显示从第36版到第37版的更改：补充|远离的|陈ged公司

目录

想法

A类半单范畴是一个类别其中每个对象是一个直接和属于有限多 简单对象，并且所有这些直接总和都存在。

定义

\开始{definition}(半单阿贝尔范畴)\换行符A阿贝尔范畴被称为半单形如果每隔对象是一个半简单对象，因此是直接和属于有限多 简单对象.\end{定义}

或者，至少在代数闭的 地面磁场 $k个$:

\开始{definition}\label{SemisimpleLinearCategory}（半单线性范畴）\换行符A线性范畴（即，a类别 浓缩过 兽医，参见。张量范畴)被称为半单形如果：

1. 它有有限的，有限的 二乘积

   （通常称为“直和’),

2. 幂等元分裂

   （所以我们说它‘已经子对象“或者，也许更好，”已经收回’),

3. 存在物体 $X _ i$用索引标记设置 $我$这样的话

   1. 对于任何一对 $i、 j个$我们有一个指数同构

      (1)$$霍姆（X_i，X_j）\;\刚果\；\增量{ij}k\,,$$

      哪里$\三角洲$表示克罗内克三角洲和$k个$这个地面磁场

      （此类对象称为简单的),

   2. 对于任何一对属于物体 $五、 \，W$，自然作文地图

      (2)$$\bigoplus_{i\在i}中\,霍姆（V，X_i）\，\音符\，Hom（X_i，W）\向右长箭头霍姆（V，W）$$

      是一个同构.

   （如果字段$k个$不是代数闭的，一个简单对象 $X（X）$可以有一个有限维的 除法代数除$k个$自身作为其自身自同态代数.)

\结束{定义}

（例如。穆格尔（2003年，第6页）)

\开始{proposition}\label{DirectSumDecompositionintoSimples}（直接和分解为简单对象）\linebreak定义\ref{SemisimpleLinearCategory}表示每个对象$V（V）$是一个直接和属于简单对象 $X _ i$.\end{命题}\begin{证明}定义的第三项相当于规定向量空间 $霍姆（X_i，V）$是规范的二元性用向量空间$霍姆（V，X_i）$事实上，我们有：

1. 配对

   (3)$$\开始｛数组｝｛ccc｝霍姆（V，X_i）\，\音符\，霍姆（X_i，V）&\长向右箭头&霍姆（X_i，X_i）&\西马克&k个\\f、\音符\、g&\地图&f\，\circ\，g\马特拉普{\，，}\结束{数组}$$

   我们在右边用的地方(1),

2. 合作

   (4)$$k\cdot标识_B\;\挂钩箭头\；霍姆（V，V）\长向右箭头霍姆（X_i，V）\奥蒂姆霍姆（V，X_i）\mathrlap｛\，，｝$$

   我们在右边用的地方(2),

并检查这些是否满足三角形恒等式作为这样的展览对偶向量空间.

因此，如果我们选择线性基础

对于每个向量空间 $霍姆（X_i，V）$，我们得到了相应的对偶基

令人满意的

这正好说明了这一点$V（V）$已表示为直接和的$X _ i$.\end｛证明｝

\begin{remark}Def.\ref{SemisimpleLinearCategory}（半简单线性类别）不使用阿贝尔范畴这是因为人们用阿贝尔范畴思考的概念，例如内核s和辅核s在半单范畴中不起重要的概念作用，被更重要的双积和收回因此，最好从第一原则给出一个简化的定义，而不必经过阿贝尔范畴的语言，因为阿贝尔范畴会使水域变得浑浊。\结尾{remark}

\开始{remark}对于一个半简单的范畴，它需要在hom-set中具有某种方向对称性，即$霍姆（V，W）$必须至少具有与相同的尺寸$霍姆（W，V）$。这是检查类别是否会失败变得半简单。例如，类别$代表（A）$属于表示代数的$A类$很少是半简单的，正是因为$霍姆（V，W）$和$霍姆（W，V）$一般来说。同样，这可以追溯到原始代数$A类$没有像组中的逆运算那样的“对称性”。\结尾{remark}

\开始{remark}就hom-set上的“二元性”而言，可能有一个$S \冒号C \右箭头C$从范畴到它本身具有规范同构的性质

其中“$\V形$“表示向量空间的普通线性对偶。这样的函子称为Serre函子在代数几何中，实际上在复流形上相干带的导出范畴上确实存在这样一个函子，它是通过张量给出的线丛.\end｛备注｝

\开始{remark}2-Hilbert空间，存在一个反线性$*$-hom-set上的操作$*：Hom（V，W）\右箭头Hom（W，V）$事实上，这种二元性的存在迫使这个范畴成为半简单的（这归结为一个有限维的事实$*$-代数，例如类别中一组对象之间的hom，必须是完整的矩阵代数）\end{remark}

示例

• 典型的简单示例是财务DimVect自身类别属于有限维向量空间超过一些地面磁场 $k个$。这有一个单间同构简单对象类：由给定$k个$自身。

• 这个有限维复表示范畴的紧致李群 $G公司$是半简单的，简单的对象正好是不可约表示s（这是舒尔引理). 如果$G公司$不是紧致李群，需要从“直接和”的概念过渡到“直接积分’.

• 每融合类别是一个半单范畴。

工具书类

文献中出现了半单范畴的各种替代定义，这里比较了一些：

• James Bailie，半简单类别(pdf格式.

例如，他将“阿贝尔半单范畴”（一个阿贝尔范畴，其中每个对象都是可能无限多个简单对象的直接和）的定义与这里讨论的“穆格尔半单”范畴进行了比较：

• 迈克尔·穆格尔，第6页英寸：从子因子到范畴和拓扑I.张量范畴和Morita等价类中的Frobenius代数J.Pure应用。藻类。180（2003）81-157[[arXiv:math/011204](https://arxiv.org/abs/math/011204),doi:10.1016/S0022-4049（02）00247-5]

有一个关于论坛的相关讨论和a关于MathOverflow的讨论.