n实验室具有粉碎积的函子

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稳定同伦理论

高等代数

合适时”无坐标的“演示文稿光谱，的结构(可交换的)幺半群关于光谱的粉碎产物（一）A无限环(E-infinity环))可以直接表示为lax单体函子在索引空间上，因此是一个将破碎积使用组件空间索引空间，但没有明确提及光谱的粉碎产物.

概述

所以a具有粉碎积的函子是一个行为良好的仿函数

E \；\冒号\；\mathcal{D}\longrightarrow空格^{\ast/}

来自单体范畴 $（\mathcal{D}，\wedge）$ 到点拓扑空间/点单形集并配备自然变换

\矩阵{S}（V）\右箭头E（V）

和

E（V）\楔形E（W）\向右长箭头E（V\楔形W）

那是相联的和单作的在明显的意义上。

对于高度结构化的光谱

对于以下情况高结构光谱例如正交光谱,对称谱和S-模块，FSP与幺半群关于谱的对称碰撞积是由于这个命题在日卷积. (MMSS 00，属性。22.1，支柱。22.6).

（例如，账户(Kochmann 96，第3.3节,施韦德14)遵循这个观点并定义环形光谱首先作为FSP，在光谱上介绍粉碎产品之前）

对于激子

对于单体模型结构对于激发函子事实上，关于谱的对称碰撞积FSP也同样在(Lydakis 98，备注5.12). 请参见这个命题.

成分

拓扑端点和系数

用于使用尖头拓扑丰富函子，某个形状的限制/结肠炎特别相关：这些被称为（点拓扑丰富）末端和辅数。我们在这里介绍这些，然后导出它们的一些基本属性，例如拓扑的表达式左Kan扩展依据辅数（道具。（见下文）。在它的下面是沿着点拓扑空间（“日卷积“）表示谱的对称单体碰撞积被诱导。

定义

让 $\mathcal{C}，\mathcal{D}$ 被指拓扑丰富的类别(定义。)，即。丰富的类别结束 $（顶部{cg}^{ast/}，\楔形，S^0）$ 来自示例.

这个尖端拓扑富集相反类别 $\数学{C}^{op}$ 是拓扑丰富范畴用同样的物体作为 $\数学{C}$ ，使用hom空间

$\数学{C}^{op}（X，Y）\上校（coloneq）\数学{C}（Y，X）$

和作文由提供编织然后是中的组成 $\数学{C}$ :

$\数学{C}^{op}（X，Y）\楔子\数学{C}^{op}（Y，Z）=\mathcal{C}（Y，X）\wedge\mathcal}（Z，Y）\欠置{\simeq}{\tau}{\longrightarrow}\mathcal{C}（Z，Y）\wedge\mathcal}（Y，X）\覆盖{\circ_{Z，Y，X}}{\longrightarrow}\数学{C}（Z，X）=\数学{C}^{op}（X，Z）\,.$
这个点拓扑产品类别 $\mathcal{C}\times\mathcal{D}$ 是拓扑富集范畴谁的物体是对对象的 $（c、d）$ 具有 $c\in\mathcal{c}$ 和 $d\in\mathcal{d}$ ，谁的hom空间是破碎积独立的hom空间

$（\mathcal{C}\times\mathcal{D}）（（C_1，D_1），\；（c2，d2）\上校（coloneq）\mathcal{C}（c1，c2）\wedge\mathcal}D}（D_1，D_2）$

以及谁作文操作是编织然后是破碎积单独的合成操作：

$\阵列{（\mathcal{C}\times\mathcal{D}）（（C_1，D_1），\；（c2，d2）\楔子（\mathcal{C}\times\mathcal{D}）（（C_2，D_2），\；（c3，d3）\\{}^{\mathllap{=}}\向下箭头\\\左（\mathcal{C}（c1，c2）\wedge\mathcal{D}（D_1，D_2）\right）\楔子\left（\mathcal｛C｝（C_2，C_3）\wedge\mathcal｛D｝（D_2，D_3）\right）\\\向下箭头^{\mathrlap{\tau}}_{\mathllap{\simeq}}\\\左（\mathcal{C}（c1，c2）\wedge\mathcal{C}（c2，c3）\right）\楔子\左（\mathcal{D}（D_1，D_2）\wedge\mathcal{D}（D_2，D_3）\right）&\重叠{（\circ_{c1，c2，c3}）\楔形}{\右箭头}&\mathcal{C}（c1，c3）\wedge\ mathcal{D}（D_1，D_3）\\&&\向下箭头^{\mathrlap{=}}\\&&（\mathcal{C}\times\mathcal{D}）（（C_1，D_1），\；（c3，d3）}\,.$

例子

A尖头拓扑富集函子(定义。)到 $顶部^{\ast/}_{cg}$ (示例。)点拓扑之外产品类别如定义中所示。

F类\;\冒号\；\mathcal{C}\times\mathcal{D}\向右长箭头顶部^{\ast/}_{cg}

（a“点拓扑分叉器“）具有表单的组件映射

F_{（c_1，d_1），（c_2，d_2）}\;\冒号\；\数学{C}（c1，c2）\楔子\数学{D}（D_1，D_2）\向右长箭头地图（F_0（（c_1，d_1）），F_0\,.

通过功能和传递副官(科尔。)这相当于两次通勤行动

\rho{c1，c2}（d）\;\冒号\；\数学{C}（c1，c2）\楔形F_0（（c1、d））\向右长箭头F_0（（c_2，d））

和

\ρ｛d_1，d_2｝（c）\;\冒号\；\数学{D}（D_1，D_2）\楔形F_0（（c，D_1））\向右长箭头F_0（（c，d_2））\,.

在函子的特殊情况下产品类别其中一些 $\数学{C}$ 用它相反类别（定义。)

F类\;\冒号\；\数学{C}^{op}\times\mathcal{C}\向右长箭头顶部^{\ast/}_{cg}

那么这就是形式

\rho{c2，c1}（d）\;\冒号\；\数学{C}（c1，c2）\楔形F_0（（c2，d））\向右长箭头F_0（（c_1，d））

和

\rho{d1，d2}（c）\;\冒号\；\数学{C}（d_1，d_2）\楔形F_0（（C，d_1））\向右长箭头F_0（（c，d_2））\,.

定义

让 $\数学{C}$ 成为小的指出拓扑丰富范畴(定义。)，即富集类别结束 $（顶部_｛cg｝^｛\ast/｝，\wedge，S^0）$ 来自示例.让

F类\;\冒号\；\数学{C}^{op}\times\mathcal{C}\向右长箭头顶部^{\ast/}_{cg}

尖锐拓扑富集函子(定义。)点拓扑之外产品类别属于 $\数学{C}$ 用它相反类别，根据定义。.

这个共同（coend）属于 $F类$ ，表示 $\超集｛c\in\mathcal｛c｝｝｛\int｝F（c，c）$ ，是协调剂在里面 $顶部{cg}^{\ast}$ (道具。,示例。,道具。,科尔。)中编码的两个操作 $F类$ 通过示例:

$\underset{c，d\in\mathcal{c}}{\coprod}\mathcal{c}（c，d）\wedget F（d，c）\过盈不足{\underset{\underset{c，d}{\sqcup}\rho{（d，c）}（c）}{\longrightarrow}}{\超集{\欠集{c，d}{\sqcup}\rho{（c，d）}（d）}{\右箭头}}{\幻影{AAAAAAAA}}\underset{c\in\mathcal{c}}{\coprod}F（c，c）\重叠{coeq}{\longrightarrow}\重叠{c\in\mathcal{c}}{\int}F（c，c）\,.$
这个结束属于 $F类$ ，表示 $\underset{c\in\mathcal{c}}{\int}F（c，c）$ ，是均衡器在里面 $顶部{cg}^{\ast/}$ (道具。,示例。,道具。,冠状动脉。)的附加词中编码的两个动作 $F类$ 通过示例:

$\underset{c\in\mathcal{c}}{\int}F（c，c）\重叠{\；\；等式\；}{\longrightarrow}\underset{c\in\mathcal{c}}{\prod}F（c，c）\过盈不足{\underset{\underset{c，d}{\sqcup}\tilde\rho{（c，d）}（c）}{\longrightarrow}}{\overset{\underset{c，d}{\sqcup}\tilde\rho{d，c}（d）}{\longrightarrow}}｛\ phantom｛AAAAAAAA｝｝\underset{c\in\mathcal{c}}{\prod}映射\左（\mathcal{C}\左（C，d\右），\；F\左（c，d\右）\right）_\ast\,.$

例子

让 $\数学{C}$ 成为小的指出拓扑丰富范畴(定义。). 对于 $F、 G公司\;\冒号\；\数学{C}\向右长箭头前^｛\ast/｝_｛cg｝$ 双头的拓扑富集函子，然后是结束（定义。)第页，共页 $地图（F（-），G（-））_\ast$ 是一个拓扑空间，其基础是尖头集合是指自然变换 $F至G$ (定义。)

U型\左(\underset{c\in\mathcal{c}}{\int}映射（F（c），G（c））_\ast\右侧）\;\模拟\；Hom_{[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]}（F，G）\,.

证明

基础点集函子 $U \冒号顶端^{\ast/}_{cg}\设置为^{\ast/}$ 保存全部的限制(道具。,道具。,道具。). 因此，有一个均衡器中的图表 $设置^｛\ast/｝$ 表单的

U型\左(\underset{c\in\mathcal{c}}{\int}地图（F（c），G（c））_\ast\右侧）\重叠{eq}{\longrightarrow}\underset{c\in\mathcal{c}}{\prod}Hom_{Top^{\ast/}_{cg}}（F（c），G（c））\过盈不足{\underset{\underset{c，d}{\sqcup}U（\tilde\rho_{（c，d）}（d））}{\longrightarrow}}{\overset{\underset{c，d}{\sqcup}U（\tilde\rho{d，c}（c））}{\longrightarrow}}｛\ phantom｛AAAAAAAA｝｝\underset{c，d\in\mathcal{c}}{\prod}Hom_{Top^{\ast/}_{cg}}(\数学{C}（C，d），地图（F（c），G（d））_\ast)\,.

