n实验室几何嵌入

上下文

地形理论

特别是包括 $Sh（S）\hookrightarrow PSh（S）$ 的滑轮类别到它的预切地形或者更一般地说，夹杂物 $Sh_j E\钩右箭头E$ 拓扑中的滑轮 $E类$ 进入之内 $E类$ 它本身是一个几何嵌入。实际上，每个几何嵌入都是这种形式的，直到等价于地形.

另一个观点是几何嵌入 $F\hookright箭头E$ 是本地化属于 $E类$ 在课堂上 $W公司$ 或变形左伴随 $E至F$ 发送到中的同构 $F类$ .

拓扑浸入的诱导几何态射 $X\挂钩箭头Y$ 是几何嵌入。相反，如果 $Y（Y）$ 是一个 $T_0（T_0）$ 空间。（示例A4.2.12（c）英寸(约翰斯通))

定义

对于 $F类$ 和 $E类$ 二地形，一个几何态射

F\stackrel{F}{\to}E类\;\;\;\;F\stackrel{\stackrel{F_*}{\longrightarrow}}{\underset{F^*}{\ longleftarrow}{E

是一个几何嵌入如果满足以下等效条件

这个直接图像函子 $（f）_*$ 是充分而忠实（以便 $F类$ 是一个完整的子类别属于 $E类$ );
议会 $\epsilon:f^*f_*\到Id_{f}$ 的附加 $（f^*\dashv f_*）$ 是一个同构
有一个Lawvere-Tierney拓扑在 $E类$ 和一个范畴的等价性 $e:F\stackrel{\simeq}{\to}Sh_j e$ 几何形态图 $\数组{F&\stackrel{F_*}{\to}&E\\&{}{E}\searrow^\simeq&\uparrow^{i}\\&Sh_j E}$ 转化为自然同构 $e^*i^*\simeq f^*$

前两个条件相等是标准的，第三个条件与前两个条件相等是例如第七节中的推论7，4(MacLaneMoerdijk公司)

属性

与本地化的关系

几何嵌入与本地化:反射式定位.

让 $f:f\挂钩箭头E$ 是几何嵌入并让 $W子集Mor（E）$ 是由发送的一类形态 $（f）^*$ 到同构 $F类$ .

定理

我们有：

$F类$ 相当于本地化 $依[W]^{-1}$ ;
$F类$ 相当于完整子范畴属于 $E类$ 在 $W公司$ -局部对象.

例如，这一事实与脱毛就几何嵌入而言 $Sh（S）\hookrightarrow PSh（S）$ 如中所述

MacLane-Moerdijk，几何和逻辑中的滑轮

就以下方面而言本地化在局部同构，如中所述

卡西瓦拉·夏皮拉，类别和滑轮.

此外，这是脱脂作用推广到（∞，1）-剪切在里面

雅各布·卢里,高等拓扑理论.

以下给出了上述断言的详细证明。

写入 $\eta:Id_E\至f_*f^*$ 表示附加词的单位。

自 $（f）_*$ 是完全忠实的，我们将识别对象和 $F类$ 他们的图像在 $E类$ .要进一步缩小符号，请写下 $\条{（-）}:=f^*$ 用于左边的伴随词。

定义

写入 $W公司$ 对于在下发送到同构的态射类 $（f）^*$ ,

在Mor（E）中W=（f^*）^{-1}\{g:c\stackrel{\simeq}{\to}d\}\,.

提议

$E类$ 配备班级 $W公司$ 是一个弱等价范畴，在那个 $W公司$ 满足三取二的要求。

证明

以下是因为同构满足三取二。

提议

$W公司$ 是左边的乘法系统.

证明

这是基于这样一个事实 $（f）^*$ 保持精确，因此保留有限极限。

更详细地说：

我们已经在前面的建议中看到

每个同构都在 $W公司$ ;
$W公司$ 在合成下关闭。

仍需检查以下几点：

给定任何

\阵列{&&一个\\&&\向下箭头^w\\b&&stackrel｛h｝｛\to｝和c}

具有 $w\单位：w$ ，我们必须证明

\阵列{d&\到&a\\\向下箭头^{w'}&&\向下箭头^w\\b&\stackrel{h}{\to}&c}

具有 $w'\在w中$ .

