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定义

抽象定义

A类dg-代数，或微分分次代数，相当于

1. 安结合代数 $A类$这是另外一个分次代数和一个微分代数以兼容的方式（与有差别的 推导有学位的$\下午$1);

2. 一幺半群在中对称单体范畴的（可能无界）链状复合体或cochain复合体具有标准结构的单体范畴由链复合体的张量积;

对于链复合物的情况，我们也提到链代数.

对于cochain复合体，我们也提到cochain代数.

召回

• （co）链复合体上的标准张量积由下式给出

  $$（音符B）_n=\sum_{i+j=n}A_i\otimes B_j，$$

  带差速器$d_{A\otimes B}=d_A\otemes B+A\ otimes d_B$.

• 那是一个幺半群在一个单体范畴 $C$是一个对象$A类$在里面$C$与同态一起

  $$\cdot:A\注释A\至A$$

  这在明显的意义上是统一和关联的。

这意味着，更具体地说，dg代数是一个分次代数$A类$配备线性地图$d:A\至A$拥有

• $d\circ d=0$

• 对于$a \在a中$度的均匀性$k个$，元素$日期$具有学位$k+1（千分之一）$（对于cochain复合体中的幺半群）或$k-1号机组$（链复合体中的幺半群）

• 为所有人$a、 b\在a中$具有$一$k次齐次分级莱布尼茨规则持有

  $d（a \cdot b）=（d a）\cdot b+（-1）^k a \cdot（d b）$.

dg-代数形成了一个范畴，dGArg公司.

详细的组件定义

预粒度代数

A类预分级代数-（pre-ga）或$\矩阵{Z}$-分次代数是前gv，$A类$，以及满足以下条件的代数乘法$A_p.A_q\子条款A_{p+q}$对于任何$p、 q个$相关的语态是关于乘法的前gvs语态。这提供了一个类别$预GA$.

安增加前ga，$A类$，是同态$\varepsilon:A到k$. The增强理想属于$（A，\varepsilon）$是$克尔\varepsilon$也将表示$\条{A}$.这对$（A，\varepsilon）$被称为增强型前ga.

形态$f： （A，\varepsilon）到（A'，\varεsilon'）$增广预气体的是同态$f:A\至A'$（因此为零度）这样$\varepsilon=\varepsilen'f$。将写入结果类别$预\varepsilon GA$.

张量积

如果$A类$,$A’$那么是两种预加气体$注释A'$是一个带有

对于均质$a、 b\在a中$,$a'中的a'、b'$.

如果$\varepsilon，\varepsilon$是的增加$A类$和$A’$分别，然后$\varepsilon\otimes\varepsilen'$是对$注释A'$.

衍生产品

让$A类$成为ga.前（代数）推导学位$p\in\mathbb{Z}$是线性地图$\θ\Hom_p（A，A）$这样的话

对于均质$a、 b\在a中$.

推导$\θ$增广代数的，$（A，\varepsilon）$，是一个代数推导，它还满足$\varepsilon\theta=0$.

让$Der_p（A）$是度导数的向量空间$第页$属于$A类$，然后$Der（A）=\bigoplus_p Der_p（A）$是前gv。

注意：。

在较高级配的情况下$Der_p（A）$发送$A ^n（A ^n）$进入之内$阿^{n-p}$.

预-DGA

A类有差别的 $\部分$（增广的）pre-ga是-1次（增广）代数的派生，因此$\部分\循环\部分=0$.

这对$（A，部分）$称为预微分分次代数（前dga）。如果$A类$是增强的，那么$（A，部分）$将被称为增强前dga $前\varepsilon dga$.

如果$（A，部分）$和$（A'，\部分'）$那么是前dga$（A，\部分）\注释（A'，\部分'）$根据已经提到的惯例，也是其中之一。

前dgas（或pre）的形态-$\瓦雷普西隆$-dgas）是一种前gdv和前gas（带有$\瓦雷普西隆$以及（如果使用）。这给出了类别$DGA之前$和$预\varepsilon DGA$.

交换分次代数（CGA）

预科课程$A类$据说是分级交换的如果$ab=（-1）^{a|b|}ba$对于每对，$a、 b条$，共个元素$A类$均质程度。

张量积保持了交换性。

我们得到了明显的完整子类别$CDGA之前$和$前\varepsilon CDGA$对应于具有微分的情况。

CDGA

cdga是消极的分级前cdga（分级较高），$A=\ bigoplus_｛p\ geq 0｝A^p。$

当然，还有一个增强的变体。这些定义给出了类别$CDGA公司$等。

请参阅微分梯度交换代数.

$n个$-连通性

安$\瓦雷普西隆$cdga公司$（A、d）$是$n个$-已连接（分别为。上同调的$n个$-已连接如果$\条{A}^p=0$对于$价格$，（分别。$\上划线{H（A，d）}^p=0$对于$价格$). 这提供了子类别$CDGA编号$和$CDGA^{cn}$.

过滤

对前ga进行过滤，$A类$，是在过滤$A类$，所以$F_p A\子结构F_{p+1}A$,$F_p A.F_n A\子结构F_{p+n}A$（和，如果$A类$是微分的，也是$\部分F_p A\子结构F_p A$).