在这里，中间的对象只是组件形态的集合 $\左\{F（c）\超集{\eta_c}{\to}G（c）\right\}_{c\in\mathcal{c}}$ 均衡器图中的两个并行映射将这样的集合带到发送任何 $c\覆盖{f}{\到}d$ 预编译的结果

\阵列{F（c）\\{}^{\mathllap{f（f）}}\向下箭头\\F（d）&\下集{\eta_d}{\longrightarrow}&G（d）}

和合并后

\阵列{F（c）&\覆盖{\eta_c}{\longrightarrow}&G（c）\\&&\向下箭头^{\mathrlap{G（f）}}\\&&G（d）}

这样一个集合中的每个组件。这两个函数相等，因此集合 $\{\eta_c\}_{c\in\mathcal{c}}$ 处于均势意味着一切都很准确 $c、天$ 以及所有 $f\冒号c\到d$ 广场

\阵列{F（c）&\覆盖{\eta_c}{\longrightarrow}&G（c）\\{}^{\mathllap{F（F）}}\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{G（F）{}}\\F（d）&\下集{\eta_d}{\longrightarrow}&G（G）}

是一个通勤广场这正是集合的条件 $\{\eta_c\}_{c\in\mathcal{c}}$ 成为自然转化.

相反，示例这么说末端结束分叉器表单的 $地图（F（-），G（-））_\ast$ 构成hom空间在尖头之间拓扑富集函子:

定义

让 $\数学{C}$ 成为小的指出拓扑丰富的类别(定义。). 定义尖头的结构拓扑丰富范畴关于类别 $[\mathcal{C}，顶部{cg}^{ast/}]$ 第个，共个拓扑富集函子到 $前^｛\ast/｝_｛cg｝$ (示例。)通过采取hom空间由末端（定义。)例如:

[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]（F，G）\;\冒号\；\int_{c\in\mathcal{c}}映射（F（c），G（c））_\ast

并将合成映射作为映射诱导的形态

\左(\underset{c\in\mathcal{c}}{\int}映射（F（c），G（c））_\ast\右侧）\楔子\左(\underset{c\in\mathcal{c}}{\int}映射（G（c），H（c））_\ast\右侧）\重叠{}{\longrightarrow}\underset{c\in\mathcal{c}}{\prod}映射（F（c），G（c））_\ast\楔形映射\重叠集{（\circ_{F（c），G（c）和H（c）}）{c\in\mathcal{c}}}{longrightarrow}\underset{c\in\mathcal{c}}{\prod}地图（F（c），H（c））_\ast

通过观察到这些均衡了结束.

结果指向拓扑丰富范畴 $[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]$ 也称为 $顶部^{\ast/}_{cg}$ -富足函子范畴结束 $\数学{C}$ 系数为 $顶部^{\ast/}_{cg}$ .

首先，这就产生了一个关于定点拓扑的简明陈述富余Yoneda引理(道具。)

提议

（拓扑上富余Yoneda引理)

让 $\数学{C}$ 成为小的指出拓扑丰富的类别(定义。). 对于 $F\colon\mathcal{C}\到顶端^{ast/}_{cg}$ 尖头的拓扑富集函子(定义。)和用于 $c\in\mathcal{c}$ 一个对象，有一个自然同构

[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]（\mathcal{C}（C，-），\；F）\;\模拟\；F（c）

在高倍空间点拓扑函子范畴，根据def。，来自所表示的函子通过 $c（c）$ 到 $F类$ ，以及的值 $F类$ 在 $c（c）$ .

就末端（定义。)定义这些hom空间，这意味着

\underset{d\in\mathcal{C}}{\int}映射（\mathcal{C}（C，d），F（d））_\ast\;\模拟\；F（c）\,.

在这种形式下，该语句也称为Yoneda减少.

这个证明道具的。基本上是对下一个道具的双重证明。.

既然自然变换用以下词语表达末端（示例)，正如Yoneda引理（prop）。)，考虑到二重的涉及的声明辅数:

提议

(co-Yoneda引理)

F（-）\西马克\覆盖{c\in\mathcal{c}}{\int}\数学｛C｝（C，-）\楔F（C）\,.

此外，由此展示的态射 $F（c）$ 作为协调剂定义中的两个形态。组件是规范操作

\数学{C}（d，C）\楔形F（C）\向右长箭头F（d）

哪个是辅助到组件映射 $\数学{C}（d，C）\到映射（F（C），F（d））{\ast}$ 的拓扑富集函子 $F类$ .

（例如。MMSS 00，引理1.6)

证明

我们需要考虑的点拓扑空间的协等式的基础是一个基本点集的协等量(道具。,道具。,道具。). 这又是基础集合图上的共线，其基点与图相邻(道具。). 对于协等式图，在图中添加额外的点显然不会改变colimit，因此我们需要考虑集合的普通协等式。

这只是一套等价类属于对

（c在F（c）中覆盖{}{to}c_0，；x\）\,,

其中两对

（c在f（c）中覆盖{f}{to}c_0，；x\）\,,\;\;\;\;（F（d）中的d覆盖{g}{to}c_0，y）

如果存在，则视为等效

c\覆盖{\phi}{\to}d

这样的话

f=g\circ\phi\,,\;\;\;\;\;和\；\；\；y=φ（x）\,.

（因为这两对是这对的两个图像 $（g，x）$ 在两个被同质化的语态下。）

但现在考虑到这个案例 $d=c_0$ 和 $g=id{c0}$ ，所以 $f=φ$ 显示任何一对

（F（c）中的c\ overset｛\phi｝｛\to｝c_0，\；x\）

在coequalizer中与该对

（在F（c_0）中为id_{c_0}，\；\φ（x）\）\,,

因此与 $\F（c_0）中的φ（x）$ .

这显示了基础集级别的声明。总之，现在已经足够了(道具。)以显示上的拓扑 $F（c_0）位于顶部^{\ast/}_{cg}$ 是最终拓扑(定义。)组件态射系统

\数学{C}（d，C）\楔形F（C）\向右长箭头\重叠{c}{\int}\mathcal{c}（c，c0）\wedget F（c）

我们刚刚发现的。但该系统包括

\数学{C}（C，C）\楔形F（C）\右长箭头F（C）

这是一个回缩

标识\；\冒号\；F（c）\长右箭头\数学｛c｝（c，c）\楔F（c）\纵向箭头F（c）

因此，如果这些组件映射下coequalizer的给定子集的所有预映像都是打开的，那么它一定已经在中打开了 $F（c）$ .

备注

的声明co-Yoneda引理在道具中。是一种分类中的以下语句分析（从那里可以看到带积分符号的符号）：

对于 $X（X）$ 一拓扑空间, $f\colon X\to\mathbb{R}$ 一连续函数和 $\增量（-，x0）$ 表示狄拉克分布，然后

\int_{x\在x}\增量（x，x_0）f（x）= f（x0）\,.

正是这种类比为以下语句命名：

提议

(福比尼定理用于（co）-端）

对于 $F类$ 尖的拓扑丰富分叉器关于一个小点拓扑产品类别 $\马查尔{C} _1个\times\mathcal时间{C} _2$ （定义。)，即。

F类\;\冒号\；\左(\马查尔{C} _1个\时间\数学{C} _2\右）^{op}\次（\mathcal{C} _1个\times\mathcal时间{C} _2)\向右长箭头前^｛\ast/｝_｛cg｝

然后是它结束和共同（coend）（定义。)在每个变量上以任意顺序连续形成：

\重叠{（c1，c2）}{\int}F（（c1、c2），（c1和c2））\西马克\覆盖{c1}{\int}\覆盖{c2}{\int}F（（c_1，c_2），（c_1,c_2））\西马克\覆盖{c2}{\int}\覆盖{c1}{\int}F（（c_1，c_2），（c_1,c_2））

和

\底部｛（c_1，c_2）｝｛\int｝F（（c_1，c_2），（c_1，c_2））\西马克\下划线{c1}{\int}\下划线{c2}{\int}F（（c_1，c_2），（c_1,c_2））\西马克\下划线{c2}{\int}\下划线{c1}{\int}F（（c_1，c_2），（c_1,c_2））\,.

证明

因为限制有限制的通勤，以及结肠炎患有腹痛的通勤。

备注

因为尖紧生成映射空间函子(示例。)

地图（-，-）_\ast\;\冒号\；\左（上^{\ast/}_{cg}\right）^{op}\次顶部^{\ast/}_{cg}\向右长箭头顶部^{\ast/}_{cg}

拿结肠炎在第一个参数和限制在第二个限制参数中(科尔。)，也需要辅数在第一个参数和末端在第二个参数中，to ends（def。):

映射（X，\；\int_｛c｝F（c，c））_\ast\西马克\int_c映射（X，F（c，c）_\ast）

和

映射（\nint^{c}F（c，c），\；Y）_\ast\西马克\underset{c}{\int}映射（F（c，c），\；Y）_\ast\,.

提议

（通过coends进行左Kan扩展）

让 $\mathcal{C}，\mathcal{D}$ 是小的指出拓扑丰富的类别(定义。)然后让

p\；\冒号\；\数学｛C｝\longrightarrow\mathcal｛D｝

尖锐拓扑富集函子(定义。). 然后用预合成 $第页$ 构成函子

上一页\;\冒号\；[\mathcal{D}，顶部^{\ast/}_{cg}]\向右长箭头[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]

$G\mapsto G\circ图$ 。此函子有一个左伴随 $车道（_p）$ ，已调用左边Kan扩展沿着 $第页$

[\mathcal{D}，顶部^{\ast/}_{cg}]\过盈不足{\underset{p^\ast}{\longrightarrow}}{\覆盖{Lan_p}{\长左箭头}}{\机器人}[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]

它是由共同（coend）（定义。):

（兰_p F）\;\冒号\；d日\;\地图\；\覆盖{c\in\mathcal{c}}{\int}\数学{D}（p（c），D）\楔形F（c）\,.

证明

使用自然变换的末端表达式（例如和定义。)，然后用尊重 $地图（-，-）_\ast$ 对于端点/系数（备注)，使用粉碎/映射空间附加(科尔。)，使用福比尼定理（道具。)最后使用Yoneda减少（道具。)获得序列自然同构如下：

\开始{对齐}[\mathcal{D}，顶部^{\ast/}_{cg}]（Lan_p F，\，G）& =\underset{d\in\mathcal{d}}{\int}映射（（Lan_p F）（d），\，G（d））_\ast\\& =\underset{d\in\mathcal{d}}{\int}地图\左侧(\重叠{c\in\mathcal{c}}{\int}\mathcal{D}（p（c），D）\wedget F（c）,\;G（d）\右）_\ast\\&\西马克\underset{d\in\mathcal{d}}{\int}\underset{c\in\mathcal{c}}{\int}地图(\数学{D}（p（c），D）\楔形F（c）\，，\；G（d）)_\ast公司\\&\simeq（模拟）\underset{c\in\mathcal{c}}{\int}\underset{d\in\mathcal{d}}{\int}地图（F（c），地图(\数学{D}（p（c），D），\，G（D）)_\ast公司)_\ast公司\\&\simeq（模拟）\underset{c\in\mathcal{c}}{\int}地图（F（c），\underset{d\in\mathcal{d}}{\int}地图(\数学{D}（p（c），D），\，G（D）)_\ast公司)_\ast公司\\&\模拟\underset{c\in\mathcal{c}}{\int}地图（F（c），G（p（c））)_\ast公司\\& =[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]（F，p^\ast G）\结束{对齐}\,.

