n实验室已操作（更改）

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高等代数

范畴代数

安只是喜欢一幺半群可以是看到作为一单个对象类别，一个操作的是同等地一单个对象多类别。多类别具有倍数物体是也打电话有色的歌剧。~~运算器上的代数是这些抽象操作的具体实现：~~对象 ~~$A类$~~ ~~配备有~~ ~~$n个$~~ ~~-ary操作~~ ~~$A\otimes\cdots\otimes A\到A$~~ ~~按照操作数的指定，受操作数指定的组合关系的约束。~~

安运算器上的代数是这些抽象操作的具体实现：对象 $A类$ 配备有 $n个$ -ary操作 $A\otimes\cdots\otimes A\到A$ 按照操作数的指定，受操作数指定的组合关系的约束。

这样，歌剧就像劳弗尔理论因为它可以用来描述具有遵循方程定律的有限运算的代数结构。然而，与劳弗尔理论不同，歌剧可以从内部到一般进行定义对称单体范畴其中张量积可能不是笛卡尔积.

操作（和类似概念，如PROP公司,俱乐部,多类别等等）有多种口味。最初用于代数拓扑为描述迭代上存在的内部操作提供一种系统形式循环空间s、它的基本思想非常灵活，适用于许多类别的情况，歌剧的重要性也在不断提高。

组件中的定义

最初的定义是由于彼得·梅并在他的书中给出(迭代循环空间的几何). 它将操作数描述为具有组合概念并受各种条件约束的操作的集合。

该定义本质上是丰富的类别，只是人-物体允许s从多个对象转到给定的输出对象。

有一种更抽象的方法可以将所有这些简单地编码为幺半群在合适的环境中单体范畴。我们在下面讨论的这个更抽象的定义详细的概念处理.

对称操作数

让 $V（V）$ 成为对称单体范畴.

A类(置换的或对称的)操作的在里面 $V（V）$ 由对象组成 $F（n）$ 属于 $V（V）$ 索引超过自然数秒 $n=0，1，2，\ldot$ （我们直观地将其视为“将 $n个$ -代数理论的算术运算”）具有以下额外结构：

赖特行动属于对称群秒 $\rho_n:S_n\to-hom（F（n），F（n$ ;
A类单元 $e： I至F（1）$ [我们将其视为将身份映射作为一元操作进行挑选]；
合成操作
$F（k）\音符F（n_1）\音素F（n_2）\音调\音符cdots\otimes F（n_k）\到F（n~1+\ldots+n_k$

（我们认为这是堵塞操作输出的结果 $\theta_1，\ldots，\theta_k$ 到 $k个$ -ary操作 $\θ$ ，以生成新操作 $\theta\circ（theta_1\otimes\ldots\otimes\theta_k）$ ).

这些数据具有明显的身份，例如结合性和统一性以及组合与对称群作用的兼容性。例如，单位定律说明显的复合

F（n）\cong I\otimes（n）\stackrel{e\otimes 1}{\to}F（1）\otimesF（n

是身份图

F（n）\cong F（n

与对称组操作的兼容性意味着对于每个元素 $\西格玛\在S_k中$ ，合成操作

F（k）\otimes\bigotimes_{i=1}^k F（n_i）\to F（n_1+\ldots+n_k）

对一对自同构进行coequalize

\rho（\sigma）\otimes 1，1\otimes\lambda（\sigma）：F（k）\otimes\bigotimes_{i=1}^k F（n_i）\；\rightrightarrows \；F（k）\otimes\bigotimes_{i=1}^k F（n_i）

哪里 $\西格玛$ 通过以明显的方式排列张量因子，作用于左侧的大张量积。如果 $V（V）$ 有合适的结肠炎，这种情况可以用张量积来表示 $S_n（_n）$ .

关联性条件将留给其他人填写。

彩色歌剧

上面有一个明显的概括，我们允许操作数有几个对象s–已调用颜色在操作理论中。这为代数结构建模，其中不同的元素类型可以输入 $n个$ -ary操作。

让 $C类$ 成为设置，调用了一套颜色.然后是彩色歌剧是

对于每个 $n\in\mathbb{n}$ 和每个 $（n+1）$ -元组 $（c1，\cdots，cn，c）$ 物体 $V中的P（c_1，\cdots，c_n；c）\$ ;
对于每个 $c \以c表示$ 同态 $1_c:I至P（c；c）$ 在里面 $V（V）$ –身份在 $c（c）$ ;
对于每个 $（n+1）$ -元组 $（c1，\cdots，cn，c）$ 和 $n个$ 其他元组