示例：字长过滤。

让$A类$是一个增强的pre-ga，表示为

迭代乘法。这个减少字长过滤,$财务报表A$由以下人员提供：

$Q（A）=\bar{A}/Im\bar{mu}$是不可分解空间第页，共页。

如果$（A，部分）$是增强的前dga，$财务报表A$在以下条件下稳定$\部分$然后我们得到$Q（部分）$差速器打开了吗$问题（A）$因此我们得到了一个函子$Q： pre \varepsilon DGA到pre DGVS。$

免费GA：$T（V）$张量代数

给定一个前gvs，$V（V）$，张量代数由$V（V）$由提供$T（V）=二义词$.

增强发送$V（V）$到0。$V^{\otimesn}$给出了张量积的分级，乘法由张量积给出。

免费CGA：$\大楔形V$

这是奇数元素上外部代数和偶数元素上对称代数的张量积：

它满足了$\bigwedge（V\oplus W）\cong（\bigweedge V）\oplus（\bigbwedge W）$.

如果$A类$是前cga，任何态射，$f:V\至A$，到潜在的gv前$A类$，对前cga形态有唯一的扩展$\条{f}:\大楔形V\到A$.

如果$I}中的（e_\alpha）_{\alpha\$是一个同质的基础$V（V）$,$\大楔形V$和$T（V）$可以写入$\大楔形（（e_\alpha）_{\alpha\inI}）$和$T（I}中的（e_\alpha）_{\alpha\）$分别是。

注：

• $T（V）$是非交换多项式代数，

• $\大楔形V型$是一个可交换多项式代数。

启用字长筛选$\大楔V$和$T（V）$.

打开$\大楔形V$（分别为。$T（V）$)写入

哪里$\大楔形^k V$是所有$v_1\楔形\ldots\楔形v_k$具有$v_1\以v表示$.然后$F^p\bigwedge V=\bigwidge^{\geq p}V=\ bigoplus_{k\geq p}\bigvedge^k V$，分别。$T^k（V）=V^{\otimes k}$和$F^p T（V）=T^{\geqp}（V）=\bigoplus_{k\geqp}T^k（V）$).

如果$（\bigwedge V，d）$是一个pre-cdga，它在固定的$V（V）$，然后$d日$是导数的总和$达克$由条件定义$d_k（V）\subseteq\bigwedge^k V$.两者之间存在同构$V（V）$和$Q（大楔形V）$，它标识$d_1日$具有$问（d）$.推导$d_1日$（分别为。$第2天$)被称为线性部分（分别为。二次部分)第页，共页$d日$.

CDGA的总和和乘积。

如果$（A、d）$和$（A'，d'）$是两个cdgas，他们的（分类）总和（即余积）是它们的张量积，$（A，d）\音符（A'，d'）$，而他们的产品是“直接总和”，$（A，d）\oplus（A'，d'）$.

Koszul公约

给定排列$\西格玛$分级对象的$（x_1，\ldot，x_p）$，的Koszul标志,$\varepsilon（\sigma）$由定义

在里面$\bigwedge（x_1，\ldots，x_p）$。我们注意到，尽管我们写$\varepsilon（\sigma）$,$\西格玛$不足以定义它，因为它还取决于各种$x指数$.

术语

Baues（在他关于代数同伦)建议使用该术语链代数对于正分次微分代数和cochain代数对于负等级的。这似乎是一个非常有用的约定。

dg-代数在dg-余代数上的扩充

给定一个dg-co代数$C$和dg-代数$B类$，线性映射的向量空间$C至B$使用上的余积承认dg-代数结构$C$和上的产品$B类$这个dg-代数被称为卷积代数属于$C$和$B类$并表示为$[中，乙]$.

结果函子

是双变量附加?，其其他伴随词为

（Sweedler产品）和

（斯威德勒之家）。

这三个函子合在一起，使对称单体范畴将dg-代数转换为富集类别超过闭对称单体范畴dg煤炭公司。

请参见阿内尔和乔亚尔了解更多信息。

相关概念

• 微分代数

模型类别结构

有一个标准模型类别上的结构$dGArg公司$。请参阅dg-代数的模型结构.

余单纯形代数

这个单体Dold-Kan对应有效识别非负等级链式复合体具有单形代数和非负分次代数的代数cochain复合体代数余复代数第条。

由于余复代数具有对偶的基本解释∞-空间，如所述∞-数量，这可以理解为解释微分分次代数在不同的上下文中发挥的巨大作用，例如在

• 有理同伦理论.

dg-代数

Dually，一个类胡萝卜素在里面链式复合体es是一个dg-代数.

同调平滑度

一个dga$A类$是同调光滑如果作为dg-bimodule$_A A_A$对于它本身，它具有有限生成的投影dg-bimodules的有界分辨率。

形式dg-代数

dg-代数$A类$是一个形式dg-代数如果存在态射

至其链（co）同源性（被视为具有平凡微分的dg代数）准同构.

弯曲dg-代数

• 弯曲dg-代数

工具书类

• 马修·阿内尔,安德烈·乔亚尔,（co）代数的Sweedler理论与棒-钴结构,pdf格式

光滑dg代数的扭曲张量积：

• 德米特里·奥尔洛夫.光滑DG代数与扭曲张量积，俄罗斯数学。调查，78（2023），5853–880。(arXiv:2305.19799).

• 德米特里·奥尔洛夫.扭曲张量积、光滑DG代数和奇异曲线的非交换分解(2024). (arXiv公司：2405.04738).