单体拓扑范畴

我们回顾了单体范畴和，共幺半群和模块内部的到一元类。所有示例都位于本节末尾，从示例开始如下所示。

定义

A类（指向）拓扑丰富单体范畴是（指向的）拓扑丰富范畴 $\数学{C}$ (定义。)配备有

a（指向）拓扑富集函子(定义。)

$\奥蒂姆\;\冒号\；\mathcal{C}\times\mathcal{C}\向右长箭头\数学{C}$

（尖的）拓扑产品类别属于 $\数学{C}$ 与自身（定义。)，调用了张量积,
一个物体

$1\in\mathcal{C}$

调用了单位对象或张量单位,
一自然同构(定义。)

$一\;\冒号\；（（-）\times（-））\time（-）\重叠{\simeq}{\longrightarrow}（-）音符（-）$

调用了协会会员,
一自然同构

$\厄尔\;\冒号\；（1\otimes（-））\重叠{\simeq}{\longrightarrow}(-)$

称为左单位和自然同构

$r \；\冒号\；（-）\otimes 1\重叠{\simeq}{\longrightarrow}（-）$

调用了右单位,

使得以下两种图表通勤，对于所有涉及的对象：

三角形恒等式:

$\阵列{&（x\otimes 1）\otimesy&\stackrel{a{x，1，y}}{longrightarrow}&x\otimes（1\otimesy）\\ &{}_{\rho_x\otimes1_y}\searrow&&\swarrow_{1_x\otimes\lambda_y}& \\&&x\音符y&&}$
这个五角大楼身份:

引理

(凯利64)

让 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ 成为单体范畴，定义。然后是左右单位 $\厄尔$ 和 $第页$ 满足以下条件：

$\ell_1=r_1\；\冒号\；1\otimes 1\重叠{\simeq}{\longrightarrow}1$ ;
对于所有对象 $x、数学｛C｝中的y$ 以下内容图表通勤:

$\阵列{（1\otimes x）\ otimes y和&\\{}^\mathllap{\alpha_{1，x，y}}\向下箭头&\searrow^\mathrlap{\ell_xy}&\\1\时间（x\时间y）&\underset{\ell_{x\otimesy}}{\longrightarrow}&x\otIMesy}\,.$

同样适用于右单位。

定义

A类（指向）拓扑编织单体类，是（指向的）拓扑单体范畴 $\数学{C}$ （定义。)配备有自然同构

\τ{x，y}\冒号x\音符y\到y\音符x

调用了编织，因此以下两种图表通勤为所有人物体卷入的：

\阵列{（x\音符y）\音符z&\stackrel{a{x，y，z}}{\到}&x\音符（y\音符z）&\stackrel{tau{x，y\otimesz}}{to}&（y\otimes z）\otime x\\\向下箭头^{tau_{x，y}\otimes Id}&&&&\向下箭头^{a{y，z，x}}\\（y\时间x）\时间z&\stackrel{a{y，x，z}}{\到}&y音符（x音符z）&\stackrel{Id\otimes\tau_{x，z}}{\to}&y音符（z音符x）}

和

\阵列{x\音符（y\音符z）&\斯塔克雷尔{a^{-1}_{x，y，z}}{\到}&（x\音符y）\音符z&\stackrel{tau{x\otimesy，z}}{to}&z\时间（x\时间y）\\\向下箭头^{Id\otimes\tau_{y，z}}&&&&\向下箭头^{a^{-1}_{z，x，y}}\\x\音符（z\音符y）&\斯塔克雷尔{a^{-1}_{x，z，y}}{\到}&（x\times z）\times y&\stackrel{\tau_{x，z}\otimes-Id}{\to}&（z\times x）\times y}\,,

哪里 $a{x，y，z}\冒号（x\otimes y）\ otimes z\到x\otimes（y\otimesz）$ 表示的组件协会会员属于 $\数学{C}^\otimes$ .

定义

A类（指向）拓扑对称单体范畴是（指向的）拓扑编织单体类（定义。)为此编织

\τ{x，y}\冒号x\音符y\到y\音符x

满足条件：

\tau{y，x}\circ\tau{x，y}=1_{x\otimesy}

对于所有对象 $x、年$

定义

给定（指向）拓扑对称单体范畴 $\数学{C}$ 具有张量积 $\奥蒂姆$ （定义。)它被称为闭单体范畴如果每个 $Y\in\mathcal{C}$ 函子 $Y\otimes（-）\simeq（-）\times X$ 有一个右伴随，表示 $[Y，-]$

\数学{C}\过盈不足{\underset{[Y，-]}{\longrightarrow}}｛\overset｛（-）\otimes Y｝｛\longleftarrow｝｝{\机器人}\数学{C}\,,

因此，如果有自然同构

Hom_{mathcal{C}}（X\otimes Y，Z）\;\模拟\；Hom_{\mathcal{C}}{C}（X，[Y，Z]）

对于所有对象 $X、 Z\in\数学｛C｝$ .

因为这个案子 $X=1$ 是张量单位属于 $\数学{C}$ 这意味着

Hom_{\mathcal{C}}（1，[Y，Z]）\,,

对象 $[Y，Z]\in\mathcal{C}$ 是普通的增强霍姆塞特 $Hom_{\mathcal{C}}（Y，Z）$ 到中的对象 $\数学{C}$ 因此，它也被称为内部hom之间 $Y（Y）$ 和 $Z轴$ .

例子

类别设置属于套和功能他们之间，被视为离散拓扑空间，成为对称单体范畴根据定义。具有张量积这个笛卡尔积 $\次$ 共个集合。这个协会会员,单位和编织同构是明显的（几乎不引人注意，但却是不平凡的）规范标识。

类似地 $顶部{cg}$ 属于紧生成拓扑空间(定义。)成为对称单体范畴具有张量积相应的笛卡儿积，因此形成k-ifed的操作(科尔。)乘积拓扑空间(示例。). 的基本功能协会会员,单位和编织同构只是基础集的同构，如上所述。

对称单体范畴，例如这些，其张量积是笛卡尔积被称为笛卡尔单体范畴.

例子

类别 $顶部{cg}^{\ast/}$ 属于指出紧生成拓扑空间具有张量积这个破碎积 $\楔子$ (定义。)

X\wedge Y\coloneq\frac{X\times Y}{X\vee Y}

是一个对称单体范畴（定义。)带有单位对象尖锐的0-球体 $序号^0$ .

的组件协会会员，的单位和编织是的那些顶部如示例所示，下降到商拓扑空间出现在破碎积). 这适用于紧生成空间（但不适用于一般的点拓扑空间）这个道具。.

例子

类别抗体属于abel群，被视为富含离散拓扑空间，成为对称单体范畴用张量积表示实际阿贝尔群的张量积 $\动机{\mathbb{Z}}$ 和张量单位加法群 $\矩阵{Z}$ 属于整数。再次强调协会会员,单位和编织同构是来自底层集合的明显同构，如示例所示.

这是激发符号的典型案例” $\奥蒂姆$ “用于中的配对操作单体范畴:

A类中的幺半群 $（Ab，\otimes_{\mathbb{Z}}，\mathbb{Z}）$ （定义。)相当于a戒指.
A类中的交换幺半群在里面 $（Ab，\otimes_{\mathbb{Z}}，\mathbb{Z}）$ （定义。)相当于a交换环 $R（右）$ .
安 $R（右）$ -模块对象在里面 $（Ab，\otimes_{\mathbb{Z}}，\mathbb{Z}）$ （定义。)相当于 $R（右）$ -模块;
张量积 $R（右）$ -模块对象（定义。)是标准的模的张量积.
这个模块对象的类别 $R模式（Ab）$ （定义。)是标准的模块类别 $R型$ .

代数和模

定义

给定（指向）拓扑单体范畴 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ ，然后是内幺半群 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ 是

一个对象 $A\in\mathcal{C}$ ;
同态 $e \；\冒号\；1\向右长箭头A$ （称为单元)
同态 $\μ\；\冒号\；音符A\右箭头A$ （称为产品);

这样的话

(结合性)以下内容图表通勤

$\阵列{（音符A）音符A&\欠置{\simeq}{a_{a，a，a}}{\longrightarrow}&音符（音符A）&\重叠｛A\otimes\mu｝｛\long-rightarrow｝&注释A\\{}^{\mathllap{\mu\otimesA}}\向下箭头&& &&\向下箭头^{\mathrlap{\mu}}\\注释A&\长向右箭头&&\重叠{\mu}{\longrightarrow}&A类}\,,$

哪里 $一$ 是的关联同构 $\数学{C}$ ;
(统一性)以下内容图表通勤:

$\阵列{1\注释A&\重叠{e\otimes-id}{\longrightarrow}&注释A&\覆盖{id\otimes e}{\longleftarrow}&注意事项1\\&{}_{\mathllap{\ell}}\searrow&\向下箭头^{\mathrlap{\mu}}&&\swarrow_{\mathrlap{r}}\\&&一个}\,,$

哪里 $\厄尔$ 和 $第页$ 是的左右单位或同构 $\数学{C}$ .

此外，如果 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ 具有对称单体范畴（定义。) $（\mathcal{C}，\otimes，1，B）$ 具有对称性编织 $\陶$ ，然后是幺半群 $（A，\mu，e）$ 如上所述称为中的交换幺半群 $（\mathcal{C}，\otimes，1，B）$ 如果另外

（交换性）如下图表通勤

$\阵列{注释A&&\欠置{\simeq}{\tau_{A，A}}{\longrightarrow}&&注释A\\&{}{\mathllap{\mu}}\searrow&&\swarrow{\mathrlap{\ mu}}\\&&A类}\,.$

A类同态幺半群的 $（A_1，\mu_1，e_1）\右长箭头（A_2，\mu_2，f_2）$ 是一个态射

f \；\冒号\；A_1\向右长箭头A_2

在里面 $\数学{C}$ ，因此以下两个图表通勤

\阵列{A_1\音符A_1&\重叠{f\otimes f}{\longrightarrow}&A_2\音符A_2\\{}^{\mathllap{\mu_1}}\下箭头&&\下箭头^{\mathrlap{\tu_2}}\\A_1&\下置{f}{\右箭头}&A_2}

和

\阵列{1_{\mathcal{c}}&\重叠{e_1}{\longrightarrow}&A_1\\&{}_{\mathllap{e2}}\searrow&\downarrow^{\mathrlap{f}}\\&&A_2}\,.

