类别的等效性

想法

概念范畴的等价性是正确的吗范畴论“相同”的概念类别.

具体来说，两个类别之间的等价是一对仿函数他们之间反向彼此之间高达 自然同构函子的(逆函子).

这就像一个同构，但被削弱了，以适应这样一个事实，即类别的正确环境上下文本身不是一个1-类别，而是2类 猫所有类别的。因此，抽象地说，类别的等价只是2范畴中的等价专门用于猫.

如果处理了一些基本的细节，那么函子正好表现出范畴的等价性，如果两者都是基本上是满腹的和完全忠实。这在中是正确的古典数学如果选择公理假设。这在非古典主义中仍然是正确的，比如说内部类别，如果函子的概念被适当地修改（“算符“），或基本上是surpjective的概念被适当地修改（”分裂基本上是满溢的”).

从逻辑可以说是两个类别是相等的如果他们有相同的属性-尽管这只适用于（根据定义）遵守等效原则.

正如类别的等价性是同构属于套从集合到类别，因此该概念进一步推广到较高类别（参见示例。两个范畴的等价性,（∞，1）-范畴的等价性)并最终达到$\英菲$-类别.

定义

变体

我们讨论了类别等价定义的一些可能变体，每个变体都来自于不同的观点猫.

第一，同构，来自查看$猫$作为一个纯粹的1-类别; 它太强了，真的只对严格的类别.接下来，强等价性，来自查看$猫$作为一个严格2类; 它是给出的最常见的定义，并且只有当选择公理持有。下一个定义是，弱等价性，来自查看$猫$作为一个模型类别; 无论有没有选择，它都是正确的，并且定义起来和强等价一样简单。第四，贫血等效性，来自查看$猫$作为一个二分类这（没有选择公理）并不等同于严格$2$-定义强等价的范畴；它也总是正确的。

也可以用这样一种方式定义“类别”，即只能给出正确的定义，但这里我们使用类别的常用代数定义，函子、和自然同构.

同构

2严格的类别 $C类$和$D类$是同构的如果存在严格函子 $F\冒号C\至D$和$G\冒号D\到C$使得$F G公司$和$G F公司$每个都是平等的适当的恒等函子在这种情况下，我们这样说$F类$是一个同构从$C类$到$D类$（所以$G公司$是来自的同构$D类$到$C类$)然后给他们打电话$（F、G）$一个同构之间$C类$和$D类$.函子$G公司$被称为严格逆属于$F类$（所以$F类$是的严格逆$G公司$).

如果你想到$猫$作为（严格）范畴和函子的范畴，这是通常的概念同构在一个类别中。这是类别等价性的最明显的概念，也是第一个要考虑的概念，但就其目的而言，它实在太强大了范畴理论被放置。例如，以下是非同构类别的一些基本和重要等价项：

• 让$C类$属于点集，并让$D类$是集合的类别部分函数.函子$F： C至D$将一个点集作为非基点元素的子集，将一个指向函数作为这些元素上的导出部分函数（定义在那些未发送到基点的元素上）。请参阅中的“集合和部分函数的类别”一节部分函数对于这个等价性。

• 让$C类$是有限维的范畴向量空间超过a领域 $k个$，并让$D类$是对象所在的类别自然数和它的形态$n\至m$是$m\倍n$元素矩阵$k个$（相当于$C类$由特定向量空间跨越$k^n$). 特别注意这里$D类$是一个小类别，同时$C类$不是（虽然是基本上很小，相当于$D类$).

强等效性

2严格的类别 $C类$和$D类$是强等价如果存在严格函子$F\冒号C\至D$和$G\冒号D\到C$使得$F G公司$和$G F公司$每个都是自然同构的(同构的在相关的函子范畴)适当的恒等函子在这种情况下，我们这样说$F类$是一个强等价性从$C类$到$D类$（所以$G公司$是与$D类$到$C类$). 函子$G公司$称为弱逆属于$F类$（所以$F类$是的弱逆$G公司$).

