n实验室自同态

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范畴理论

单体理论

自同态幺半群是结束结构。让 $d： d至C$ 在中是一个图表 $C$ ，其中 $C$ 是一个单体范畴（在上述情况下，单体结构为笛卡尔乘积和 $d日$ 是来自初始类别的常数图）。一个定义 $结束（d）$ 作为中的对象 $C$ 配备了自然转换 $a：结束（d）\otimes d\ to d$ 这是一个普遍的概念 $Z\以C表示$ 以及任何自然变化 $f： Z \音符d\到d$ 存在唯一的态射 $g： Z\结束（d）$ 这样的 $a\circ（g\otimes d）=f:Z\otimesd\到d$ .

命题

如果通用对象 $（结束（d），a）$ 存在，则有一个独特的结构内部的幺半群 $\mu：结束（d）\totimes结束（d$ ，比如地图 $a：结束（d）\otimes d\ to d$ 是一个行动.

命题

在笛卡尔单体范畴 $C$ ，如果是自同态幺半群 $结束（c）$ 对于一个对象 $c： 1\至c$ 存在并且是可交换的，然后 $c（c）$ 是一个次终端对象.

证明

让 $k：至末尾（c）$ 对应于第一个投影 $\pi_1:c\次c\到c$ 然后是构图

c\times c\stackrel{k\times k}{\to}End（c）\times End（c）\stackrel{comp}{\to}End

（其中 $comp公司$ 表示内部成分）可计算为 $k\pi_1$ ，对应于第一个投影 $\pi_1:c\次c\次c:到c$ 因此，假设 $结束（c）$ 并让 $\西格玛$ 一般表示对称图，考虑图

\阵列{c\times c&\stackrel{k\times k}{\to}&End（c）\times End（c）&\stackerel{comp}{\to}&End（c）\\\数学圈{\sigma}\向下箭头&&\mathllap{\simma}\向下箭&&\downarrow\mathrlap{id}\\c\times c&\stackrel{k\times k}{\to}&End（c）\times End（c）&\stackerel{comp}{\to}&End（c）}

得出的结论是 $k\pi_1=k\pi1\sigma$ ，或 $\pi_1=\pi_2:c\次c\次c至c$ .我们很容易得出结论 $\pi_1=\pi_2:c\乘以c\到c$ ，这迫使平等 $f=克$ 对于任意两张地图 $f、 g:d\到c$ ，使唯一的地图 $!: 抄送至1$ 是一个单态性.

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