写入 $周一（\mathcal{C}，\otimes，1）$ 对于幺半群范畴在里面 $\数学{C}$ ，以及 $CMon（\mathcal{C}，\otimes，1）$ 交换幺半群的子范畴。

例子

给定（指向）拓扑单体范畴 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ ，然后是张量单位 $1$ 是一个中的幺半群 $\数学{C}$ （定义。)乘积由左或右给定单位

\ell_1=r_1\；\冒号\；1\otimes 1\重叠{\simeq}{\longrightarrow}1\,.

通过引理，这两个语态重合并定义了一个相联的单位为单位的乘积 $id \冒号1\到1$ .

如果 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ 是一个对称单体范畴（定义。)，那么这个幺半群是交换幺半群.

定义

给定（指向）拓扑单体范畴 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ （定义。)，并给出 $（A，\mu，e）$ 一中的幺半群 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ （定义。)，然后是左边模块对象在里面 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ 结束 $（A，\mu，e）$ 是

一个对象 $数学{C}$ ;
一同构 $\ρ\；\冒号\；注释N\右箭头N$ （称为行动);

这样的话

(统一性)以下内容图表通勤:

$\阵列{1\注释N&\重叠{e\otimes-id}{\longrightarrow}&注释N\\&{}_{\mathllap{\ell}}\searrow&\向下箭头^{\mathrlap{\rho}}\\&&A类}\,,$

哪里 $\厄尔$ 是的左单位同构 $\数学{C}$ .
（action属性）以下内容图表通勤

$\阵列{（音符A）音符N&\欠置{\simeq}{a_{a，a，N}}{\longrightarrow}&音符（A\otimes N）&\重叠{A\otimes\rho}{\longrightarrow}&注释N\\{}^{\mathllap{\mu\otimes N}}\向下箭头&& &&\向下箭头^{\mathrlap{\rho}}\\注释N&\长向右箭头&&\重叠{\rho}{\longrightarrow}&N个}\,,$

A类同态左侧的 $A类$ -模块对象

（N_1，\rho_1）\longrightarrow（N_2，\rho2）

是一个态射

f \；\冒号\；N_1\向右箭头N_2

在里面 $\数学{C}$ ，以便图表通勤:

\阵列{A\otimes N_1&\覆盖{A\otimes f}{\longrightarrow}&A\otemes N_2\\{}^{\mathllap{\rho_1}}\向下箭头&& \向下箭头^{\mathrlap{\rho_2}}\\N_1&\underset{f}{\longrightarrow}&N_2}\,.

对于结果模块类别左侧的 $A类$ -中的模块 $\数学{C}$ 具有 $A类$ -它们之间的模同态，我们写道

A模式（\mathcal{C}）\,.

这自然是一个（尖的）拓扑丰富范畴自身。

例子

给定一个单体范畴 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ （定义。)使用张量单位 $1$ 被视为幺半群范畴中的幺半群通过示例，然后是左边单位

\ell_C公司\;\冒号\；1\音符C\左右箭头C

制作每个对象 $C\in\mathcal{C}$ 根据def，进入左侧模块。，结束 $C$ 。由于引理，操作属性保持不变。这提供了一个范畴的等价性

\mathbb｛C｝\simeq 1 Mod（\mathcal｛C｝）

属于 $\数学{C}$ 使用模块类别在其张量单位上。

提议

在定义的情况下。，幺半群 $（A，\mu，e）$ 通过设置 $\rho\coloneqq\mu$ 。更一般地说，对于 $C\in\mathcal{C}$ 任何物体，那么 $注释C$ 自然成为左派 $A类$ -模块，通过设置：

\ρ\;\冒号\；音符（音符C）\欠置{\simeq}{a^{-1}_{A，A，C}}{\右箭头}（音符A）音符C\覆盖{\mu\otimes-id}{\longrightarrow}时间C\,.

这个 $A类$ -这种形式的模块称为自由模块.

这个自由函子 $F类$ 自由建造 $A类$ -模块是左伴随到健忘函子 $U型$ 发送模块 $（N，\rho）$ 到基础对象 $U（N，\rho）\coloneqq N$ .

A模式（\mathcal{C}）\套数不足{\underset{U}{\longrightarrow}}{\覆盖{F}{\长左箭头}}{\机器人}\数学{C}\,.

证明

free中的同态 $A类$ -模块是中的一个态射 $\数学{C}$ 表单的

f \；\冒号\；音符C\左右箭头N

拟合到图表中（我们在符号上抑制协会会员)

\阵列{音符A\音符C&\重叠{A\otimes f}{\longrightarrow}&注释N\\{}^{\mathllap{\mu\otimes-id}}\向下箭头&& \向下箭头^{\mathrlap{\rho}}\\注释C&\下划线{f}{\右箭头}&N个}\,.

考虑复合材料

\颚化符f\;\冒号\；C\欠覆盖{\simeq}{\ell_C}{\longrightarrow}1\otimes C（音符C）\重叠{e\otimes-id}{\longrightarrow}注释C\重叠{f}{\longrightarrow}N个\,,

即限制 $（f）$ 至装置“in” $A类$ 根据定义，这符合整流广场形式（我们现在用符号抑制协会会员和单位)

\阵列{注释C&\覆盖{id\otimes\tilde f}{\longrightarrow}&注释N\\{}^{\mathllap{id\otimes e\otimes id}}\向下箭头&& \向下箭头^{\mathrlap{=}}\\音符A\音符C&\下划线{id\otimes f}{\longrightarrow}&注释N}\,.

将这个正方形粘贴到上一个正方形的顶部会产生

\阵列{注释C&\覆盖{id\otimes\tilde f}{\longrightarrow}&注释N\\{}^{\mathllap{id\otimes e\otimes id}}\向下箭头&& \向下箭头^{\mathrlap{=}}\\音符A\音符C&\超集｛A\otimes f｝｛\long-rightarrow｝&注释N\\{}^{\mathllap{\mu\otimes-id}}\向下箭头&& \向下箭头^{\mathrlap{\rho}}\\注释C&\下划线{f}{\右箭头}&N个}\,,

其中左边的垂直组合是恒等式，根据单位定律 $A类$ 。这表明 $（f）$ 唯一决定于 $\颚化符f$ 通过关系

f=\rho\circ（id_A\otimes\tilde f）\,.

这种自然的双向映射 $（f）$ 和 $\颚化符f$ 建立附加功能。

定义

给定（指向）拓扑对称单体范畴 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ （定义。)，给定 $（A，\mu，e）$ 一中的交换幺半群 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ （定义。)，并给出 $（N_1，\rho_1）$ 和 $（N_2，\rho_2）$ 还剩两个 $A类$ -模块对象（定义。)，然后是模的张量积 $N_1\otimes_A N_2$ 如果存在，则为协调剂

N_1\音符A\音符N_2\过盈不足{\underset{\rho_{1}\circ（\tau_{N_1，A}\otimes N_2）}{\longrightarrow}}{\覆盖{N_1\otimes\rho_2}{\longrightarrow}}{\幻影{AAAA}}N_1\音符N_1\重叠｛coequu｝｛\longrightarrow｝N_1\otimes_A N_2

提议

给定（指向）拓扑对称单体范畴 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ （定义。)，并给出 $（A，\mu，e）$ 一中的交换幺半群 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ （定义。). 如果全部共限定词存在于 $\数学{C}$ ，然后是模的张量积 $\广告词_A$ 来自定义。使模块类别 $A模式（\mathcal{C}）$ 到对称单体范畴, $（A模式，\otimes_A，A）$ 具有张量单位对象 $A类$ 本身，被视为 $A类$ -模块通过道具。.

定义

给定一个单体的模块类别 $（A模式，\otimes_A，A）$ 就像道具一样。，然后是幺半群 $（E，\mu，E）$ 在里面 $（A模式，\otimes_A，A）$ （定义。)被称为 $A类$ -代数.

道具

给定一个单体的模块类别 $（A模式，\otimes_A，A）$ 在一个单体范畴 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ 就像道具一样。、和 $A类$ -代数 $（E，\mu，E）$ （定义。)，然后有一个范畴的等价性

Alg_{comm}（\mathcal{C}）\上校（coloneq）CMon（A Mod）\西马克CMon（\mathcal{C}）^{A/}

在交换幺半群范畴在里面 $A Mod系列$ 和coslice范畴交换幺半群 $\数学{C}$ 在下面 $A类$ ，因此在交换 $A类$ -代数 $\数学{C}$ 和交换幺半群 $E类$ 在里面 $\数学{C}$ 具有幺半群同态的 $A \向右长箭头E$ .

（例如。EKMM 97，VII引理1.3)

证明

在一个方向上，考虑 $A类$ -代数 $E类$ 带装置 $e_e\；\冒号\；A\向右长箭头E$ 和产品 $\mu_{E/A}\colon E\otimes_A E\右箭头E$ 。存在基础产品 $\多（_E）$

\阵列{音符A\音符E& \过盈不足{\underset{}{\longrightarrow}}{\重叠{}{\右箭头}}｛\phantom｛AAA｝｝&音符E&\重叠{coeq}{\longrightarrow}&通知_A E\\&&&{}_{\mathllap{\mu_E}}\searrow&\downarrow^{\mathrlap{\tu_{E/A}}}\\&&&&E（&&E）}\,.

通过考虑这种具有中间垂直态射的协等式图的图 $电子电路$ ，有人发现这是一个单位 $\多（_E）$ 还有那个 $（E，\mu_E，E_E\circ E_A）$ 是中的交换幺半群 $（\mathcal{C}，\otimes，1）$ .

然后考虑装置的两个条件 $e_e\冒号A\右箭头e$ 首先，这是一个 $A类$ -模同态，这意味着

（\星）\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\阵列{音符A&\重叠{id\otimese_e}{\longrightarrow}&A\otimes e\\{}^{\mathllap{\mu_A}}\downarrow&&\downarrow^{\mathrlap{\tho}}\\下集{e_e}{\右箭头}&e}

通勤此外，它满足单位属性

\阵列{提示_A E&\超集｛e_A\otimes id｝｛\longrightarrow｝&通知_A E\\&{}_{\mathllap{\simeq}}\searrow&\downarrow^{\mathrlap{\mu_{E/A}}}\\&&E类}\,.

