n实验室奇异同源性（变化）

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拓扑结构代数拓扑

代数的拓扑 (–应用属于点集较高的拓扑代数, 和无意义的较高的拓扑类别理论) 到这个学习属于(稳定的)同伦论

另请参见微分拓扑,代数拓扑,功能分析和拓扑 同伦论

介绍

基本概念

通用结构

额外的材料、结构、属性

示例

基本陈述

定理

分析定理

拓扑同伦理论

同调代数

同调代数

（同时非贝拉同调代数)

介绍

上下文

基本定义

稳定同伦理论概念

结构

引理

图形追踪

Schanuel引理

同调理论

定理

目录

想法

这个奇异同调的拓扑空间 X（X）X（X）是单纯形同调第个，共个奇异单形复形:

一单数的n个n个-链在X（X）X（X）是一个形式线性组合属于奇异单形 σ:Δ n个→X（X）\σ：Delta ^n到X和一个单数n个n个-周期是这样一条链条边界在里面X（X）X（X）消失了。两条奇异链是同源的如果它们之间存在边界差异。这个奇异同源性属于X（X）X（X）以度为单位n个n个是以下组n个n个-循环模数为那些边界。

拓扑空间与其共轭的奇异同调普通同源性更抽象地定义（参见广义同调理论).

（此处“单数”指与细胞同源性，指的是单工 Δ 顶部→X（X）\增量{top}\到X在中奇异单形复形不需要是拓扑嵌入，但可以是“单数映射”，例如常数函数.)

定义

让X（X）∈X\英寸 顶部是拓扑空间.写入唱歌X（X）∈唱X\ in sSet（设置）对于它奇异单形复形.

定义

对于n个∈ℕn\in\mathbb{n}，一个单数的n个n个-链条在X（X）X（X）是中的元素自由阿贝尔群 ℤ[(唱歌X（X）) n个]\mathbb{Z}[（Sing X）_n]:

一形式线性组合属于奇异单形在里面X（X）X（X）.

备注

这些是单纯形集上的链在唱歌X（X）唱X.

奇异链组组合为单纯阿贝尔群 ℤ[唱歌X（X）]∈抗体 Δ 操作\mathbb{Z}[Sing X]\在Ab^{Delta^{op}}中.

定义

这个交替人脸贴图复合体

C类 •(X（X）)≔C类 •(ℤ[唱歌X（X）])∈中国 •C_\项目符号（X）\上校（coloneq）C_\bullet（\mathbb{Z}[Sing X]）

是奇异复数属于X（X）X（X）.

它链同源性是普通的奇异同调属于X（X）X（X）.

一个人通常会写H（H） n个(X（X）,ℤ)H_n（X，\mathbb{Z}）或者只是H（H） n个(X（X）)H_n（X）对于的奇异同调X（X）X（X）以度为单位n个n个。另请参阅普通同源性.

备注

所以我们有

C类 •(X（X）)=[⋯→∂ 2ℤ[(唱歌X（X）) 2]→∂ 1ℤ[(唱歌X（X）) 1]→∂ 0ℤ[(唱歌X（X）) 0]]C_\项目符号（X）= [\光盘\stackrel{\partial2}{\to}\mathbb{Z}[（Sing X）_2]\stackrel{\partial_1}{\to}\mathbb{Z}[（Sing X）_1]\stackrel{\partial0}{\到}\mathbb{Z}[（唱X）_0]]

其中差异定义于基础元素σ∈(唱歌X（X）) n个\σ\ in（Sing X）_n通过

∂ n个σ=−∑ 我=0 n个(−1)d日 我σ\部分n \sigma= -\sum_｛i=0｝^n(-1)di\西格玛

（带有d日 我di（数字）这个我我 简单人脸图)然后线性扩展。

（可以更改全局标志并获得准同质的复合物，尤其是具有相同同源基团的复合物。）

备注

这意味着奇异链是一个周期如果面向的形式线性组合边界它的所有成分奇异单形总和为0。请参阅基本示例在下面

一般来说R（右）R（右）任何单位戒指人们可以逐步形成自由模块 R（右）[唱歌X（X）]R[唱X]结束R（右）R（右）.相应的同源性是中系数的奇异同调R（右）R（右），表示H（H） n个(X（X）,R（右）)H_n（X，R）.

