\\A_0至&A_{-1}}

是一个（∞，1）-回拉在里面 $C类$ .

$A类$ 被称为切赫神经属于 $A_0\到A_{-1}$ 如果这个命题的等价条件得到满足。

有效商数

提议

在 $C类=$ ∞Grpd每个类群对象都是一个有效的商，def。.

这是HTT，注释6.1.2.15下方和HTT，cor.6.1.3.20.

更普遍地说，这对每一个（∞，1）-拓扑.

提议

在 $C类$ 是一个（∞，1）-拓扑，然后是中的每个广群对象 $C类$ 是一个有效的商def。.

这是HTT，定理6.1.0.6（4）iv）.

删除循环

对于 $\数学{X}$ 一个（∞，1）-范畴具有（∞，1）-回拉s和for $x:*\到x$ 一指出中的对象 $\数学{X}$ ，其循环空间对象在 $x$ 是（∞，1）-回拉

\欧米茄_x x:={*}\prod_{x}{*}

因此，对象普遍填充了图

\阵列{\Omega_x x到&*\\\向下箭头&\swArrow_{\simeq}&\downarrow^{\mathrlap{x}}\\*&\stackrel{x}{\到}&x}\,.

因为这是切赫神经属于 $*\至X$ , $\欧米茄_x x$ 自然具有 $\英菲$ -在中分组对象 $\数学{X}$ .

提议

让 $\数学{X}$ 成为（∞，1）-拓扑.然后是成型操作循环空间对象构成（∞，1）-范畴的等价性

\Omega：点连接（\mathcal{X}）\stackrel{\simeq}{\to}组（\mathcal{X}）

从完全次（∞，1）-范畴的在-（∞，1）-范畴下 $*/\数学{X}$ 属于指向的物体在那些也是0连接（因此那些具有本质上唯一点的） $（第1页）$ -编组对象的类别 $\数学{X}$ .

这是HTT，引理7.2.2.11（1）

与…相反 $\欧米茄$ 我们写作

\mathbf{B}:Grp（\mathcal{X}）\到PointedConnected（\tathcal{X}）\,.

对于 $组中的G（mathcal{X}）$ 我们打电话给 $\马特布夫{B} G公司$ 它的去循环.

示例

将对象分组到 $（第1页）$ -地形

当环境（∞，1）-范畴是一个（∞，1）-拓扑然后–通过 $\英菲$ -Giraud公理–所有群体对象都是有效的，这意味着

\马特布夫{B} G公司=\lim_{\to}U_\bullet

这个（∞，1）-大肠杆菌在组对象上 $U_\项目符号$ 我们有这个 $U_\项目符号$ 被复制为切赫神经 $*\至\mathbf{B} G公司$

\左(\cdots G\times G\stackrel{to}{\stackrol{to}}{\to}}G\stackerel{to{to}*\右侧）\西马克\左(\光盘{*}\times_{\mathbf{B} G公司}{*}\times_{\mathbf{B} G公司}｛*｝\stackrel｛\to｝｛\stackrel｛\to｝｛*｝\times_｛\mathbf{B} 克}{*}\stackrel{\to}{\to{*\右侧）\,.

对象 $\马特布夫{B} G公司$ 是去循环组对象的对象 $G公司$ .

有关更多信息，请参见主∞束.

中分组对象的模型 $\infty集团$

有一个模型类别表示（∞，1）-范畴中的组对象∞Grpd：的∞-组第条。

组对象 $G公司$ 它们由类别上的模型结构建模 $sGrp公司$ 属于单形群第条。
他们的去循环空间 $\马特布夫{B} G公司$ 由类别上的模型结构建模 $S设置_0$ 属于单纯集合s具有单个顶点。

成型操作循环空间对象s构成奎伦等效在这两个模型结构之间

\欧米茄：sSet_0\stackrel{\simeq_{Quillen}}{\to}sGrp\,.

奎伦等值本身在第6节中。

提议

存在转换模型结构关于类别 $sGrp公司$ 属于单形群沿着健忘函子

U:sGrp\到sSet_{Quillen}

符合标准单形集上的模型结构.

这意味着 $sGrp公司$ 是一个

弱等价
或纤维化

如果是这样的话 $sSet_{Quillen}（设置{Quillen）$ .

这显示为(GoerssJardine，ch V，定理。2.3).

提议

有一个简化单形集上的模型结构 $S设置_0$ (单纯形集具有单个顶点），其

弱等价
和共纤维

那些是标准的吗单形集上的模型结构.

这显示为(GoerssJardine，ch V，道具。6.2).

提议

单循环空间函子 $G公司$ 和delooping函子 $\巴W（-）$ （讨论地点：单形群)构成奎伦等效

（G\dashv\bar W）：sGr\stackrel{\overset{G}{\leftarrow}}{\underset{\bar W}{\to}}S设置_0\,.

这个 $（G\dashv\bar W）$ -单元和counit是弱等价：

X\stackrel{\simeq}{\to}\bar W G X

G \bar W G \stackrel{\simeq}{\ to}G\,.

这显示为(GoerssJardine，ch.V道具。6.3).

工具书类

Groupoid对象 $（第1页）$ -类别是第6.1.2节的主题

雅各布·卢里,高等地形理论

中广群对象的模型类别表示 $\infty集团$ 按类群完备Segal空间在中进行了讨论

朱莉娅·伯格纳,

在编码代数结构的图中添加倒数，《同源、同伦和应用》10（2008），第2期，149-174。(arXiv:0610291)

给图加逆II：可逆同伦理论是空间《同调、同伦与应用》，第10卷（2008年），第2期，第175-193页。(网状物,arXiv:0710.2254)

标准教科书参考 $\英菲$ -中的组单纯集上的经典模型结构是

保罗·高尔斯,里克·贾丁，第五章，共章单纯形同伦理论 第五章.

从以下角度进行讨论（∞，1）范畴中的范畴对象在中

雅各布·卢里,（∞，2）-范畴与Goodwillie演算(arXiv:0905.0462)

上次修订时间：2024年6月12日23:18:31。请参阅历史获取所有贡献的列表。

n实验室（无穷，1）范畴中的广群对象

上下文

群论

内部(∞,1)（第1页）-类别

在1类中

在一个（2,1）-类别

在∞Grpd

在猫(猫(⋯猫(∞Grpd公司)))猫（猫（猫）

在（n，r）-类别

模型类别演示

内部n个n个-类别

操作案例

(∞,1)（第1页）-范畴理论

目录

想法

定义（完整的分段空间样式）

Groupoid对象

定义

备注

备注

定义

定义

Group对象

与的关系(∞,1)（第1页）-商

备注

属性

等效特征

定义

备注

证明

提议

这个(∞,1)（第1页）-广群对象的范畴

提议

提议

切赫神经

提议

有效商数

提议

提议

删除循环

提议

示例

将对象分组到(∞,1)（第1页）-地形

中分组对象的模型∞Grpd公司\infty集团

提议

提议

提议

相关概念