通过忽略张量积 $A类$ ，后者给出

\阵列{注释E&\重叠{e\otimes-id}{\longrightarrow}&音符E\\\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{}}\\提示_A E&\超集｛e_e\otimes id｝｛\longrightarrow｝&通知_A E\\{}^{\mathllap{\simeq}}\向下箭头&& \向下箭头^{\mathrlap{\mu_{E/A}}}\\E&=&E}\;\;\;\;\;\;\;\;\西马克\;\;\;\;\;\;\;\;\阵列{时间E&\覆盖{e_e\otimes id}{\longrightarrow}&音符E\\{}^{\mathllap{\rho}}\downarrow&&\downarrow^{\mathrlap{\tu_{E}}}\\下划线{id}{\longrightarrow}&E}\,,

其中，左侧顶部的垂直态射是标准协等式，它标识右侧的垂直合成，如图所示。因此，这可能是粘贴去广场 $（\星）$ 上面，以生成整流广场

\阵列{注释A&\覆盖{id\otimes e_e}{\longrightarrow}&注释E&\覆盖{e_e\otimes id}{\longrightarrow}&音符E\\{}^{\mathllap{\mu_A}}\向下箭头&&{}^{\mathllap{\rho}}\向下箭头&& \向下箭头^｛\mathrlap｛mu_｛E｝｝｝\\A&\underset{e_e}{\longrightarrow}&e&\undreset{id}{\lengrightarror}&e} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\阵列{注释A&\覆盖{e_e\otimes e_e}{\longrightarrow}&音符E\\{}^{\mathllap{\mu_A}}\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{\mu_E}}\\下集{e_e}{\右箭头}&e}\,.

这表明该装置 $应用程序（_A）$ 是幺半群的同态 $（A，\mu_A，e_A）\右长箭头（e，\mu_e，e_ e \circ e_ A）$ .

现在，对于相反的方向，假设 $（A，\mu_A，e_A）$ 和 $（E，\mu_E，E'_E）$ 中有两个交换幺半群 $（\mathcal｛C｝，\otimes，1）$ 具有 $e_e\；\冒号\；A至E$ 一个幺半同态。然后 $E类$ 继承左翼 $A类$ -模块结构依据

\ρ\;\冒号\；注释E\覆盖{e_A\otimes id}{\longrightarrow}音符E\覆盖{\mu_E}{\longrightarrow}E类\,.

通过交换性和结合性可以得出如下结论 $\多（_E）$ 对两个诱导态射进行协同限定 $音符A\otimes E\underoverset{\longrightarrow}{\longlightarrow}{\phantom{AA}}音符E$ 。因此普遍性的协调剂通过一些 $\mu_{E/A}\colon E\otimes_A E\右箭头E$ 。这表明 $（E，\mu_{E/A}，E_E）$ 是可交换的 $A类$ -代数。

最后，检查这两个结构是否互为反比，直至同构。

日卷积

定义

让 $\数学{C}$ 成为小的指出拓扑单体范畴（定义。)带有张量积表示 $\奥蒂梅斯{\mathcal{C}}\；\冒号\；\mathcal{C}\times\mathcal}\to\mathcal{C}$ .

然后日卷积张量积关于点拓扑富足函子范畴 $[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]$ （定义。)是函子

\奥蒂梅斯{天}\;\冒号\；[\mathcal{C}，顶端^{ast/}_{cg}]\times[\mathcal{C{，顶端#^{ast/}_{gg}]\长向右箭头[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]

点拓扑之外产品类别（定义。)由以下给出共同（coend）（定义。)

X\otimes_{Day}Y\;\冒号\；c（c）\;\地图\；\重叠{（c1，c2）\in\mathcal{c}\times\mathcal{c}}{\int}\mathcal{C}（c1\otimes_{mathcal{C}c2，C）\wedget X（c1）\weedge Y（c2）\,.

例子

让 $顺序$ 用对象表示类别自然数，并且只有零态射和同一态射在这些对象上：

序号（n_1，n_2）\上校（coloneq）\左\{\阵列{S^0如果\；n1=n2\\\ast其他（&O）}\对。\,.

以独特的方式将其视为一个有针对性的拓扑丰富的类别。自然数加法运算 $\奥蒂姆=+$ 使其成为一个单体范畴。

一个物体 $X_\bullet\in[顺序，顶部{cg}^{ast/}]$ 是一个 $\mathbb{N}$ -点拓扑空间序列。给定两个这样的函数，然后根据定义将其Day卷积。是

\开始{对齐}（X\otimes_{Day}Y）_n& =\超集｛（n_1，n2）｝｛\int｝序列（n_1+n_2，n）\楔子X_{n_1}\楔形X_{n_2}\\&=\underset{{n_1+n_2}\ top{=n}}{\coprod}\ left（X_{n_1}\ wedget X_{n_2}\ right）\结束{对齐}\,.

我们现在观察到日卷积相当于左Kan扩展（定义。). 这将是理解的关键幺半群和模块关于日卷积。

定义

让 $\数学{C}$ 成为小的指出拓扑丰富范畴(定义。). 它外张量积是尖锐的吗拓扑富集函子

\上划线{\wedge}\;\冒号\；[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]\次[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]\长向右箭头[\mathcal{C}\times\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]

由提供

X\上划线{\楔形}Y\;\冒号\；\楔形\circ（X，Y）\,,

即

（X\覆盖线\楔Y）（c_1，c_2）=X（c_1）\楔形X（c_2）\,.

提议

这个日卷积产品（定义。)两个函子的左Kan扩展（定义。)它们的外部张量积（def。)沿着张量积 $\奥蒂梅斯{\mathcal{C}}$ ：有一个自然同构

X\otimes_{Day}Y\西马克Lan_｛\otimes_｛\mathcal｛C｝｝｝｝（X覆盖线｛\wedge｝Y）\,.

因此辅助装置是一个自然转化表单的

\阵列{\mathcal{C}\times\mathcal{C}&&\上下箭头&&顶部^{\ast/}_{cg}\\&{}^{\mathllap{\otimes}}\searrow&\向下箭头键&\近行{\mathrlap{X\otimes_{Day}Y}}\\&&\mathcal{C}}\,.

此透视图在中突出显示(MMSS 00，第60页).

证明

通过道具。我们可以如下计算左Kan扩展共同（coend）:

\开始{对齐}Lan_{\otimes_{\mathcal{C}}（X\overline{\wedge}Y）（C）&\西马克\重叠{（c1，c2）}{\int}\数学{C}（c1\otimes_{\mathcal{C}}c2，C）\楔子（X\上划线{\楔形}Y）（c_1，c_2）\\& =\重叠{（c1，c2）}{\int}\数学{C}（c1\otimes c2）\楔子X（c_1）\楔形X（c_2）\结束{对齐}\,.

推论

这个日卷积 $\奥蒂梅斯{天}$ （定义。)具有以下特性自然同构

[\mathcal{C}，顶^{ast/}_{cg}]（X\otimes_{Day}Y，Z）\西马克[\mathcal{C}\times\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}](X\上划线{\楔形}Y，\；音符)\,,

哪里 $\上划线{\wedge}$ 是def的外部产品。.

写入

是\；\冒号\；\mathcal{C}^{op}\longrightarrow[\mathcal}，Top^{ast/}_{cg}]

对于 $顶部^{\ast/}_{cg}$ -Yoneda嵌入，所以对于 $数学｛c｝$ 任何对象, $y（c）$ 是核呈现函子 $y（c）\冒号d\mapsto\mathcal{c}（c，d）$ .

提议

对于 $\数学{C}$ 一小的指出拓扑单体范畴（定义。)，的日卷积张量积 $\奥蒂梅斯{天}$ 定义的。使指向具有拓扑结构富足函子范畴

（[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]，\otimes_{Day}，y（1））

尖拓扑单体范畴（定义。)带有张量单位 $y（1）$ 共同代表按张量单位 $1$ 属于 $\数学{C}$ .

证明

关于结合性，观察到

\开始{对齐}（X\otimes_{Day}（Y\otimess_{Day}Z））（c）&\simeq（模拟）\重叠{（c1，c2）}{\int}\数学｛C｝（C_1\otimes_｛\mathcal｛D｝｝C_2，\，C）\楔子X（c_1）\楔子\重叠{（d1，d2）}{\int}\数学{C}（d_1\otimes_{mathcal{C}}d_2，c2）（Y（d_2）\楔形Z（d_ 2））\\&\simeq\覆盖{c1，d1，d2}{\int}\底集{\simeq\mathcal{C}（c1\otimes_{\mathcal{C}}d_1\otimes_{\ mathcal}}d_2，C）}{\下撑杆{\覆盖{c2}{\int}\数学{C}（c1\otimes_{\mathcal{D}}c2，C）\楔子\数学{C}（d_1\otimes_{mathcal{C}}d_2，c2）}}\楔X（c_1）\楔（Y（d_1）\楔Z（d_2））\\&\西马克\重叠{c1，d1，d2}{\int}\数学{C}（c1\otimes_{mathcal{C}}d_1\otimes_{mathcal{C}}d_2，C）\楔子X（c_1）\楔（Y（d_1）\楔Z（d_2））\结束{对齐}\,,

我们在那里使用富比尼定理对于辅数（道具。)然后加倍co-Yoneda引理（道具。). 下面是一个类似的公式 $X\otimes_{Day}（Y\otimess_{Day}Z））（c）$ ，因此关联性通过属性跟随。从的关联性破碎积张量积的和 $\奥蒂梅斯{\mathcal{C}}$ .

看看这个 $y（1）$ 是张量单位 $\奥蒂梅斯{天}$ ，使用福比尼定理对于辅数（道具。)然后加倍co-Yoneda引理（道具。)为了任何 $X\in[\mathcal{C}，顶部^{ast/}_{cg}]$ 那个

\开始{对齐}X\otimes_{Day}y（1）& =\重叠{c1，c2\in\mathcal{c}}{\int}\数学{C}（c1\otimes_{\mathcal{D}}c2，-）\楔子X（c1）\wedget\mathcal{c}（1，c2）\\&\simeq（模拟）\覆盖{c1\in\mathcal{c}}{\int}X（c_1）\楔子\覆盖{c2\in\mathcal{c}}{\int}\数学{C}（c1\otimes_{\mathcal{C}}c2，-）\楔形物\数学{C}（1，C_2）\\&\simeq（模拟）\覆盖{c1\in\mathcal{c}}{\int}X（c_1）\楔子\数学{C}（c1\otimes_{\mathcal{C}}1，-）\\&\simeq（模拟）\超集｛c_1\in\mathcal｛c｝｝｛\int｝X（c_1）\楔子\数学{C}（C_1，-）\\&\simeq（模拟）X（-）\\&\simeq（模拟）X（X）\结束{对齐}\,.