定义

给定一个连续映射 （f）:X（X）→Y（Y）f:X\到Y拓扑空间之间，并且给定n个∈ℕn\in\mathbb{n}，每个单数n个n个-单工σ:Δ n个→X（X）\σ：Delta ^n到X在里面X（X）X（X）发送到单数n个n个-单工

（f） *σ:Δ n个→σX（X）→（f）Y（Y）f_*\sigma：增量^n\stackrel{\sigma}{\to}X\stackrel{f}{\to}Y

在里面Y（Y）Y（Y）。这称为向前推属于σ\西格玛沿着（f）（f）相应地，在奇异链组上有一个前推映射

(（f） *) n个:C类 n个(X（X）)→C类 n个(Y（Y）).（f_*）_n:C_n（X）到C_n\,.
提议

这些向前推的地图使所有的图表都成为这种形式

C类 n个+1(X（X）) →(（f） *) n个+1 C类 n个+1(Y（Y）) ↓ ∂ n个 X（X） ↓ ∂ n个 Y（Y） C类 n个(X（X）) →(（f） *) n个 C类 n个(Y（Y）)\阵列{C_{n+1}（X）&\stackrel{（f_*）_{n+1}}{to}&C_{n+1}（Y）\\\下箭头^{\mathrlap{\partial^X_n}}&&\downarrow^{\mathrlap}\partial ^Y_n}}\\C_n（X）&\stackrel{（f_*）_n}{\to}&C_n}

通勤。换句话说，向前推进（f）（f）构成链图

（f） *:C类 •(X（X）)→C类 •(Y（Y）).f_*：C_\bullet（X）至C_\bullet（Y）\,.
证明

事实上很明显，向前推会产生一个函子奇异单纯复形

（f） *:唱歌X（X）→唱歌Y（Y）.f_*：唱X到唱Y\,.

由此，声明如下：ℤ[−]:sSet（设置）→安息日\mathbb{Z}[-]：将\设置为Ab是一个函子。

因此，我们有：

提议

将拓扑空间发送到其奇异链复合体C类 •(X（X）)C_\项目符号（X），定义。2和一个连续映射到它的前推链映射prop。1，构成函子

C类 •(−,R（右）):顶部→中国 •(R（右）国防部)C_\bullet（-，R）：顶部\至Ch_\bullet（R Mod）

来自类别顶部到链状络合物范畴.

特别是对于每个n个∈ℕn\in\mathbb{n}奇异同调扩展到函子

H（H） n个(−,R（右）):顶部→R（右）国防部.H_n（-，R）：顶部至R Mod\,.

示例

基本示例

例子

让X（X）X（X）是一个拓扑空间。让σ 1:Δ 1→X（X）\西格玛^1:\Delta ^1\到X是奇异的1-单形，视为1-链

σ 1∈C类 1(X（X）).\C_1（X）中的σ^1\,.

然后是它边界 ∂σ∈H（H） 0(X（X）)\H_0（X）中的部分\sigma是

∂σ 1=σ(0)−σ(1)\部分\sigma^1=\sigma（0）-\sigma-（1）

或图形化（使用符号表示东方人)

∂(σ(0)→σσ(1))=(σ(0))−(σ(1)).\部分\左(\西格玛（0）\stackrel{\sigma}{\to}\sigma（1）\右侧）= （0）-（1）\,.

让σ 2:Δ 2→X（X）\σ^2:\δ^2\到X是一个奇异的2-链。边界是

∂( σ(1) σ(0,1)↗ ⇓ σ ↘ σ 1,2 σ(0) →σ(0,2) σ(2))=( σ(1) σ(0,1)↗ σ(0))−( σ(0) →σ(0,2) σ(2))+( σ(1) ↘ σ 1,2 σ(2)).\部分\左(\阵列{&&西格玛（1）\\&{}^{\mathllap{\sigma（0,1）}}\nearrow&\向下箭头^{\mathrlap{\sigma}}&\searrow^{\mathrlap{\sigma^{1,2}}}\\\西格玛（0）&&\underset{\sigma（0,2）}{\to}&&\sigma（2）}\右侧）= \左(\阵列{&&西格玛（1）\\&{}^{\mathllap{\sigma（0,1）}}\nearrow& & \\\西格玛（0）}\右侧）-\左(\阵列{&& \\& & & \\\西格玛（0）&\underset{\sigma（0,2）}{\to}&\sigma-（2）}\右侧）+\左(\阵列{&&西格玛（1）\\& & & \searrow^{\mathrlap{\sigma^{1,2}}}\\&&&&\西格玛（2）}\右侧）\,.