$（d_{1,1}，\cdots，d_{1，k1}），\ cdots$

同态

$P（c1，\cdots，cn；c）\otimes P（d_{1,1}，\cdot，d_{1，k_1}；c1）\otimes\cdots\otimes P（d_{n，1}，\cdots，d_{n，k_n}；c_n）\至P（d_{1,1}，\cdots，d_{n，k_n}，c）$

这个作文操作；
为所有人 $n个$ 、所有元组和每个元组置换 $\西格玛$ 在中对称群 $\西格玛_n$ 同态

$\σ^*：P（c_1，\cdots，c_n；c）到P（c_{\sigma（1）}，\cdots，c_{\sigma（n）}；c）$
根据以下条件
- 这个 $\西格玛$ s形式a表示属于 $\西格玛_n$ ;
- 合成操作满足结合性和统一性以明显的方式；
- 和是 $\西格玛_n$ 以明显的方式等变。

中有色运算的等价项 $V（V）$ 是一个对称多范畴哪个是丰富结束 $V（V）$ 使用哪个术语取决于作者和所持观点。（根据通用术语水平分类，人们也可以称有色歌剧为“类歌剧”，但谢天谢地，这似乎并不常见。另一方面，可能会将术语向后调整，并将类别a“彩色单胚的“或拨打广群a“彩色组”.)

代数

安运算器上的代数 $F类$ 在里面 $V（V）$ 只是用于解释 $F（n）$ 作为实际对象 $n个$ -对对象的ary运算 $v（v）$ 也就是说 $F类$ -对象上的代数结构 $v（v）$ 在里面 $V（V）$ 由一组地图组成

F（n）\音符v^{\音符n}\到v

这是一个直观的映射，如下所示：

\θ\times x_1\times\ldots\otimes x_n\mapsto\theta（x_1，\ldots，x_n）

因此 $F（n）$ 被解释为 $n个$ -上的ary操作 $v（v）$ 。这些数据受实现此想法的某些自然条件的影响。

也许定义它的最快方法是假设 $V（V）$ 是对称单体关闭，并以平行方式工作表示或模块工作。就像一个 $R（右）$ -模块（在环上 $R（右）$ )可以定义为环同态

距离（A，A）

这里的hom是阿贝尔群的内部hom，称为自同态环，所以有这样一件事自同态运算附着到任何对象 $v（v）$ 在对称单体闭范畴中 $F类$ -运算对象上的代数 $F类$ 与操作态射是一样的

F\to\hom（v^{otimes\bullet}，v）

到自同态操作数（也称为同义词操纵词).

既然线索已经给出，剩下的就不难弄清楚了。自同态运算的分量定义为

结束（v）（n）=hom（v^{otimesn}，v）

当然 $S_n（_n）$ 作用于右侧（即相反）人-物体 $\hom（v^{otimesn}，v）$ 。很明显，这里有一个正则映射 $e：我想说（v，v）$ 发挥单位的作用。操作合成涉及迭代张量积的丰富功能的一个实例：有一个映射

\hom（v^{\otimesn_1}，v）\otime\ldotimes\hom

通过将最后一个箭头张量为 $\hom（v^{\otimes k}，v）$ 在左边，用普通内部hom合成合成结果

\hom（v^{\otimes k}，v）\otimes\hom（v ^{\ocimes n1+\ldots+nk}，v^{\ otimes k}）\to（v ^{\otimes n1+/\ldots+nk{，v

定义 $F类$ -代数是通过附加到操作数上的单子来实现的，我们将在下面进行描述。

请注意，当 $v（v）$ 存在于任何对称单体中 $V（V）$ -丰富的类别不仅如此 $V（V）$ 自身。

详细的概念处理

我们在这里描述了operated的一个紧凑的单句定义，首先由马克斯·凯利在进行了几场对他们自身来说很重要的预备赛之后。治疗本质上是一种锻炼丰富范畴理论和形式主义日卷积.我们将在普通情况下完全解决此问题范畴理论首先，这是针对类别富集于 $V=设置$ ; 在完整的、共完整的、，对称单体关闭 $V（V）$ 是完全平行的。

添加了这些行的更多详细信息走向轻歌剧主义.

准备

让 $\mathbb{P}$ 成为广群有限基数令人惊讶的事作为形态-置换范畴.自 $\mathbb{P}$ 是核心范畴的群胚 $翅片$ 有限基数和它们之间的函数副产物在 $翅片$ 限制为上称为基数和的对称单体乘积 $\mathbb{P}$ .