为了得到这个，把这个当作拉回图表， $w'：=h^*w$ .自 $（f）^*$ 保留了回调，因此

\阵列{\bar d&\到&\bar a\\\向下箭头^{\bar w'}&&\向下箭头^}\bar w}\\\bar b&\stackrel{\bar h}{\to}&\bar c}

是中的拉回图 $F类$ 具有 $\bar w'=\bar h^*\bar w$ .但根据假设 $\巴w$ 是一种同构。因此 $\条形w'$ 因此是同构 $w'（宽）$ 在中 $W公司$ .

最后对于每个

a \stackrel｛\stackrel｛r｝｛\to｝｝b \stackrel｛w｝｛\to｝c

具有 $w\单位：w$ 这样，这两种复合材料就重合了，我们需要找到

d\stackrel{w'}{\to}a\stackrel{r\stackrel}{r\to}}{\stackrol{s}{\to}}b

具有 $w'\在w中$ 使复合材料再次重合。

要得到这个，拿 $w'（宽）$ 成为均衡器这两种形态。发送所有内容 $（f）^*$ 到 $F类$ 我们从中找到

\bara\stackrel{\stackrl{\barr}{\to}}{\stackerel{\bars}{\to}}b\stackrol{\barw}{\to-}c

那个 $\bar r=\bar s$ ，自 $\巴w$ 是同构。这意味着 $\条形w'$ 是均衡器

\bar d\stackrel{\bar w'}{\to}a\stackrel{\bar r}{\to}}{\stackrel{\sbar s}{\to-}}b

两个相等的态射，因此是一个恒等式。所以 $w'（宽）$ 在中 $W公司$ .

提议

对于每个对象 $E中的a\$

单位 $\eta_a:a\to\bar a$ 在中 $W公司$ ;
如果 $一$ 已在中 $F类$ 那么这个单位已经是同构的了。

证明

这是根据三角形恒等式的伴随函子.

\阵列{& \近行和\下箭头^{\ta}和\箭头^{Id_E}\\E类&\stackrel{\bar{（-）}}{\到}&F类&\钩右箭头&E类&\stackrel{\bar{（-）}}{\到}&F类\\&&&\searrow&\Downarrow^{\simeq}&\nearrow_{Id_F}}\;\;\;\;=\;\;\;\;\阵列{&\nearrow\searrow^{\bar{（-）}}\\E类&\向下箭头^{Id}&F类\\&\searrow\nearrow_{\bar{（-）}}}

和

\阵列{&&& \近行和\下箭头^{\ta}和\箭头^{Id_E}\\F类&\钩右箭头&E类&\stackrel{\bar{（-）}}{\到}&F类&\钩右箭头&E类\\&\searrow&&Downrow^｛\simeq｝&&nearrow_｛Id_F｝}\;\;\;\;=\;\;\;\;\阵列{&\nearrow\searrow\\F类&\向下箭头^{Id}&E类\\&\searrow\nearrow}

在组件中，他们说

对于每个 $E中的a\$ 我们有 $（\bar a\stackrel｛\bar \eta_a｝｛\to｝\bar｛\bar a｝\stackrel｛\simeq｝｛\to｝\bar a）=Id_｛\bar a｝$
对于每个 $在F中为a\$ 我们有 $（a\stackrel{\eta_a}{\to}\bar a\stackerel{\simeq}{\to}a）=Id_a$

这意味着索赔。

定义

一个物体 $E中的a\$ 是 $W公司$ -局部对象如果每个 $g:c\到d$ 在里面 $W公司$ 地图

g^*：Hom_E（d，a）\stackrel{\simeq}{\to}Hom_E（c，a）

通过预合成得到的是同构。

提议

直到同构 $W公司$ -局部对象正是 $F类$ 在里面 $E类$

证明

首先假设 $在F中为a\$ 。我们需要证明这一点 $一$ 是 $W公司$ -本地。

注意所需同构的存在 $Hom_F（d，a）\simeq Hom_F（c，a）$ 等效于以下语句：

\阵列{c&\stackrel{}{\到}&d\\\向下箭头^{h}\\一}

有一个独特的扩展

\阵列{c&\stackrel{}{\到}&d\\\向下箭头^{h}&\swarrow\\一}\,.