因此，边界的边界为

∂∂σ =∂(( σ(1) σ(0,1)↗ σ(0))−( σ(0) →σ(0,2) σ(2))+( σ(1) ↘ σ 1,2 σ(2))) =( σ(0))−( σ(1) )−( σ(0) )+( σ(2))+( σ(1) )−( σ(2)) =0\开始{对齐}\部分\部分\西格玛&= \部分\左(\左(\阵列{&&西格玛（1）\\&{}^{\mathllap{\sigma（0,1）}}\nearrow& & \\\西格玛（0）}\右侧）-\左(\阵列{&& \\& & & \\\西格玛（0）&\underset{\sigma（0,2）}{\to}&\sigma-（2）}\右侧）+\左(\阵列{&&西格玛（1）\\& & & \searrow^{\mathrlap{\sigma^{1,2}}}\\&&&&\西格玛（2）}\右）\右）\\& = \左(\阵列{&& \\& & & \\\西格玛（0）}\右侧）-\左(\阵列{&&西格玛（1）\\& & & \\}\右侧）-\左(\阵列{&& \\& & & \\\西格玛（0）&&}\右侧）+\左(\阵列{&& \\& & & \\&&\西格玛（2）}\右侧）+\左(\阵列{&&西格玛（1）\\& & & \\&& && }\右侧）-\左(\阵列{&& \\& & & \\&&西格玛（2）}\右侧）\\& = 0\结束{对齐}

有关更多插图，请参见(Ghrist（4.5）).

细胞的同源性：圆盘和球体

提议

对于所有人n个∈ℕn\in\mathbb{n}这个约化奇异同调的n个n个-球 S公司 n个序号是

H（H）˜ k个(S公司 n个)={ℤ 如果k个=n个 0 否则.\波浪线H_k（S^n）= \左\{\阵列{\mathbb{Z}&if\；k=n\\0否则（&O）}\对。\,.
证明

这个n个n个-球体可以实现为推出

S公司 n个≃D类 n个/S公司 n个−1≔D类 n个∐ S公司 n个−1*S^n\simeq D^n/S^{n-1}\coloneqq D^{n}\coprod_{S^{n-1}}*

哪个是n个n个-球用它边界 (n个−1)（n-1）-用标识的球体指向.纳入S公司 n个−1↪D类 n个S^{n-1}\hookrightarrow D^n从定义的意义上来说是一对“好搭档”。5，所以长精确序列来自道具。7产生一个长而精确的序列

⋯→H（H）˜ k个+1(S公司 n个)→H（H）˜ k个(S公司 n个−1)→H（H）˜ k个(D类 n个)→H（H）˜ k个(S公司 n个)→H（H）˜ k个−1(S公司 n个−1)→⋯.\cdots \ to \ tilde H_｛k+1｝（S^n）\ to \ tilde H_k（S^｛n-1｝）\ to \ tilde H_k（D^n）\ to \ tilde H_k（S^n）\ to \ tilde H_｛k-1｝（S^｛n-1｝）\ to \cdots\,.

自从磁盘都是可压缩拓扑空间我们有H（H） k个(D类 n个)≃0_k（D^n）\模拟0对所有人来说k个,n个k、 n个通过这个例子在减少同源性这意味着在上面的长精确序列中，所有的形态

H（H）˜ k个+1(S公司 n个+1)→H（H）˜ k个(S公司 n个)\颚化符H_{k+1}（S^{n+1}）\到\颚化H_k（S^n）

是同构，对于所有人k个∈ℕk\in\mathbb{N}.自

H（H）˜ n个(S公司 0)≃{ℤ 如果n个=0 0 否则\波浪线H_n（S^0）\simeq\左\{\阵列{\mathbb{Z}&if\；n=0\\0否则（&O）}\对。

（由这个例子在减少同源性)声明后面是归纳在n个n个.

属性

同伦不变性

奇异同源性是同伦不变量:

提议

如果（f）:X（X）→Y（Y）f:X\到Y是一个连续映射之间拓扑空间哪个是同伦等价，然后是奇异同调群上的诱导态射

H（H） n个(（f）):H（H） n个(X（X）)→H（H） n个(Y（Y）)H_n（f）：H_n

是一个同构.

换句话说：道具的奇异链函子。2发送弱同伦等价到拟同构.

A证据（通过CW近似值)例如，在(Hatcher，道具。4.21).