备注

在这种对称的一元结构下， $\mathbb{P}$ 可以刻画为一个生成器上的自由对称严格单体范畴。

基数 $\mathbb{P}$ 沿着Yoneda嵌入对称单体乘积 $音符G$ 上预切类别 $Psh（\mathbb{P}）\coloneqq[\mathbb{P}^{op}，集合]$ 。这是日卷积.

警告

通过滥用符号，我们也将表示前置范畴 $Psh（\mathbb{P}）$ 配备由基数和诱导的单体结构 $Psh（\mathbb{P}）$ .

自 $Psh（\mathbb{P}）$ 是一个前缀范畴，它是余完备的，因为Day卷积是共连续的在每一个单独的论点中，我们都说 $Psh（\mathbb｛P｝）$ 是对称单叶余完备.

注释

除了标准共同（coend）公式中的Day卷积 $Psh（\mathbb{P}）$ 可按规则描述：

（音符G）[S]=\sum_{S=T+U}F[T]\乘以G[U]，

对的所有分区求和 $S公司$ 分成两部分（每部分可能是空的）。

根据瑜伽的前导范畴和日卷积，给出了一个对称的单轴余完备范畴 $天$ ，对称单体函子

十： \mathbb{P}\到D

唯一地扩展到对称单体的同构共连续的函子

\帽子{X}:Psh（\mathbb{P}）\到D，

进行预处理 $W： \mathbb{P}^{op}\设置$ 到加权大肠杆菌 $W \ cdot X$ .

备注

根据前面的评论和上述内容，我们可以进行描述 $Psh（\mathbb{P}）$ 普遍等价于单个生成器上的自由对称单偶余完备范畴。

离题

回想一下，我们可以描述一下 $W\cdot_{\mathbb{P}}X$ 如下：首先注意函子

\兰巴达_0\上校（coloneq）Hom_D（X（\cdot），\cdot\结肠\mathbb{P}^{op}\times D\到Set\,,

所以 $\λ_0$ 也给出了一个函子 $\兰姆达：D\ to[\mathbb{P}^{op}，Set]$ 通过咖喱通过第二个坐标。

然后我们定义 $W\cdot_{\mathbb{P}}X$ 成为表示函子的对象

\Lambda_W\coloneqq Hom_Psh（\mathbb{P}）（W，\Lambda（\cdot））：D\设置

无论何时 $\λ_W$ 是可代表的.

一般来说，加权结肠炎可以用coend公式明确描述；在这里

W\cdot_{\mathbb{P}}X=\int^{k:\mathbb{P}}F（k）\cdot X（k）

哪里 $截止日期$ 表示集合的张量 $S公司$ 使用对象 $d日$ ，这是 $S公司$ -的索引副本集 $d日$ 。这里的coend表示一个coequalizer。

\sum_k W（k）\cdot S_k\cdot X（k）\右箭头\sum_k W（k

其中一个平行箭头涉及对称组的右操作 $确定（_k）$ 上 $F（k）$ ，另一个涉及的左动作 $确定（_k）$ 在对象上 $X（X）$ 换句话说，这种情况下的系数可以描述为张量积的和：

W\cdot_{\mathbb{P}}X=\sum_k W（k）\otimes_{S_k}X（k）。

上述通用属性 $Psh（\mathbb｛P｝）$ 其卷积可以更明确地描述如下：给定一个对称的单指数余完备范畴 $天$ 和一个对象 $d日$ 其中，存在多达同构a独特的对称单体上连续函子 $Psh（\mathbb{P}）至D$ 它发送红衣主教所代表的长老 $1$ , $h1（小时1）$ ，至 $d日$ .

显然，这个函子需要一个前缀 $F： \mathbb{P}^{op}\设置$ 到以下对象 $天$ :

\sum_k F（k）\otimes_{S_k}d^{otimes-k}。

例子

什么时候？ $天$ 是对称单叶余完备范畴 $（设置，\次）$ 和 $x个$ 是一个集合，这个公式

\帽子{F}（x）=\sum_k F（k）\otimes_{S_k}x^k

是的值 $x个$ Joyal称之为解析函子 $\帽子{F}：设置\到设置$ 关联到物种 $F类$ 被认为是指数理论的分类生成函数s.事实上 $F\mapsto\hat{F}（x）$ 对称单体（共连续）意味着存在典型同构

