n实验室有限集合

一套是有限的，有限的（用于强调Bishop-finite公司或 $B类$ -有限的，有限的)如果（如上所述）允许双射具有 $[无]$ 对一些人来说自然数 $n个$ .
一套是亚限定（或 $\波浪线{B}$ -有限的，有限的)如果允许注射到某个有限集 $[无]$ ; 也就是说，它是一个子集有限集的。
一套是有限索引（或库拉托夫斯基有限, $K（K）$ -有限的，有限的甚至有时，令人困惑，亚限定)如果它允许灌水从某个有限集 $[无]$ ; 也就是说，它是一个商集合有限集合的。
一套是次有限索引（或Kuratowski-亚有限或 $\波浪线{K}$ -有限的，有限的)如果它允许来自子有限集的满射，或者等价地允许对有限索引集的注入；也就是说，它是一个子商集有限集的。
一套 $X（X）$ 是Dedekind-finite公司如果满足以下条件之一：
- 任何注射 $X\挂钩箭头X$ 必须是双射.
- 对于任何功能 $f\colon\mathbb{N}\到X$ 来自自然数，存在 $n、米$ 具有 $n\n米$ 这样的话 $f（n）=f（m）$ .
与前三个概念相反，Dedekind-finite无限集可以与共存排中律，尽管可数选择足以驱逐他们。上述两个版本的Dedekind-finiteness与排除中间层是等价的，但在结构上可能有所不同。此外，还有其他形式的德德金完整性，即使排除了中间，也会严格加强；看见此MO问题例如。

在构造数学中，人们通常对有限集感兴趣，尽管有限索引集有时也很有用，就像第二种意义上的Dedekind-finite集一样。

属性和关系

当然，我们有

\数组｛&&有限\；索引\\&\ne箭头&&\se箭头\\有限&&&次有限\；编入索引的\\&\se箭头&&\ne箭头\\&子定义（&S）}

此外：

有限集和亚有限集具有可判定的平等相反，任何补充的有限集的子集是有限的。
有限集在有限极限和共线下是闭合的。
具有可判定等式的有限索引集实际上必须是有限的。因为它是可判定等价关系的商，因此是有限集的协等式。特别是，一个集既是有限索引的，又是子有限的，它必须是有限的，即上述蕴涵的“可交换平方”也是一个“拉回”。
特别是，带有劈裂灌水从 $[无]$ 是有限的，因为它同时具有来自和注入 $[无]$ .
有限集总是投射的; 也就是说，“有限的选择公理“永远坚持。
然而，如果一个有限集 $2$ 元素（或任何集合，无论是否有限，至少 $2$ 不同元素）是选择，或者如果每个有限索引集（甚至任何 $2$ -索引集）是投影的，则逻辑必须是经典的（请参见排中律作为证明）。
有限集也是Dedekind-Finite（在任何意义上）。
如果已筛选类别方法承认每个Bishop-finite图的cocones，则集合是Bishop有限的，当它是有限呈现对象如果它是一个有限生成对象在集合中。

无无穷大的有限性

除了Dedekind-finity之外，上述所有定义仅在给定自然数集的情况下才有意义。然而，即使没有无穷大公理在里面集合论，因此在没有自然数对象基本上，您可以定义（对于给定的集合 $S公司$ )子集集合的概念 $S公司$ 这包括所有有限子集，通过要求它在适合于您想要的“有限”意义的归纳操作下被关闭；然后 $S公司$ 是有限的当且仅当它是所有此类集合的元素时。也就是说，对于任何集合 $S公司$ 我们定义了动力装置 $P（S）$ .

$K（S）$ 是的最小子集 $P（S）$ 包含空集并在操作下关闭 $A\映射到A\杯B$ 对于 $一$ 的子集 $S公司$ 和 $B类$ 一单子在里面 $S公司$ .然后 $S公司$ 是有限索引的iff $K（S）中的S$ 。请注意 $K（S）$ 也是免费的半格由生成 $S公司$ .
$\波浪线{K}（S）$ 是的最小子集 $P（S）$ 包含空集并在操作下关闭 $A\映射到A\杯B$ 对于 $一$ 的子集 $S公司$ 和 $B类$ 一subsingleton公司在里面 $S公司$ .然后 $S公司$ 是次有限索引iff $下划线{K}（S）$ .
$B（S）类$ 是的最小子集 $P（S）$ 包含空集并在操作下关闭 $A\映射到A\杯B$ 对于 $一$ 的子集 $S公司$ 和 $B类$ 单身汉 $S公司$ 不相交的从 $一$ .然后 $S公司$ 是有限iff $B（S）中的S$ .
$\波浪线{B}（S）$ 是的最小子集 $P（S）$ 包含空集并在操作下关闭 $A\映射到A\杯B$ 对于 $一$ 的子集 $S公司$ 和 $B类$ 位于 $S公司$ 与…分离 $一$ .然后 $S公司$ 是子定义iff $下划线{B}（S）$ .