注意，同构正是自然同构的强等价身份自然转换第条。

如果你想到$猫$作为严格2类（严格）范畴、函子和自然转化s、 那么这就是通常的概念等效在一个$2$-类别这是第一个要考虑的“正确”等价定义，也是今天最常见的定义；只有使用选择公理才是正确的。

弱等价性

两个类别$C类$和$D类$是弱等价如果存在类别$X（X）$和函子$F\冒号X\至D$和$G\冒号X\到C$是的基本上是满腹的和完全忠实在这种情况下，我们这样说$F类$是一个弱等价性从$X（X）$到$D类$（所以$G公司$是来自的弱等价$X（X）$到$C类$)然后打电话给跨度 $（X、F、G）$一弱等价性之间$C类$和$D类$（检查这样的跨距是否可以组成并不是一件小事，但可以。）

具有弱逆的严格函子必然本质上是满射的且完全忠实；反之则相当于选择公理。因此，任何强等价都成为弱等价，其中$X（X）$被认为是$C类$或$D类$（甚至对称建造$C类$和$D类$如果你这么想的话）；弱等价变成了强等价，使用选择公理来发现弱逆并进行交叉组合$X（X）$.

如果你想到$猫$作为范畴和函子的模型范畴典型模型结构，那么这就是通常的概念弱等价性在模型类别中。

无等效性

两个类别$C类$和$D类$是厌氧等价物如果存在算符 $F\冒号C\至D$和$G\冒号D\到C$使得$F G公司$和$G F公司$每一个都是同构的吗（在相关的算符范畴)适当的身份算符在这种情况下，我们这样说$F类$是一个厌氧性从$C类$到$D类$（所以$G公司$是来自$D类$到$C类$). 函子$G公司$被称为逆时针属于$F类$（所以$F类$是的逆运算$G公司$). 另请参阅内部范畴的弱等价.

任何严格函子都是无函子，因此任何强等价都是无等价。使用选择公理，任何反函子都是非自然同构的对于严格函子，任何无等价性都定义了一个强等价性。利用无函子的定义作为严格函子的适当跨度，弱等价定义了两个构成无等价的无函子；相反，厌氧等价中的任一函子都是弱等价的（作为跨度）。

如果你想到$猫$作为二分类类别、算符和非自然转化s、 那么这就是通常的概念等效在一个$2$-类别。在假设选择公理的情况下，将函子和强等价性的任何讨论转化为更一般的情况下对无函子和弱等价性的讨论是相当简单的。

我们也可以将$2$-类别$猫$根据$2$-类别$Str类别$严格范畴、严格函子和自然变换同伦理论.

完全忠实本质满射函子

最后，还有完全忠实和本质满射函子然而，虽然一般来说，这些值与所有数学基础中的等价值不同，但在某些限制条件下是相同的：

评论

请注意虚弱的反转与坚强的等效。术语并非完全不一致（与严格的个，而弱等效与坚强的但在不同的时间发展。前缀“ana‑”是最后开发的，并且完全一致。

如果你接受选择公理，那么你就不必担心不同类型的等价性（只要你不使用同构）。这不仅仅是一个问题基础然而，由于选择公理通常在内部上下文.

也可以使用地基（例如同伦型理论，一些其他形式的类型理论，或折叠)其中同构和强等价是不可能表述的。在这种情况下，通常会删除前缀“weak”和“ana‑”。在$n个$-实验室，我们更喜欢保持对基础的不可知论，但通常也会删除这些前缀，让读者在必要时插入它们。

伴随等价

任何等价都可以改进为伴随等价：自然同构满足三角形恒等式在这种情况下，$G公司$被称为这个 伴随逆属于$F类$（所以$F类$是的伴随逆$G公司$). 在$2$-类别$猫$，一个好的经验法则是可以考虑

• 带的函子财产成为一名一般的等效或
• 带的函子结构成为一名伴随的等价（即函子$G公司$和一对自然同构$F G\cong 1号机组$和$1\聪G F$满足三角形恒等式），

而考虑到

• 带的函子结构成为一名一般的等价（也就是说，仅仅是函子$G公司$和一对自然同构$F G \刚果1$和$1\聪G F$)

例如，伴随逆在唯一同构之前是唯一的（就像严格逆在等式之前是唯一），而弱逆或逆则不是。包含伴随等价也是完全构造高范畴结构的唯一方法代数的.