\widehat{（F\otimes_{Day}G）}（x）\cong\hat{F}（x）\times\hat{G}（z）

换句话说， $F\mapsto\hat{F}$ 其行为类似于傅里叶变换的分类版本，将卷积积转换为普通（逐点）积。

对于对称单叶余完备范畴 $C、 D类$ ，让 $\下划线{Hom}（C，D）$ 表示对称单体余连续函子的范畴 $C至D$ .通用属性 $Psh（\mathbb{P}）$ 意味着我们有一个等价物

\下划线{Hom}（Psh（\mathbb{P}），D）\simeq D。

因此，我们有一个等价的 $\下划线{Hom}（Psh（\mathbb{P}），Psh（\tathbb{P}））\simeq Psh（\t）。$

由于对称单调共连续函子在复合下是稳定的，所以左边的范畴带有由内函子复合给出的单调乘积。通过结构在等价物上的传递，我们在 $Psh（\mathbb{P}）$ 由称为物种代换产物.物种的替代产物 $F、 G公司$ 表示为 $圆圈G$ .

具体来说：一个物种 $G\colon\mathbb{P}^{op}\设置$ 诱导一个对称单体上连续函子

Psh（\mathbb{P}）\到Psh（\ mathbb}）：F\mapsto F\circ G=\sum_k F（k）\otimes_{S_k}G^{\otimess_{Day}k}

这个 $k个$ -fold Day张量幂 $G公司$ （用物种的语言）由公式给出

G^{\otimes k}[S]=\sum_{S=T_1+\ldots+T_k}G[T_1]\次G[T_2]\次\ldots\次G[Tk]

其中我们对打破有限集的所有方法进行求和 $S公司$ 进入之内 $k个$ 街区，有些可能是空的。因此，我们对替代产品有了明确的描述，

（F\circ G）[n]=\sum_k F[k]\otimes_{S_k}（\sum_{[n]=T_1+\ldots+T_k}G[|T_1|]\times\ldots\times G[|T_k|]），

从我们上面的讨论中可以清楚地看出，代换是一个单体乘积。单体单位 $我$ 是函子 $\mathbb{P}^{op}\设置$ 哪里 $我[n]$ 是终端，如果 $n=1$ ，否则为初始值。

定义为monoid

我们终于为这句话做好了准备定义:

A类( $设置$ -基于）操作的是一个幺半群在中单体范畴 $（Psh（\mathbb{P}），\circ，I）$ .

通过考虑环境的不同概念，我们可以得到不同风格的歌剧单体范畴例如，对于单体范畴理论，离散范畴 $\mathbb｛N｝$ 在一个生成器上扮演自由（严格）单体范畴的角色，并且 $设置^{\mathbb{N}^{op}}$ 一个生成器上的自由单结点余完备范畴。类似地，对于编织单体范畴，我们有编织范畴 $\mathbb{B}$ 、和 $设置^{\mathbb{B}^{op}}$ 是一个生成器上的自由编织单节点余完备范畴。同样，对于笛卡尔范畴，我们有 $结束^{op}$ （有限集和函数的相反）作为自由笛卡尔范畴在一台发电机上，以及 $设置^{Fin}$ 是一个生成器上的自由笛卡尔单指数余完备范畴。在每一种情况下，我们都可以通过上述处理得到相应的操作概念经必要修改：非交错操作数、编织操作数、笛卡尔操作数（通常称为劳弗尔理论). 这些都是广义多范畴.
以上所有内容都转到了丰富的设置中，在这里我们处理一个完全的、余完全的对称单体闭基范畴 $V（V）$ 这里是普通类别（如 $\mathbb{N}，\mathbb{P}，\tathbb{B}，Fin$ )被视为 $V（V）$ -通过简单的基础改变而丰富：从霍姆塞特s至hom对象通过应用基函子的变化

$设置\为V$

需要一套 $S公司$ 到 $S公司$ -折叠副产物 $S \cdot一$ ，其中 $我$ 是的一元单位 $V（V）$ 也可以在广义多范畴.
广义多范畴的概念甚至比这更普遍；例如，它还包括球状手术和拓扑空间。请参阅广义多范畴了解详细信息。
在其他方面，例如，有以下概念循环操作的和模运算的.
有时考虑基于“部分”组合操作的operated的替代定义是有用的

