Functor类别

定义

鉴于类别 $C$和$D类$，的函子范畴–书面$D^C公司$或$[中、日]$–是否属于

• 班属于物体是所有仿函数 $F\冒号C\至D$

• 态射是自然变换在这些函子之间。

同伦类型理论

中的讨论同伦型理论.

注：HoTT手册调用HoTT中的内部类别a“前类别”和a单价范畴一个“类别”，但这里我们将分别指“类别”和“单价类别”的标准术语。

对于类别 $A、 B类$，有一个类别 $B^A公司$，调用了函子范畴，由定义

• $（B^A）_0$是的类型仿函数从$A类$到$B类$.
• $hom_{B^A}（F，G）$是的类型自然变换从$F类$到$G公司$.

证明。我们定义$（1_F）_a\等于1_{F a}$自然性遵循类别。对于$\γ：F到G$和$\增量：G到H$，我们定义$（\delta\circ\gamma）_a\equiv\delta_a\circ\ gamma_a$自然性之后是联想性。类似地$B^A公司$追随那些$B类$.$\正方形$

我们定义了一个自然同构成为一名同构在里面$B^A公司$.

用法

Functor类别充当家庭类别在中严格2类 猫.

在以下背景下丰富范畴理论函子范畴被推广到富足函子范畴.

如果没有选择公理（包括许多内部的情况），使用的适当概念通常是算符范畴.

属性

极限、结肠炎和闭合

如果$D类$有限制或结肠炎一定形状的，那么$[中、日]$它们是逐点计算的。（但是，如果$D类$不完整，则中的其他限制$[中、日]$可以“偶然地”存在，而不是有意义的。）

如果$C$很小而且$D类$是笛卡尔闭合和完成，然后$[C，D]$笛卡尔闭合。请参阅笛卡尔闭范畴作为证据。

可访问性和本地可呈现性

仿真器类别具有以下可访问性和本地可呈现性属性，如下所述甄琳低在n论坛.

• $\卡帕$-可及函子来自$\卡帕$-可访问类别到任何可访问类别形成一个可访问类别。（这里的可访问性排名不太容易说出。）

• $\卡帕$-可访问函子$\卡帕$-可访问的类别$\λ$-可呈现类别在本地形成$\λ$-可呈现类别。

• 之间的共连续函子本地可呈现类别形成一个本地可呈现的类别。更准确地说，如果$C$和$D类$是本地的$\卡帕$-像样的，那么也是$[中、日]$.

• 局部可表示范畴之间的连续可访问函子形成了局部可表示的范畴的反义词。更准确地说，如果$C$和$D类$是本地的$\卡帕$-体面，那也是$[C，D]^{\rm操作}$.

事实上，关键是：给定一个$\卡帕$-可访问类别 $\mathcal{C}\simeq Ind^\kappa（\mathcal}）$($\数学{A}$基本上很小），属于$\卡帕$-可及函子$\数学｛C｝\到\数学｛D｝$（用于任意$\数学{D}$; 此处由“$\卡帕$-易得的“我们只是指”蜜饯$\卡帕$-过滤性结肠炎”）自然等同于$\mathcal{A}\到\ mathcal{D}$。众所周知：

1. 如果$\数学{D}$是可以访问的，那么也是$[\mathcal{A}，\mathcal{D}]$.

2. 如果$\数学{A}$是小的和$\数学{D}$是本地的$\λ$-可表示，然后也是函子范畴$[\mathcal{A}，\mathcal{D}]$在本地可以看到。

3. 局部外的Colimit保函子$\卡帕$-可呈现类别是$\卡帕$-可访问。

4. 局部之间的右伴随$\卡帕$-可呈现类别是$\卡帕$-当且仅当其左伴随强时可接近$\卡帕$-可接近（即保留$\卡帕$-可呈现的对象以及$\卡帕$-过滤性结肠炎）；并且局部可表示范畴之间的每一个保极限可访问函子都是右伴随。

报表2是Adámek&Rosick（1994），Cor.1.54语句3是显而易见的，语句4是一个简单的练习。

一般来说，由于大小问题，可访问类别之间的可访问函子不会形成可访问类别。最好的希望是类可达类别.让$\数学{C}$成为一个可访问的类别不基本上很小。考虑类别$\数学｛A｝$所有可访问函子的$\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$。这与的最小完整子类别相同$[\mathcal{C}，\mathbf{Set}]$包含所有可表示函子并在小结肠炎下闭合。特别地，$\数学｛A｝$仅当且仅当$\数学{A}$可在当地展示。我们声称$\数学{A}$无法访问。

的确，假设$\数学{A}$比如说，他有一个小家庭$\数学{G}$那么对于一些普通红衣主教来说$\卡帕$，的每个成员$\数学{G}$是$\卡帕$-可访问。所以考虑一下$\数学{C}（X，-）$对于某个对象$X（X）$那就是不 $\卡帕$-像样的。（这样一个$X（X）$存在是因为$\数学{C}$是不基本上很小。）自$\数学{G}$生成，有一个小图表$\卡帕$-colimit为的可访问函子$\数学{C}（X，-）$.但之后$\数学{C}（X，-）$是对$\卡帕$-可及函子，因此$\卡帕$-可理解的：矛盾。也就是说，$\数学{A}$是一个类可表示类别.