提议

对于 $\数学{C}$ 一小的指出拓扑单体范畴（定义。)带有张量积表示 $\奥蒂梅斯{\mathcal{C}}\；\冒号\；\mathcal{C}\times\mathcal}\to\mathcal{C}$ ，的单体范畴具有日卷积 $（[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]，\otimes_{Day}，y（1））$ 来自定义。是一个闭单体范畴（定义。). 它内部hom $[-，-]_{天}$ 由结束（定义。)

[X，Y]_{天}（c）\西马克\下划线{c1，c2}{\int}地图\左（\数学{C}（C\otimes_{mathcal{C}}c1，c2），\;映射（X（c_1），Y（c_2））_\ast\右）_\ast\,.

证明

使用富比尼定理（定义。)和co-Yoneda引理（定义。)并考虑到定义的富足函子范畴，有以下顺序自然同构:

\开始{对齐}[\mathcal{C}，V]（X，[Y，Z]_{Day}）&\simeq（模拟）\下划线{c}{\int}地图\左侧(X（c），\底部｛c_1，c_2｝｛\int｝地图\左（\数学{C}（C\otimes_{mathcal{C}}c1，c2），映射（Y（c_1），Z（c_2））_\ast\右）_\ast\右）_\ast\\&\西马克\下划线{c}{\int}\底部｛c_1，c_2｝｛\int｝地图\左侧(\数学{C}（C\otimes_{mathcal{C}}c1，c2）\楔子X（c）\楔子Y（c_1）,\;Z（c_2）\右）_\ast\\&\simeq（模拟）\下划线{c2}{\int}地图\左侧(\覆盖{c，c1}{\int}\数学{C}（C\otimes_{mathcal{C}}c1，c2）\楔子X（c）\楔子Y（c_1）,\;Z（c_2）\右）_\ast\\&\西马克\底部｛c_2｝｛\int｝地图\左侧(（X\otimes_{Day}Y）（c_2），Z（c_2）\右）_\ast\\&\西马克[\mathcal{C}，V]（X\otimes_{Day}Y，Z）\结束{对齐}\,.

提议

在定义的情况下。，的Yoneda嵌入 $c\mapsto\mathcal{c}（c，-）$ 构成强单体函子

（\mathcal{C}，\otimes_{\mathcal{C}}，I）\hookrightarrow（[\mathca{C}，V]，\otimes_{Day}，y（I））\,.

证明

That the张量单位受到尊重是道具的一部分。。要看到这一点张量积受到尊重，应用co-Yoneda引理（支柱)两次得到以下自然同构

\开始{对齐}（y（c_1）\otimes_{天}y（c_2））（c）&\西马克\重叠{d1，d2}{\int}\数学{C}（d_1\otimes_{mathcal{C}}d_2，C）\楔子\数学{C}（c1，d_1）\楔子\数学{C}（c2，d_2）\\&\simeq\mathcal{C}（c1\otimes_{\mathcal{C}}c2，C）\\& =y（c1\otimes_{\mathcal{c}}c2）（c）\结束{对齐}\,.

带粉碎产品的Functor

定义

让 $（\mathcal{C}，\otimes_{\mathcal{C}}，1_{\mathcal{C{}}）$ 和 $（\mathcal{D}，\otimes_{mathcal}，1_{mathcal{D}}）$ 是两个（尖的）拓扑丰富单体范畴（定义。). 拓扑丰富lax单体函子他们之间是

一拓扑富集函子

$F\；\冒号\；\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal（数学）{D}\,,$
同态

$\ε\；\冒号\；1_{mathcal{D}}\右箭头F（1_{mathcal{C}}）$
一自然转化

$\mu{x，y}\;\冒号\；F（x）\otimes_{\mathcal{D}}F（y）\长向右箭头F（x\otimes_{\mathcal{C}}y）$

为所有人 $x、 y\in\mathcal{C}$

满足以下条件：

(结合性)对于所有对象 $x、 y，z\in\mathcal{C}$ 以下内容图表通勤

$\阵列{（F（x）\otimes_｛\mathcal｛D｝｝F（y））\otimes_｛\mathcal｛D｝｝F（z）&\下覆集{\simeq}{a^{mathcal{D}}{F（x），F（y），F（z）}}{longrightarrow}&F（x）\otimes_{\mathcal{D}}（F（y）\otimes_{\ mathcal}}F（z））\\{}^{\mathllap{\mu_{x，y}\otimes-id}}\向下箭头&& \向下箭头^{\mathrlap{id\otimes\mu_{y，z}}}\\F（x\otimes_{\mathcal{C}}y）\otimess_{\mathcal{D}}F（z）&&F（x）\otimes_{\mathcal{D}}（F（x\otimess_{\mathcal{C}}y））\\向下箭头&& \向下箭头^{\mathrlap{\mu_{x，y\otimes_{\mathcal{C}}z}}}\\F（（x\otimes_{\mathcal{C}}y）\otimess_{\mathcal{C}}z）&\underset{F（a^{mathcal{C}}_{x，y，z}）}{\longrightarrow}&F（x\otimes_{\mathcal{C}}（y\otimess_{\mathcal{C}}z）}\,,$

哪里 $^{\mathcal{C}}$ 和 $^{\mathcal{D}}$ 表示协会会员单体范畴；
(统一性)对于所有人 $x\in\mathcal{C}$ 以下内容图表通勤

$\阵列{1_{mathcal{D}}\otimes_{mathcal{D}{F（x）&\覆盖{\epsilon\otimes id}{\longrightarrow}&F（1_{mathcal{C}}）\otimes_{mathcal{D}}F（x）\\{}^{\mathllap{\ell^{\mathcal{D}}_{F（x）}}}\向下箭头&& \向下箭头^{\mathrlap{\mu_{1_{\mathcal{C}}，x}}}\\F（x）&\超集｛F（\ell^｛\mathcal｛C｝｝_x）｝｛\langleftarrow｝&F（1\otimes_{mathcal{C}}x）}$

和

$\阵列{F（x）\otimes_{\mathcal{D}}1_{\mathcal{D{}}&\覆盖{id\otimes\epsilon}{\longrightarrow}&F（x）\otimes_{\mathcal{D}}F（1_{\mathcal{C}}）\\{}^{\mathllap{r^{\mathcal{D}}_{F（x）}}}\向下箭头&& \向下箭头^{\mathrlap{\mu_{x，1_{\mathcal{C}}}}\\F（x）&\重叠{F（r^{\mathcal{C}}_x）}{\longleftarrow}&F（x\otimes_{\mathcal{C}}1）}\,,$

哪里 $\ell^{mathcal{C}}$ , $\ell ^｛\mathcal｛D｝｝$ , $r^{\mathcal{C}}$ , $r^{\mathcal{D}}$ 表示左边和右边单位分别属于两个单体范畴。

如果 $\ε$ 以及所有 $\mu{x，y}$ 是同构，然后 $F类$ 称为强单体函子.

如果此外 $（\mathcal{C}，\otimes_{\mathcal{C}}，1_{\mathcal{C{}}）$ 和 $（\mathcal{D}，\otimes_{mathcal}，1_{mathcal{D}}）$ 具有以下结构编织单体类（定义。)，然后是lax单体函子 $F类$ 称为编织单体函子如果另外还有以下内容图表通勤对于所有对象 $x、 y\in\mathcal{C}$

\阵列{F（x）\otimes_{\mathcal{C}}F（y）&\重叠{\tau^{mathcal{D}}_{F（x），F（y）}}{\longrightarrow}&F（y）\otimes_{\mathcal{D}}F（x）\\{}^{\mathllap{\mu_{x，y}}\向下箭头&& \向下箭头^{\mathrlap{\mu_{y，x}}}\\F（x\otimes_{\mathcal{C}}y）&\底部｛F（\tau^｛\mathcal｛C｝｝_｛x，y｝）｝｛\longrightarrow｝&F（y\otimes_{\mathcal{C}}x）}\,.

A类同态 $f \；\冒号\；（F_1，\mu_1，\ epsilon_1）\右箭头（F_2，\mu_2，\epsilon_2）$ 在两个（编织）lax单体函子之间是一个单体自然变换，因为它是

一自然转化 $f_x\；\冒号\；F_1（x）\向右长箭头F_2（x）$ 基本函子的

在以下方面与产品和装置兼容图表通勤对于所有对象 $x、 y\in\mathcal{C}$ :

\阵列{F_1（x）\otimes_{\mathcal{D}}&\重叠{f（x）\otimes_{\mathcal{D}}f（y）}{\longrightarrow}&F_2（x）\otimes_{\mathcal{D}}F_2（y）\\{}^{\mathllap{（\mu_1）_{x，y}}}\向下箭头&&\向下箭头^｛\mathrlap｛（\mu_2）_｛x，y｝｝｝｝｝\\F_1（x\otimes_{\mathcal{C}}y）&\underset{f（x\otimes_{\mathcal{C}}y）}{\longrightarrow}&F_2（x\otimes_{\mathcal{C}}y）}

和

\阵列{&&1_{\mathcal{D}}\\&{}^{\mathllap{\epsilon_1}}\swarrow&&\searrow^{\mathrlap{\ epsilon_2}}\\F_1（1_{\mathcal{C}}）&&\underset{f（1_{\mathcal{C}}）}{\longrightarrow}&&F_2（1_{mathcal{C}}）}\,.

我们写作 $MonFun（\mathcal{C}，\mathcal{D}）$ 对于结果类别单体范畴之间的lax单体函子 $\数学{C}$ 和 $\数学{D}$ ，类似地 $BraidMonFun（\mathcal{C}，\mathcal{D}）$ 对于介于编织单体类，以及 $SymMonFun（\mathcal{C}，\mathcal{D}）$ 对于介于对称单体范畴.

备注

在文献中，术语“单体函子”通常默认指def中的内容。称为强单体函子。但为了讨论具有粉碎积的函子在下面，必须承认lax单体函子的一般性。

如果 $（\mathcal{C}，\otimes_{\mathcal{C}}，1_{\mathcal{C{}}）$ 和 $（\mathcal{D}，\otimes_{mathcal}，1_{mathcal{D}}）$ 是对称单群范畴（定义。)然后是编织单体函子（def。)它们之间通常称为对称单体函子.

定义

让 $（\mathcal{C}，\otimes_{\mathcal{C}}，1_{\mathcal{C{}}）$ 和 $（\mathcal{D}，\otimes_{mathcal}，1_{mathcal{D}}）$ 是两个（尖的）拓扑富集的单体范畴（定义。)，并让 $F\；\冒号\；\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal（数学）{D}$ 成为拓扑丰富 lax单体函子他们之间，以及产品操作 $\亩$ .