$sub_i:C（m）\乘以C（n）\到C（m+n-1）$

它编码了替换 $n个$ -对的ary操作 $第i个$ 参数 $米$ -ary运算，以获得 $（m+n-1）$ -ary操作。例如，这种组合概念允许考虑非单位运算没有身份操作（称为“伪操作数”（马克、施奈德和斯塔舍夫）). 另一方面，在存在身份操作的情况下，两种形式的操作合成是可以相互定义的（参见（2008年10月），或第2章（弗雷斯，豪格一世）进行更详细的讨论）。
最后，一些作者对arity零的运算（也称为nullary运算或“常量”）进行了限制。May的原始定义(1972)只需要一个nullary操作，而（马克、施奈德和斯塔舍夫）只考虑正arity的运算。弗雷斯对这两种受限制的轻歌剧形式给予了特殊的地位，分别称之为幺正运算和非酉运算符（参见第3.1.10节（Fresse 2009）和1.1.19（弗雷斯，豪格一世）). 注意非酉操纵词（没有null运算）不幺正操作数（正好有一个nullary操作）的补码，与非幺正运算数（没有恒等运算）也不是一回事。例如，Stasheff对结合面体（斯塔舍夫，1963年）隐式定义了一个二者都非酉和非酉。

附在歌剧上的单子

每个 $设置$ -基于操作数 $M（M）$ 产生单子 $\帽子{M}$ 在 $设置$ 具体来说，单体范畴 $（Psh（\mathbb{P}），\circ，I）$ 作用于 $设置$ 以这样的方式给予行为结构，因此是一个操作数或 $\电路控制器$ -幺半群在上产生单子 $设置$ .

以下是详细信息。有一个函子

i： 设置\为Psh（\mathbb{P}）

发送集合 $X（X）$ 到函子

\帽子{X}:\mathbb{P}^{op}\到Set

拿 $[无]$ 到 $X（X）$ 如果 $n=0$ ，否则为 $0$ 。这个函子是完整的和忠实的；从概念上讲，它处理一个集合 $X（X）$ 给出一组0元运算或由其自身索引的常量。请注意，组合

Psh（\mathbb{P}）\times Set\stackrel{1\times i}{\to}Psh

通过包含的因素 $i：设置\为Psh（\mathbb{P}）$ （从概念上讲，当对常量应用形式运算时，结果又是一个常量）。这提供了一个操作

Psh（\mathbb{P}）\times设置\设置

对于活动结构；因为它是替代产品的限制 $\电路控制器$ 沿着夹杂物 $我$ 在第二个参数中，我们再次表示它 $\电路控制器$ 滥用符号。鉴于 $F： \mathbb{P}^{op}\设置$ 和一套 $X（X）$ ，我们有

F\circ X\cong\sum_{k\geq 0}F（k）\otimes_{S_k}X^k

并给出 $G： \mathbb{P}^{op}\设置$ ，我们也有连贯的自然同构 $（F循环G）$ , $I\circ X\cong X（循环X）$ .

定义

这个单子与操作数关联 $（M，M:M循环M到M，u:I到M）$ 是函子 $\帽子{M}：设置\到设置$ 拿 $X（X）$ 到 $M \大约X$ ，配备了自然转换

\帽子{M}\hat{M}X=M\圈（M\圈X）\cong（M\圈M）\circ X\stackrel{M\圈X}{to}M\圈X=hat{M}X

[]

X\cong I\circ X\stackrel{u\circX}{\to}M\circX=\hat{M}X

其中提供了 $\帽子{M}$ 具有单子结构。

关联单体的定义很容易延伸到丰富的情况，以及非交换操作数、编织操作数和笛卡尔操作数等变体（Lawvere理论）。

注意，运算符的代数 $\帽子{M}$ 是一套 $X（X）$ 配有结构图 $\alpha:M\circ X\到X$ 这使得 $i（X）$ 一模块在幺半群上 $M（M）$ 在单体范畴中 $Psh（\mathbb{P}）$ .

另请参阅上的相关讨论俱乐部.

示例

实际相关的环境类别包括

顶部/sSet（设置）–此处的运算符称为拓扑操作的;
链状络合物范畴–此处的运算符称为dg-operad公司

具体示例

概述

对于 $C类$ 一套初始对象 $I_C（_C）$ 属于 $C类$ -彩色歌剧有 $I_C（C；C）=I_V$ 为所有人 $c（c）$ 在里面 $C类$ 以及的所有其他组件 $I_C（立方厘米）$ 是初始对象属于 $V（V）$ .
还有一个规范的概念自由操作的.