要查看此扩展的存在性，请使用 $（f）^*$ 得到

\阵列{\条形图c&\stackrel{\simeq}{\to}&\bar d\\\向下箭头^{\bar h}\\\巴\simeq a}\,.

假设 $c至d$ 在中 $W公司$ 态射 $\bar c至bar d$ 这是一个同构。假设 $一$ 已在中 $F类$ 我们有 $\条形图$ 因为counit是同构的。因此，该图显然具有独特的扩展

\阵列{\条形图c&\stackrel{\simeq}{\to}&\bar d\\\向下箭头^{\bar h}&\swarrow{\exists！k}\\\巴\simeq a}\,.

通过hom同构（使用 $（f）_*$ 完全在 $E类$ )

Hom_E（\bar d，a）\simeq Hom_E（d，a

这定义了一个态射 $k:d\到$ .追逐 $k个$ 通过hom-isomorphism的自然图

\阵列{Hom_E（\bar d，\bar a）&\stackrel{\simeq}{\to}&Hom_E（d，\bara）\\\向下箭头&&\向下箭头\\Hom_E（\bar c，\bar a）&\stackrel{\simeq}{\to}&Hom_E（c，\bara）}\,.

表明 $k:d\到$ 确实扩展了原始图表。再次通过Hom-同构，它是具有这个性质的唯一态射。

所以 $在F中为a\$ 是 $W公司$ -本地。

现在反过来，假设给定 $一$ 是 $W公司$ -本地。

通过上述命题之一，我们知道该单元 $\eta_a:a\to\bar a$ 在中 $W公司$ ，所以由 $W公司$ -所在地 $一$ 由此可见

\阵列{&\stackrel{\etaa}{\to}&\bar\\\向下箭头^{Id_a}\\一}

有一个分机

\阵列{&\stackrel{\etaa}{\to}&\bar\\\向下箭头^{Id_a}&\swarrow_{\rho_a}\\一}\,.

根据的三取二属性 $W公司$ 如上述命题之一所示，（使用 $Id（_a）$ 作为同构 $W公司$ )由此可见 $\rho_a:\bar a\到a$ 在中 $W公司$ .

自 $\巴a$ 在中 $F类$ 因此 $W公司$ -根据上述内容，也可以看出

\阵列{\条a&\stackrel{\rhoa}{\to}&a\\\向下箭头^{Id_{\bar a}}\\\巴a}

有一个分机

\阵列{\酒吧\\\向下箭头^{Id_{\bar a}}&\swarrow_{\lambda_a}\\\巴a}\,.

所以 $\埃塔阿$ 有左反转 $\ρa$ 它本身有一个左反转 $\λ_a$ 。由此可见 $\ρa$ 也是的右逆 $\埃塔阿$ ，自

\开始{对齐}\stackrel{\rhoa}{\到}\stackrel{\taa}{\to}& = \stackrel{\rhoa}{\到}\stackrel{\taa}{\to}\下括号{id}{\下括号{\stackrel{\rhoa}{\到}\stackrel{\lambda_a}{\到}}}\\& = \stackrel{\rhoa}{\到}\下括号{id}{\下括号{\stackrel{\taa}{\to}\stackrel{\rhoa}{\到}}}\stackrel{\lambda_a}{\到}\\&=\stackrel{\rhoa}{\到}\stackrel{\lambda_a}{\到}\\&=身份证件\结束{对齐}\,.

所以如果 $一$ 是 $W公司$ -我们在当地发现 $\eta_a:a\to\bar a$ 是同构，因此 $一$ 与的对象同构 $F类$ .