然后是左边lax单体函子上的模是

一拓扑富集函子

$G\；\冒号\；\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal（数学）{D}\,;$
一自然转化

$\ρ{x，y}\;\冒号\；F（x）\otimes_{\mathcal{D}}G（y）\向右长箭头G（x\otimes_{\mathcal{C}}y）$

这样的话

（动作属性）对于所有对象 $x、 y，z\in\mathcal{C}$ 以下内容图表通勤

$\阵列{（F（x）\otimes_{\mathcal{D}}F（y））&\下覆集{\simeq}{a^{mathcal{D}}{F（x），F（y），F（z）}}{longrightarrow}&F（x）\otimes_{\mathcal{D}}（F（y）\otimes_{\ mathcal}}G（z））\\{}^{\mathllap{\mu_{x，y}\otimes-id}}\向下箭头&& \向下箭头^{\mathrlap{id\otimes\rho{y，z}}}\\F（x\otimes_{\mathcal{C}}y）\otimess_{\mathcal{D}}G（z）&&F（x）\otimes_{\mathcal{D}}（G（x\otimess_{\mathcal{C}}y））\\{}^{\mathllap{\rho{x\otimes_{\mathcal{C}}y，z}}}\向下箭头&& \向下箭头^{\mathrlap{\rho_{x，y\otimes_{\mathcal{C}}z}}}\\G（（x\otimes_{\mathcal{C}}y）&\底部｛F（a ^｛\mathcal｛C｝｝_｛x，y，z｝）｝｛\longrightarrow｝&G（x\otimes_{\mathcal{C}}（y\otimess_{\mathcal{C}}z）}\,,$

A类同态 $f \；\冒号\；（G_1，\rho_1）\右长箭头（G_2，\rho2）$ 单体函子上两个模之间 $（F，\mu，\epsilon）$ 是

一自然转化 $f_x\；\冒号\；G_1（x）\向右长箭头G_2（x）$ 基本函子的

与以下动作兼容图表通勤对于所有对象 $x、 y\in\mathcal{C}$ :

\阵列{F（x）\otimes_{\mathcal{D}}G_1（y）&\重叠{id\otimes_{\mathcal{D}}f（y）}{\longrightarrow}&F（x）\otimes_{\mathcal{D}}G_2（y）\\{}^{\mathllap{（\rho_1）{x，y}}}\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{（\rhi_2）{x，y}}}\\G_1（x\otimes_{\mathcal{C}}y）&\underset{f（x\otimes_{\mathcal{C}}y）}{\longrightarrow}&G_2（x\otimes_{\mathcal{C}}y）}

我们写作 $F型号$ 关于单体函子上模的结果范畴 $F类$ .

提议

让 $（\mathcal{C}，\otimes I）$ 尖锐拓扑富集范畴(对称单体范畴)单体范畴（定义。). 谨致问候 $（顶部{cg}^{ast/}，\楔形，S^0）$ 作为拓扑对称单体范畴如示例所示.

然后(可交换的)幺半群（定义。)的日卷积单体范畴 $（[\mathcal{C}，顶部^{ast/}_{cg}]，\otimes_{Day}，y（1_{mathcal}C}}））$ 道具的。相当于(编织的)lax单体函子（定义。)表单的

（\mathcal{C}，\otimes，I）\longrightarrow（上^{ast}_{cg}，\楔形，S^0）\,,

打电话具有粉碎积的函子在 $\数学{C}$ ，即有范畴的等价性表单的

\开始{对齐}周一（[\mathcal{C}，顶部^{ast/}_{cg}]，\otimes_{Day}，y（1_{mathcal}C}}）&\西马克MonFunc（\mathcal{C}，顶部^{ast/}_{cg}）\\CMon（[\mathcal{C}，顶部^{ast/}_{cg}]，\otimes_{Day}，y（1_{mathcal}C}}））&\西马克SymMonFunc（\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}）\结束{对齐}\,.

此外，模块对象在这些幺半群上，对象等价于相应的单体函子上的模.

这在(第70天，示例3.2.2). 它在中再次突出显示(MMSS 00，道具。22.1).

证明

根据定义，一个lax单体函子 $F\colon\mathcal{C}\到顶端^{ast/}_{cg}$ 是一个拓扑丰富的函子，具有点拓扑空间表单的

S^0\右箭头F（1_{\mathcal{C}}）

并配备有自然的形式的点拓扑空间的映射系统

F（c1）\楔形F（c2）\右箭头F（c1\otimes_{\mathcal{c}}c2）

为所有人 $c_1，c_2\in\mathcal｛c｝$ .

在米田引理（道具。)其中第一个等价于 $[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]$ 表单的

y（S^0）\向右长箭头F\,.

此外，在自然同构推论的其中的第二个等价于 $[\mathcal{C}，顶部^{\ast/}_{cg}]$ 表单的

F\otimes_{Day}F\右箭头F\,.

翻译def的条件。满足于lax单体函子通过这些识别，精确地给出了定义的条件。在上(可交换的)中的幺半群对象 $F类$ 在下面 $\奥蒂梅斯{天}$ .

类似于模块对象和单体函子上的模.

提议

让 $f \；\冒号\；\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal（数学）{D}$ 成为lax单调函子（定义。)在尖头之间拓扑丰富单体范畴（定义。). 然后是诱导函子

f^\ast（快速）\;\冒号\；[\mathcal{D}，顶部^{\ast/}_{cg}]\向右长箭头[\mathcal{C}，顶部{cg}^{ast}]

由提供 $（f^\ast X）（c）\coloneqq X（f（c））$ 保存幺半群在下面日卷积

上一次\;\冒号\；周一（[\mathcal{D}，顶部^{ast/}_{cg}]，\otimes_{Day}，y（1_{mathcal}D}}）\向右长箭头星期一（[\mathcal{C}，顶部{cg}^{ast}]，日期}，y（1_{mathcal}C}}）

此外，如果 $\数学{C}$ 和 $\数学{D}$ 是对称单体范畴（定义。)和 $（f）$ 是一个编织单体函子（定义。)，然后 $f^\ast（快速）$ 也保存交换幺半群

f^\ast（快速）\;\冒号\；CMon（[\mathcal{D}，Top^{ast/}_{cg}]，\otimes_{Day}，y（1_{mathcal{D}}））\向右长箭头CMon（[\mathcal{C}，Top_{cg}^{ast}]，\otimes_{Day}，y（1_{mathcal}C}}）\,.

证明

这是道具的直接推论。，因为两个（编织）lax单体函子的合成本身在规范上是一个（编织的）lax单体函子。

示例

对于激子

定义

写入

\iota{fin}\；\冒号\；顶部^{\ast/}_{cg，fin}\hookrightarrow顶部^{\tast/}_{cg}

对于完整子范畴属于指出紧生成拓扑空间(定义。)关于那些承认a结构的有限CW-复形（a）CW-复合体(定义。)带有有限数（共个单元格）。

我们说，点拓扑富足函子范畴（定义。)

Exc（顶部{cg}）\上校（coloneq）[顶部^｛\ast/｝_｛cg，fin｝，顶部^｛\ast/｝_｛cg｝]

是的类别预激函子.

写入

\马特布{宋体}_{例外}\上校（coloneq）y（秒^0）\上校（coloneq）顶部^{\ast/}_{cg，fin}（S^0，-）

对于共同代表函子通过0-球体这相当于包含 $\iota{fin}$ 自身：

\马特布{宋体}_{exc}=\iota{fin}\;\冒号\；K \映射到K\,.

我们称之为球形光谱作为预激函子。

通过道具。这个破碎积属于指出紧生成拓扑空间归纳a的结构关闭（定义。)对称单体范畴（定义。)

\左（Exc（顶部{cg}）,\;\楔形{日},\; \马特布{宋体}_{例外}\右侧）

具有

张量单位这个球面光谱 $\马特布{宋体}_{例外}$ ;
张量积这个日卷积 $\奥蒂梅斯{天}$ 来自定义。,

调用了谱的对称单体碰撞积对于前兴奋函子模型；
内部hom双重操作 $[-，-]_{天}$ 来自道具。,

称为测绘光谱预激函子的构造。

备注

以身作则这个球形光谱化身为预激函子 $\马特布{宋体}_{例外}$ （根据定义。)通常是中的交换幺半群预激函子的范畴（定义。)

此外，举例说明，的每个对象 $Exc（顶部{cg}）$ （定义。)通常是模块对象结束 $\马特布{宋体}_{例外}$ 因此，我们可以用重言式确定预激函子的类别模块类别球面光谱：

Exc（顶部_｛cg｝）\西马克\马特布{宋体}_{exc}模式\,.

我们现在考虑限制def的预激函子的域。.

定义

定义以下内容点拓扑丰富(定义。)对称单体范畴（定义。):

$顺序$ 是其对象为自然数它只有同一态射和零态射在这些对象上，因此hom空间是

$序号（n_1，n_2）=\左\{\阵列{S^0代表\；n1=n2\\\ast其他（&O）}\对。$

张量积是自然数的加法， $\奥蒂姆=+$ 、和张量单位为0。
$Sym公司$ 是标准的骨架的核心属于FinSet（FinSet）具有零态射相邻：其物体是有限集合 $\{1，\cdot，n\}$ 对于 $n\in\mathbb｛n｝$ ，全部非-零形态是自同构和自同构群属于 $\{1，\cdot，n\}$ 是对称群 $\西格玛_n$ ，因此hom空间以下是离散拓扑空间:

$符号（n_1，n_2）=\左\{\阵列{（\Sigma_{n_1}）_+&for\；n1=n2\\\ast其他（&O）}\对。$

张量积是不相交联合集合的张量单位是空集.
$奥尔思$ 以有限维实线性为对象内部产品空间 $（V，语言-，-\语言）$ 作为非零态射线性的等轴测的同构两者之间；因此自同构群对象的 $（V，语言-，-\语言）$ 是正交群 $O（V）$ ; 一元乘积是直接和在线性空间中，张量单位是0-向量空间；我们再次将其转换为 $顶部^{\ast/}$ -通过将基点连接到hom空间来丰富类别；

$口腔（V_1，V_2）\西马克\左\{\阵列{O（V_1）_+&用于\；dim（V_1）=dim（V2）\\\ast其他（&O）}\对。$

有一系列规范忠实的点拓扑子类别夹杂物

\阵列{顺序&\stackrel｛seq｝｛\hookrightarrow｝&Sym公司&\stackrel{sym}{\hookrightarrow}&奥尔思&\stackrel{orth}{\hookrightarrow}&顶部{cg，翅片}^{\ast/}\\n个&\地图到&\｛1，\cdots，n\｝&\地图到&\矩阵{R}^n&\地图到&序号\\&& && V（V）&\地图到&S^V公司}\,,

引入有限CW型的点紧生成拓扑空间的点拓扑范畴（def。).