此外，有限集是可判定子集因此可以使用可判定子集集 $2^S个$ 在有限集的定义中发电机组:

让 $B（S）类$ 表示的最小子集 $2分之一秒$ 包含空集并在操作下关闭 $A\映射到A\杯B$ 对于 $一$ 可判定子集 $S公司$ 和 $B类$ 单身汉 $S公司$ 不相交的从 $一$ 然后是一套 $S公司$ 是有限iff $B（S）中的S$ .

子定义、有限索引和子定义索引的定义如下：

一套是亚限定如果允许注射转化为某个有限集合。
如果集合允许灌水来自某个有限集。
如果一个集允许来自子定义集的满射，或者等价地允许对有限索引集的注入，则该集是次有限索引集。

在地形中

在拓扑中，上述所有有限性概念都有“外部”和“内部”两种版本，这取决于我们是“全局”解释它们的含义，还是在内部逻辑拓扑结构。请参阅有限对象.

有限集范畴的性质

这个类别 FinSet（FinSet）有限集的相等的到有限的布尔代数由动力装置-函子。请参阅FinSet–相反类别有关详细信息，请参阅石头的二元性了解更多信息。

作为方案查看

每个有限集都可以看作仿射格式。事实上，由于有限的，有限的仿射格式的余积 $规范R_i$ , $i=1，\ldots，n$ ，又是相似的， $规范（R_1\次\cdots\次R_n）$ ，给定一个有限集 $X（X）$ ，的副产品 $X（X）$ 码头方案的许多副本， $规格\mathbb{Z}$ ，是仿射方案 $规范（\mathbb{Z}^X）$ .

装备 $X（X）$ 用一个总订单，我们可以查看它（直到同构，即，双射)作为一组整数 $\左\{x_1，\ldot，x_n\right\}$ 。然后可以查看 $X（X）$ 作为多项式在一个变量中 $年$ 由提供 $\左\{y-x_1，\ldot，y-x_n\right\}$ ，或由所有这些的乘积给出的单个多项式。

因此，可以查看 $X（X）$ 作为仿射方案（over $规范（\mathbb{Z}）$ )作为交换环谱 $规范\左（\mathbb{Z}[y]/I\右）$ ，其中 $我$ 是由上述多项式生成的理想。自 $\mathbb{Z}[y]/I\simeq\mathbb}Z}^n$ ，这与上述描述一致，但另外让我们看到 $X（X）$ 作为一个闭合子模式仿射线的 $规范（\mathbb{Z}[y]）$ .

可以查看 $X（X）$ 作为任何其他基本方案的“常量方案” $Y（Y）$ 通过基本更改也就是说，通过规范投影同构 $Y\乘以X\到Y$ .

工具书类

原创文章：

C.库拉托夫斯基,集合最终概念，基金。数学。我（1920）第130-131页。(pdf格式)

另请参见：

维基百科，有限集合

中有限集概念的讨论构造数学:

Arnaud Spiwack公司,蒂埃里·科昆,构造有限？，单位：为米利安·安德烈斯·戈麦斯（Mirian Andrés Gómez）致敬，拉里奥哈大学（2010）217-230[ISBN:978-84-96487-50-5，inria-00503917公司]

中的形式化同伦型理论/数学的单价基础:

丹·弗鲁明,赫尔曼·杰弗斯,莱昂·冈德尔曼,尼尔斯·范德魏德,同构型理论中的有限集，英寸CPP 2018：第七届ACM SIGPLAN认证项目和证明国际会议记录(2018) 201–214 [doi:10.1145/3167085,pdf格式]

上次修订时间：2023年12月22日14:01:47。请参阅历史获取所有贡献的列表。