非伴随等价的一个例子

确定一个组$H（H）$用它去循环。可以检查以下内容：

• 任何等效性$F:H\左右箭头H:G$包含两个自同构的群$F、 G公司$，因此$F G公司$和$G F公司$都是内在的。单位和单位是组元素$g{\rho}$使得$GF（k）=g_{\rho}k g_{\ rho}^{-1}$和$g{\西格玛}$使得$FG（k）=g_{\西格玛}^{-1}k g_{\sigma}$对于任何$k\单位H$.

• 任何等效的$H（H）$它自己在哪里$F类$和$G公司$也是内在的是伴随等价。

• 如果$H（H）$具有平凡中心，则$H（H）$与自身是伴随等价。

• 为了获得非伴随等价，我们需要一个群$H（H）$具有非平凡中心和非平凡外自同构，因此我们可以选择两个其乘积为内的自同构。

• 所以接受$H=K$Klein 4组。这是阿贝尔群的一个乘积，所以阿贝尔，所以它的中心。事实上，它是$\mathbb{Z}/2\mathbb}Z}\times\mathbb2{Z}/2 \mathbb{Z}$，所以让我们$F=G$交换坐标的自同构。$FG=GF=\操作员名称｛id｝_{克}$由任意元素的共轭给出。

• 如果这是伴随的，那么$F类$将规定$F（g_{\rho}）=g_{\sigma}^{-1}$.我们可以选择$g{\rho}$和$g_｛\sigma｝$来打破这个。例如，让$g{\rho}$是$(1,1)$然后让$g{\西格玛}$是$(0,1)$.

这是一个特殊的情况，即给定一个非伴随等价，你总是可以用另一个单位（决定counit）替换它的单位，以将等价性改进为伴随等价.

在较高类别中

上述所有类型的等效对于$n个$-类别和$\英菲$-使用定义的类别高等范畴的代数定义; 同样，人们通常想要的是软弱的观念。当使用高等范畴的几何定义，通常同构甚至不能被写下来，所以等价性来得更自然。

特别是，人们期望（尽管证明取决于确切的定义，而且并不总是这样做）$（n+1）$-类别$n个$-类别，每等效（在某种意义上$（n+1）$-类别）基本上$k个$-满腹经纶的为所有人$0\le k\le n+1$; 这是$n个$-“完全、忠实、本质上是悲观”的说法。假设

• 我们有一个选择和使用弱（伪）的公理$n个$-仿函数，或
• 我们使用$n个$-算符?（自动变弱）。

如果我们使用太严格的概念$n个$-函子，那么我们就得不到正确的等价概念；如果我们用弱电$n个$-只有当选择公理成立时，我们才能得到正确的等价概念，尽管这也可以通过移动到跨度来纠正。请注意，即使是严格的$n个$-类别需要弱$n个$-函子，以获得它们之间等价的正确概念！

例如，假设选择严格2-函子介于严格$2$-类别在$比卡特$当且仅当它在对象上本质上（直到等价）是满射的，局部本质上是满射的，以及本地完全忠实。但是，其弱逆可能不是严格的 $2$-函子，即使它是函子，等价变换也不必严格$2$-自然。因此，它不必是严格三类 $Str 2类别$属于$2$-类别，严格$2$-函子和严格$2$-自然转换，甚至在半严格3类? $灰色$严格的$2$-类别，严格$2$-函子和伪自然变换。

与$猫$，我们可以恢复$比卡特$作为一个满的附属的三类属于$灰色$通过形式上颠倒所有这些弱等价。注意，即使有选择公理，$比卡特$是不（作为三个范畴）等价于$灰色$尽管根据三范畴的相干定理，它等价于一些 $灰色$-类别；看见在这里.

相关概念

• 平等,同构,等效

• 弱等价性,同伦等价,弱同伦等价

• 拓扑的同伦等价

• （∞，1）-范畴中的等价性

• 范畴的等价性,内部范畴的弱等价

• 伴随函子

• 两个范畴的等价性,2-附加

• （∞，1）-范畴的等价性,伴随（∞，1）函子