同伦群的关系

单数同调群在某种程度上，拓扑空间的同伦群在那个空间里。

定义

（Hurewicz同态）

对于(X（X）,x个)（X，X）一指出 拓扑空间，的Hurewicz同态是功能

Φ:π k个(X（X）,x个)→H（H） k个(X（X）)\Phi:\pi_k（X，X）\到H_k（X）

来自k个k个第个同伦群属于(X（X）,x个)（X，X）到k个k个第个奇异同调通过发送定义的组

Φ:(（f）:S公司 k个→X（X）) ∼↦（f） *[S公司 k个]\Phi:（f:S^k\到X）_{\sim}\mapsto f_*[S_k]

具有代表性的单数k个k个-球体（f）（f）在里面X（X）X（X）向前推（f）（f）的基本类 [S公司 k个]∈H（H） k个(S公司 k个)≃ℤ[S_k]\在H_k（S^k）\simeq\mathbb{Z}中.

提议

对于X（X）X（X）拓扑空间0度的Hurewicz同态展示了一个同构在自由阿贝尔群 ℤ[π 0(X（X）)]\矩阵{Z}[\pi_0（X）]在集合上连接的组件属于X（X）X（X）以及0度奇异的敬意：

ℤ[π 0(X（X）)]≃H（H） 0(X（X）).\矩阵{Z}[\pi_0（X）]\模拟当量H_0（X）\,.

自同伦群积极程度取决于同伦型的连接的组件对于基点，虽然奇异同源性不依赖于基点，但有趣的是，仅在以下情况下比较这些群X（X）X（X）已连接。

提议

对于X（X）X（X）一连通拓扑空间这个Hurewicz同态1度

Φ:π 1(X（X）,x个)→H（H） 1(X（X）)\Phi:\pi_1（X，X）\至H_1（X）

是满腹经纶的.它内核是换向器子群属于π 1(X（X）,x个)\像素_1（X，X）。因此，它会导致同构来自阿贝尔化 π 1(X（X）,x个) ab公司≔π 1(X（X）,x个)/[π 1,π 1]\pi_1（X，X）^{ab}\coloneqq\pi_1:

π 1(X（X）,x个) ab公司→≃H（H） 1(X（X）).\pi_1（X，X）^{ab}\stackrel｛\simeq｝｛\to｝H_1（X）\,.

对于更高连接X（X）X（X）我们有

定理

如果X（X）X（X）是（n-1）-连接对于n个≥2n \geq 2号机组然后

Φ:π n个(X（X）,x个)→H（H） n个(X（X）)\Phi:\pi_n（X，X）\到H_n（X）

是一个同构.

这被称为Hurewicz定理.

与相对同源性的关系

就目前的目的而言，我们作出以下定义。

定义

A类拓扑子空间包含A类↪X（X）A \钩右箭头X在里面顶部称为好搭档如果

  1. A类A类是有人居住的和关闭在里面X（X）X（X）;

  2. A类A类有一个街区在里面X（X）X（X）它是其中的一个变形收缩.

写入X（X）/A类X/A（X/A）对于辅核包含，因此对于推出

A类 ↪ X（X） ↓ ↓ * → X（X）/A类\阵列{A&\挂钩箭头&X\\\向下箭头&&\向下箭头\\*&&到&X/A}

在里面顶部.

提议

如果A类↪X（X）A \钩右箭头X是一对好搭档，def。5，然后是X（X）/A类X/A（X/A）与相对同源性属于X（X）X（X）相对于A类A类。因此，它特别适合长精确序列表单的

⋯→H（H）˜ n个(A类)→H（H）˜ n个(X（X）)→H（H）˜ n个(X（X）/A类)→H（H）˜ n个−1(A类)→H（H）˜ n个−1(X（X）)→H（H）˜ n个−1(X（X）/A类)→⋯.\光盘\至\颚化符H_n（A）\至\颚化符H_n（X）\至\颚化符H_n（X/A）\至\波浪号H_{n-1}（A）\至\颚化符H_{n-1}（X）\至\波浪线H_{n-1}（X/A）\至\光盘\,.

例如(海切尔定理2.13).

与广义同调的关系

奇异同源计算广义同调系数在艾伦伯格-麦克莱恩谱 H（H）ℤH\mathbb｛Z｝或H（H）R（右）H R（右后）.

工具书类

概述

原始参考号链同源性/共同上同调和奇异同调/奇异上同调:

课堂讲稿：

在以下背景下的教科书讨论同调代数是关于的应用程序1.1.4

在以下背景下代数拓扑第2.1章

和第四章属于

计算背景下的讨论同伦群在中

课堂讲稿包括

另请参见

示例和应用

  • 迈克尔·巴拉特，约翰·米尔诺,反常奇异同调的一个例子《美国数学学会学报》第13卷第2期（1962年4月），第293-297页(JSTOR公司)

最后一次修订时间为2022年5月22日15:04:19。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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