同伦类型理论

引理9.2.4

自然的转变$\γ：F到G$是中的同构$B^A公司$当且仅当每个$\γa$是中的同构$B类$.

证明。如果$\伽马射线$是一个同构，那么我们有$\增量：G到F$这是相反的。根据成分的定义$B^A公司$,$（δ\gamma）_a\equiv\delta_a\gamma_a$因此，$\德尔塔\伽马=1_F$和$\伽马\delta=1_G$暗示$\delta_a\gamma_a=1_{Fa}$和$\gamma_a\delta_a=1_{Ga}$，所以$\γa$是一种同构。

相反，假设每个$\γa$是一个同构，调用了反转$\增量a$。我们定义了自然转化 $\增量：G\到F$带组件$\增量a$; 对于自然公理，我们有

现在既然组成和身份自然变换取决于其组成部分，我们有$\γ\δ=1_G$和$\δ\gamma 1_F.\\平方$

定理9.2.5

如果$A类$是一个类别和$B类$是一个单价类别，然后$B^A公司$是一个单价类别.

证明。让$F、 G:A\至B$; 我们必须证明这一点$idtoiso:（{F}={G}）\ to（F\cong G）$是一个等效.

要给它一个反比，假设$\伽玛射线：F\cong G$是一个自然同构.那么对于任何$a： a类$，我们有一个同构 $\gamma_a:F a \cong G a$，因此是身份 $同位素（\gamma_a）：{Fa}={Ga}$.签署人函数可拓性，我们有一个身份 $\条{\gamma}:{F_0}=_{（A_0\到B_0）}{G_0}$.

现在，从函子是纯粹的命题，以表明这一点${F} ={G}$这足以证明任何$a、 b:答$、功能

当运输?沿着$\巴\gamma$.通过计算函数可拓性，应用于时$一$,$\巴\gamma$变为等于$同位素（γa）$.

但通过[包括我]，运输 $F F：hom_B（F a，F B）$沿着$同位素（γa）$和$同位素（\gamma_b）$等于合成$\gamma_b\circ F F\circ\inv{（\gamma_a）}$，由于自然$\伽马射线$等于$G f公司$.

这就完成了函数的定义$（F\cong G）至（F=G）$。现在考虑复合材料

因为hom-sets是套，他们的身份类型是纯粹的命题，所以要显示这两个身份 $p、 q：F=G$是相等的，这足以表明$p={F_0}={G_0}}{q}$但在定义中$\巴\伽马$，如果$\伽马射线$都是这样的$伊多索（p）$，然后$\γa$等于$伊多索（pa）$（这很容易通过归纳证明$第页$). 因此，$同位素（γa）$等于$p_a（帕）$，依此类推函数可拓性我们会的${\bar\gamma}={p}$，这正是我们需要的。

最后，考虑复合材料

自身份以来自然变换可以对组件进行测试，这足以表明对于每个组件$一$我们有${idtoiso（\bar\gamma）_a}={\gamma_a}$。但如上所述，我们已经${idtoiso（\bar\gamma）_a}={idtoiso（（\bar\ gamma$，同时${（\bar\gamma）_a}={同位素（\gamma_a）}$通过计算函数可拓性.自$同位素$和$伊多索$是反转，我们有${idtoiso（\bar\gamma）_a}={\gamma_a}$根据需要。$\正方形$

尺寸问题

如果$C$和$D类$是小的，然后$[中、日]$也很小。

如果$C$很小而且$D类$是局部较小，然后$[C，D]$在当地仍然很小。

即使$C$和$D类$局部较小，如果$C$那么就不小了$[中、日]$通常不会是局部较小的。

与上述部分相反，如果$C$和$[C，设置]$那么是局部较小的$C$必须是基本上很小; 看见Freyd&Street（1995）.

相关概念

• 富足函子范畴

• 教授

• 2-函子2-范畴

• （无限，1）-函子的（无穷，1）范畴

• 单纯形映射复数

• 惯性广群

工具书类

查看大多数参考范畴理论，例如

• 桑德斯·麦克莱恩第II.4条：数学工作者的范畴，数学研究生课程5施普林格（1971年，第二版，1997年）[doi:10.1007/978-1-4757-4721-8]

讨论局部可呈现性:

• 阿达梅克,吉·罗西克，Cor.1.54英寸：本地可呈现和可访问的类别，伦敦数学学会演讲笔记系列189剑桥大学出版社（1994）[doi:10.1017/CBO9780511600579]