推论

$F类$ 等于完全子类别 $E_{W-loc}$ 属于 $E类$ 在 $W公司$ -局部对象.

证明

通过标准推理（例如。KS引理1.3.11)有一个函子 $F\至E_{W-loc}$ 和自然同构

\阵列{F&&\挂钩箭头&&E\\&\searrow&\Downarrow^{\simeq}&\nearrow\\&&E_{W-loc}}\,.

自 $F\hook向右箭头E$ 和 $E_{W-loc}\hookrightarrow E$ 是充分而忠实，也是 $F\至E_{W-loc}$ 由于通过上述方法，它在本质上也是推测的，因此它建立了等价性 $F\simeq E_{W-loc}$ .

提议

$F类$ 是相等的到本地化 $E[W^{-1}]$ 属于 $E类$ 在 $W公司$ .

证明

通过上述命题之一，我们知道 $W公司$ 是一个左乘法系统.

这意味着本地化 $E[W^{-1}]$ 是（相当于）具有相同对象的类别 $E类$ 、和家庭成员由提供

Hom_{E[W^{-1}]}（a，b）=\在W}{to}a}{colim}Hom_E（a'，b）中下划线{a'\stackrel{p\\,.

函子有一个明显的候选者

F到E[W^{-1}]

通过通常的嵌入在对象上给出 $（f）_*$ 以及通过将态射平凡地视为跨度左腿的身份

（a至b）\;\;\地图\;\;\左(\阵列{a至&b\\\向下箭头^{Id_a}\\一}\右侧）\,.

这是一个范畴的等价性我们需要证明这是一个基本上是满腹的和完全忠实函子.

要了解基本的推测性，让我们 $一$ 是中的任何对象 $E类$ 然后让 $\eta_a:a\to\bar a$ 是我们附加的单元的组成部分 $一$ ，如上所述。根据上述提议之一， $\埃塔阿$ 在中 $W公司$ 这意味着跨度

\阵列{a&\stackrel{Id_a}{\to}&a\\\向下箭头^{\eta_a}\\\巴a}

表示中的元素 $Hom_{E[W^{-1}]}（\bar a，a）$ ，而这个元素显然是同构的：逆由

\阵列{&\stackrel{\etaa}{\to}&\bar\\\向下箭头^{Id_a}\\一}\,.

自从 $\巴a$ 在函子的图像中，这表明它本质上是满射的。

要看到完整和忠诚，让 $a、 b\在F中$ 可以是任意两个对象。通过上述命题之一，这尤其意味着 $b条$ 是一个 $W公司$ -局部对象如上所述，这意味着每个跨度

\阵列{a'&\到&b\\\向下箭头^w\\一}

具有 $w\单位：w$ 具有唯一的扩展名

\阵列{a'&\到&b\\\向下箭头^w&\nearrow\\一}\,.

但这意味着在定义霍姆塞特属于 $E[W^{-1}]$ 所有这些跨度都用左腿相同的跨度来标识。这些明显是双射的 $Hom_E（a，b）\simeq Hom_F（a、b）$ 所以确实如此

Hom_{E[W^{-1}]}（a，b）\西马克Hom_{F}（a，b）

为所有人 $a、 b\在F中$ 因此，我们的函子也是完全的和忠实的，因此定义了一个范畴的等价性

F\stackrel{\simeq}{\to}E[W^{-1}]\,.

因子分解和图像

有一个因子分解系统上2类托普斯谁的左边班是满射几何态射其右类是几何嵌入。几何态射的因式分解可以说是构造它的形象在拓扑学意义上。

请参见几何满射/嵌入因子分解.

此外，每个几何嵌入本身都有一个（稠密，封闭）-因子分解.

工具书类

第VII、4节

莱恩和列克·莫尔迪克,几何和逻辑中的滑轮

和第A4.2节

皮特·约翰斯通,大象素描：地形理论纲要.

上次修订时间：2018年6月29日10:52:43。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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Topos形态

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上同调与同伦

在高等范畴理论中

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与本地化的关系

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因子分解和图像

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