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想法

非正式地自由函子是一个左伴随到遗忘函子–属于自由遗忘附加词（这是非正式的，因为健忘函子非正式；任何函子可能被视为健忘的，所以任何左伴随词可能被视为自由，而实际上只有一些是自由的。）

形式上，关于单子或代数理论或操作的 $T型$、和$藻类（C）$对应的类别单子上的代数或代数理论上的代数或操作数上的代数分别在某些类别中$C类$，的自由的$T型$-代数函子是左伴随到健忘函子 $T算法（C）\到C$.

这样的函子可以被认为是发送任何对象属于$C类$到$T型$-代数自由生成的通过它。

自由对象

一般来说，如果$U： C至D$被认为是一个健忘的函子$F： D至C$那么是它的左伴随词$F（x）$是自由C对象在对象上$x$属于$天$.

一般来说，即使整个左伴随$F类$不存在，a自由物体在$x$可以使用通用属性定义为“$F（x）$如果$F类$存在。”相反，如果打开自由对象$x$存在于全部的 $x\单位：D$，然后是左伴随$F类$可以从中组装。

Cofree函子

双重，a余自由函子是一个右伴随给一个健忘的模仿者。

对于忘记代数结构的经典函子，余自由函子不如自由函子常见。

示例

传统上，自由结构的示例的特征是通用属性例如，在集合上的自由组的情况下$X（X）$通用属性表示任何地图$X至G$as集唯一地扩展到群同态$F（X）至G$当这样一个自由结构可以实现为左伴随函子时，这个普适性只是对以下事实的音译：单元的自由遗忘附加词是一个初始对象在中逗号类别 $（X\向下箭头U）$（其中$U型$是代数范畴之外的健忘函子吗，参见例如Freyd广义函子的证明伴随函子定理.)

对于自由函子

• 这个自由幺半群函子设置 $\至$ 周一;

• 这个自由模块函子设置 $\至$ $K（K）$ 国防部对于操纵 $K（K）$;

• 这个自由群函子设置 $\至$ 组;

• 这个组完成函子周一 $\至$ 组

  特别是在阿贝尔案件中：

  这个格罗森迪克小组完成函子C关于 $\至$ 抗体

• 这个自由阿贝尔群函子设置 $\至$ 抗体;

• 这个阿贝尔化函子组 $\至$ 抗体;

• 这个自由类别函子$Grph_{d，r}\到$ 猫;

• 这个自由操作的函子；

• 这个单位化函子尼泊尔卢比 $\至$ 戒指.

自由施工在 类别:

• 自由共完成,自由余积完成,幂等完备,柯西完井

自由函子的一种形式是左伴随 $抄送至C^T$，其中$T型$是一个单子上类别 $C类$和$C^T公司$是它的吗艾伦伯格-摩尔类别（以下类别$T型$-代数）。这包括上述所有示例和许多其他示例。

构造自由函子的一般方法是使用自由代数的超限构造（英寸集合理论的基础），或带有感应式或高电感型（英寸类型理论的基础）。

对于余自由函子

• 这个无余余余代数在向量空间上。一般来说，如果$M（M）$是一个操作的在对称单体范畴中$V（V）$,$道具（M）$其关联PROP公司，如果$C类$是一个单体$V（V）$-类别，然后是$M（M）$-中的余代数$C类$可以用一个单体来识别$V（V）$-函子$属性（M）^{op}\到C$.在适当的完整性假设下$C类$，健忘的函子$M（M）$-$煤_C\到C$有一个右伴随词，这个健忘的函子是共鸣曲的.

• 如果$M（M）$是一个幺半群，健忘函子$将^M设置为Set$上（左）$M（M）$-集合有右伴随$X\mapsto\hom（M，X）$，其中$M（M）$作用于函数$f： M至X$按照规定$（m f）（m’）=f（m’m）$这个健忘的模仿者是共鸣的。更一般地说，基本函子的右伴随$将^C\设置为Set/C_0$($C_0（0）$类别的对象集$C类$)是共鸣曲。更一般而言，如果$V（V）$是完整的，并且$f： C至D$是小范畴之间的函子，函子$V^f:V^D\到V^C$有一个正确的伴随词（尽管$伏^f$在这种情况下通常不会是共鸣的）。

• 健忘函子$分类设置$，将一个小类别作为它的对象集，有一个正确的伴随词$K（K）$为此$K X公司$是其对象是元素的类别$X（X）$在那里只有一个态射$x到y$对于任何$x、 y\在x中$.类别$K X公司$，这是一个广群，在上被称为混沌范畴$X（X）$或上的不明确类别$X（X）$.

• 什么时候？$U： C\设置$是拓扑具体范畴结束$设置$例如健忘函子$U： 要设置的顶部$，这种情况经常发生$U型$拥有一个正确的伴随，给一个集合赋值一个“不具体的拓扑”。

• 的戒指Witt向量是免费的吗Lambda环.

• 示例的丰富来源是共反射子范畴，在环境类别上是共鸣的。例如，紧生成空间的类别在所有空间的类别中都是互反射的，$顶部$.

相关概念

• 自由物体,通用属性