属性

颜色的变化

彩色歌剧形成纤维类超过类别设置颜色。一组光纤 $C类$ 是的类别 $C类$ -彩色歌剧。

对于 $\α：D到C$ 一功能在集合中，有一个明显的拉回函子

\α^*：Oper_C（V）到Oper_D（V

由提供

\α^*（P）（d_1，\cdots，d_n；d）\上校（coloneq）P（α（d_1），cdots，α（d_n）；\α（d）\,.

与同态一起 $\φ：Q\to\alpha^*P$ 这会导致一对伴随函子上的操作数上的代数

\大（（\alpha，\phi）_！\dashv（\alpha，\phi）^*\大）\;\冒号\；Alg_V（P）\过盈不足{\；\；（\alpha，\phi）^*\；\{\；\；（\alpha，\phi）_！\；\{\左右箭头}算法_V（Q）\,.

操作数上的模型结构

如果对称单体范畴 $V（V）$ 考虑中的歌剧丰富了一元模型类，则在适当的条件下，还存在模型类别关于的范畴 $V（V）$ -歌剧。这对于同伦运算器上的代数，例如 $A_\信息$ -和 $E_\信息$ -代数。

请参见

操作数上的模型结构.

Koszul对偶

打开二次运算?在链式复合体中有一种对偶运算，称为Koszul对偶。有关详细信息，请参阅此处。

歌剧的类别

操作数和操作数同态（对于任何给定风格的歌剧，如上所述）形成一个类别,已操作.

这个Boardman-Vogt张量积使对称有色操作的类别覆盖设置到闭单体范畴.

工具书类

Stasheff隐式描述了结合面体在里面

詹姆斯·迪伦·斯塔舍夫,H-空间的同伦结合性Ⅰ，事务处理。阿默尔。数学。《社会分类》108（1963），275–312。(网状物)
詹姆斯·狄龙·斯塔舍夫,H-空间的同调结合性Ⅱ，事务处理。阿默尔。数学。《社会分类》108（1963），293–312。(网状物)

但没有明确操作数的抽象概念。抽象定义（以及名称）最初是由于

彼得·梅,迭代循环空间的几何(pdf格式)

早期版本的概念是分析器（通常为法语版本分析器)，引入于

M.Lazard，Lois de groupes和分析员《安娜·埃科尔规范》。啜饮。72（1955年），第299-400页。

专著：

伊戈尔·克里茨,彼得·梅,运算、代数、模和动机，阿斯特里斯克233《法国数学协会》（1995年）(pdf格式,编号：AST_1995__233__1_0)
汤姆·伦斯特,更高的操作数，更高的类别，伦敦数学。Soc.Lec公司。票据系列298,数学。CT/0305049
马丁·马克尔,史蒂夫·施奈德,詹姆斯·斯塔舍夫,代数、拓扑学和物理学操作，数学。调查和专著96阿默尔。数学。Soc.2002年。
马丁·马克尔，操作和PROPS，第5卷代数手册，第87–140页。爱思唯尔，2008年。arXiv:数学/0601129
V.A.斯米尔诺夫，代数拓扑中的简单方法和运算方法
Jean-Louis Loday女士,布鲁诺·瓦莱特,代数运算《格伦德伦·德·马泰马提申·维森沙芬》，第346卷，施普林格-弗拉格出版社（2012年），第xviii+512页(pdf格式,国际标准图书编号978-3-642-30362-3)
Benoit Fresse公司,操纵子和函子上的模，施普林格LNM19672009年，x+308页。MR2010e:18009年
Benoit Fresse公司,操作数同伦与Grothendieck-Teichmüller群（第1卷和第2卷）、数学调查和专著217（2017）[[ISBN:978-1-4704-3480-9](https://bookstore.ams.org/surv-217/),网站,pdf（第一部分草案）]

另请参阅：

托德·特里布尔,关于操作数和Lie操作数的注释(pdf格式)

打开整改属于对称的彩色歌剧:

德米特里·巴甫洛夫,雅各布·肖尔巴赫,有色对称运算的可容许性和校正，拓扑杂志113 (2018) 559-601 $[$ doi:10.1112/topo.12008,arXiv:1410.5675 $]$

操作对象为双函子在一定范围内双重类别:

克劳迪奥·皮萨尼,作为双函子操作(arXiv:2208.07028)

上次修订时间：2023年2月7日16:32:45。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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组件中的定义

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彩色歌剧

代数

详细的概念处理

准备

备注

警告

注释

备注

离题

例子

定义为monoid

评论

附在歌剧上的单子

定义

示例

具体示例

概述

属性

颜色的变化

操作数上的模型结构

Koszul对偶

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