在这里 $S^V公司$ 表示单点紧化属于 $V（V）$ .关于形态 $符号\冒号（\Sigma_n）_+\hookrightarrow（O（n））_+$ 是标准包含置换矩阵到正交的矩阵和 $orth\冒号O（V）_+\钩右箭头Aut（S^V）$ 已打开 $O（V）$ 这个拓扑子空间尖头夹杂物同胚 $S^V\到S^V$ 在成型过程中产生的单点紧化从线性等距 $V（V）$ (“表示球体”).

根据prop，考虑拓扑图类别的限制顺序。沿着上述夹杂物：

Exc（顶部{cg}）\重叠{orth^\ast}{\longrightarrow}[Orth，顶部^{\ast/}_{cg}]\覆盖{sym^\ast}{\longrightarrow}[Sym，顶部^{\ast/}_{cg}]\重叠｛seq^\ast｝｛\long-rightarrow｝[顺序，顶部^{\ast/}_{cg}]\,.

写入

\马特布{宋体}_{奥尔思}\coloneqq Orth^\ast\mathbb{宋体}_{例外}\,,\;\马特布{宋体}_{Sym}\coloneqq Sym^\ast\mathbb{宋体}_{北}\,,\;\马特布{宋体}_{Seq}\coloneqq Seq^\ast\mathbb{宋体}_{对称}

对于球形光谱（来自定义。)沿着这些包裹体。

备注

自 $\马特布{宋体}_{例外}$ 是张量单位尊重日卷积预激函子上的乘积，因此它在规范上是交换幺半群，通过道具。，所有这些受限球体光谱仍然幺半群然而，虽然 $奥斯特$ 和 $sym（对称）$ 是编织单体函子，函子 $序列$ 不是编织的，因此 $\马特布{宋体}_{北}$ 和 $\马特布{宋体}_{对称}$ 是交换幺半群，但是 $\马特布{宋体}_{顺序}$ 不是可交换的。

	$\mathbb{S}$	$\马特布{宋体}_{奥尔特}$	$\马特布｛S｝_{符号}$	$\马特布{宋体}_{顺序}$
幺半群	对	对	对	对
交换幺半群	对	对	对	不
张量单位	对	不	不	不

因此，我们可以考虑模块对象超过的限制这个球形光谱来自定义。.

提议

这个模块类别（定义。)超过 $\马特布{宋体}_{奥尔特}$ , $\mathbb公司{宋体}_{符号}$ 和 $\马特布{宋体}_{顺序}$ （定义。)是相等的分别为正交光谱,对称谱和顺序光谱（英寸紧生成拓扑空间):

\马特布{宋体}_{Orth}Mod\simeq OrthSpec（顶级{cg}）

\mathbb公司{宋体}_{Sym}Mod\simeq SymSpec（顶级{cg}）

\马特布{宋体}_{Seq}Mod\simeq SeqSpec（顶级{cg}）\,.

证明

写入 $\马特布{宋体}_｛直径｝$ 对于三个幺半群中的任何一个。通过道具。，左侧模块相对于日卷积是等价的单体函子上的模在对应于的单体函子上 $\马特布{宋体}_{直径}$ 。这意味着 $\马特布{宋体}_{符号}$ 和 $\马特布{宋体}_{顺序}$ 它们是函子 $X\colon Sym\longrightarrow设置^{\ast/}$ 或 $X\colon Seq\longrightarrow s设置^{\ast/}$ ，分别配备自然变换

S^1\楔形X_p\长右箭头X_｛p+q｝

满足证据分类的行动属性。在本例中，这个动作属性表示这些形态由

S^1\楔形X_p\长右箭头X_｛p+1｝

在同构下 $S^p\simeq S^1\楔形S^{p-1}$ .所有这些态射作为函子的自然性 $Sym公司$ 是定义中对称群作用下的等方差对称谱.

类似地，模块超过 $\马特布{宋体}_｛奥尔特｝$ 是等价函子

S^W\楔形X_V\右长箭头X_{V\oplus W}

等，它们的功能体现了正交群-定义中的等方差正交光谱.

对于正交光谱

考虑不完全包含拓扑丰富的类别

Orth\hookrightarrow顶部^{\ast/}_{cg，fin}

关于标准n个球体 $S^n\coloneqq（S^1）^{楔形^n}$ ，使用hom空间由正交群具有基点伴随，作用于这些球体作为其规范表示球体

奥尔特（S^{n_1}，S^{n_2}）\上校（coloneq）\左\{\阵列{O（n_1）_+&if\；n1=n2\\\ast其他（&O）}\对。\,.

将奥尔思视为单体范畴具有单体结构诱导形式 $（顶部^｛\ast/｝_｛cg｝，\wedge，S^0）$ （通过示例)在限制条件下。这使得包含编织的单体函子.

限制标准预激模型 $y（S^0）$ 的球形光谱产量 $\马特布{宋体}_{北}$ 由于限制是一个单调函子，并且由于 $y（S^0）$ 是张量单位，因此规范上是幺半群，prop。这么说 $\马特布{宋体}_｛沃斯｝$ 仍然是关于Day卷积的交换幺半群：

CMon（[Top^{\ast/}_{cg，fin}，Top^}\ast/{cg}]，\otimes_{Day}，y（S^0））\向右长箭头CMon（[Orth，顶部^{\ast/}_{cg}]，\otimes_{Day}，y（S^0））

（\mathbb{宋体}_{exc}，\mu=id，e=id）\mapsto（\mathbb{宋体}_{orth}，\mu，e）\,.

的类别正交光谱是的类别 $\马特布{宋体}_{北}$ -模块（定义。):

\开始{对齐}OrthSpec（顶级{cg}）&=\马特布{宋体}_{orth}模式（[顶端^{\ast/}_{cg，鳍}，顶端^{\st/}_{gg}]）\结束{对齐}\,,

自 $\马特布{宋体}_{北}$ 是一个交换幺半群，prop。说有一个对称单体范畴结构 $\奥蒂梅斯{宋体}_｛orth｝｝$ 在 $OrthSpec（顶级{cg}）$ 。这是谱的对称单体碰撞积用于正交光谱。

一个正交的环形谱 $E类$ 是关于的幺半群 $\奥蒂梅斯{\mathbb{宋体}_{北}}$ ，因此是 $\马特布{宋体}_{北}$ -代数（定义。). 通过道具。，例如 $E类$ 等价于关于的幺半群 $\日期_｛天｝$ 并具有幺半同态 $\马特布{宋体}_{orth}\右箭头E$ 最后，通过道具。这相当于一个具有粉碎积的函子

电子\；\冒号\；Orth\longrightarrow顶部^{\ast/}_{cg}

配备了具有smash乘积的函子的自然变换

\马特布{宋体}_{orth}\右箭头E\,.

在术语中MMSS 00，定义22.5这是一个“ $奥尔思$ -FSP结束 $\马特布{宋体}_{奥尔特}$ ”.

对称光谱

进一步限制非完全包含

Sym\hookrightarrow Orth\hook右箭头顶端^{\ast/}_{cg，fin}\,,

哪里 $Sym公司$ 具有相同的对象，但hom空间现在只是对称群（带基点伴随）

\Sigma_n\挂钩箭头O（n）\,.

然后继续进行正交光谱。

对于顺序光谱（非样品）

进一步限制

Seq\hookrightarrow Sym\hookrightarrow-Orth\hook右箭头顶端^{\ast/}_{cg}\,,

哪里 $顺序$ 仍然有相同的对象 $n个$ -球体，但没有非平凡态射（只有同一态射和零态射）。

现在加入 $顺序\右上箭头^{\ast/}_{cg}$ 不再是编织单体函子，用于编织 $顺序$ 在打开时是微不足道的 $顶部^{\ast/}_{cg}$ 事实并非如此。因此，第二个条款的假设。有高架桥。

的确，限制 $\mathbb{S}$ 沿着这个包含产生标准序列球形光谱 $\马特布{宋体}_{序列}$ 它仍然是关于Day卷积的幺半群，但不再是交换幺半群（参见谱的粉碎积&分级交换性)也就是说，道具的假设。违反了。

这个 $\马特布{宋体}_{序列}$ -模块对象（定义。)相当于顺序光谱.

但是自从 $\马特布{宋体}_{序列}$ 不是一个交换的monoid，prop的假设。上没有诱导张量积 $\马特布{宋体}_{seq}修改$ 故事就此结束。

示例

这个环形谱-上的结构托姆谱自然以FSP形式出现，参见Thom光谱–特性–环形光谱结构.

参考

概念被引入（之前谱的对称碰撞积已找到）

马塞尔·博克斯特德,拓扑Hochschild同调《预印本》，比勒费尔德，1986年

仅限于“在球体上定义的FSP”球体，它们被视为

拉尔斯·赫塞尔霍尔特,易卜·马德森，第1.7页，共页完美域上Witt向量上有限代数的K-理论(K理论).

并在那里确定为对称谱如前所述石杰飞.

在激子的模型结构该概念于年恢复

利达基斯，单函子与稳定同伦理论预印本，可通过霍普夫档案馆获得，1998年(pdf格式)

在模型中连接谱通过伽马射线空间在里面

利达基斯，粉碎产品和 $\伽马射线$ -空格，数学。程序。凸轮。Phil.Soc.126（1999），311-328(pdf格式)

系统帐户在

迈克尔·曼德尔,彼得·梅,斯特凡·施威德,布鲁克·希普利，第III部分图谱的模型类别《伦敦数学学会学报》第82卷第2期，2000年(pdf格式,出版商)

基于中的讨论

安东尼·埃尔门多夫,伊戈尔·克里茨,迈克尔·曼德尔,彼得·梅,稳定同伦理论中的环、模和代数1997 (pdf格式)

上次修订时间：2023年4月17日10:36:15。请参阅历史获取所有贡献的列表。

n实验室具有粉碎积的函子

上下文

稳定同伦理论

成分

目录

高等代数

代数理论

代数和模

高等代数

模型类别演示

代数形式对偶上的几何

定理

目录

想法

概述

对于高度结构化的光谱

对于激子

成分

拓扑端点和系数

定义

例子

定义

例子

证明

定义

提议

提议

证明

备注

提议

证明

备注

提议

证明

单体拓扑范畴

定义

引理

定义

定义

定义

例子

例子

例子

代数和模

定义

例子

定义

例子

提议

证明

定义

提议

定义

道具

证明

日卷积

定义

例子

定义

提议

证明

推论

提议

证明

提议

证明

提议

证明

带粉碎产品的Functor

定义

备注

定义

提议

证明

提议

证明

示例

对于激子

定义

备注