n实验室单体Dold-Kan对应（变化）

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上下文

同调代数

高等代数

有一个平原Dold-Kan通信，它建立了（co）之间的等价性单形群s和（co）链式复合体这两类产品都具有天然的单体范畴结构。事实证明，Dold-Kan对应确实尊重这种单体结构，在某种程度上是严格的，但一般来说是同伦理论和高等范畴理论.

通过这种方式，它扩展到奎伦等效之间模型类别属于幺半群在简单组中–单形环链复合体中的s和幺半群dg-代数第条。

请注意

中的幺半群链状络合物范畴是微分分次环
单形阿贝尔群范畴中的幺半群是简单的戒指.

相反，如果我们看看链复合体和单纯对象不在中抗体但在兽医然后

中的幺半群链状络合物范畴向量空间的微分分次代数
单形向量空间范畴中的幺半群是单形代数。

类似的陈述适用于对偶Dold-Kan对应，其中所讨论的monoid相应地是共简约环，并且微分分次代数具有正微分。

关于Dold-Kan通信是那个吗

Dold-Kan对应中的两个函子分别尊重这些单体结构，因为它们是松散的单体函子（但不是强单体函子，参见备注1).

然而附加未能成为单体附加任何类型（即单元和科尼特不是单体自然变换）。（请注意，如果它是一个单体附加词，则通过教义附加，这两个函子必然是强单体的，因此是单体范畴的等价。）因此，类别的Dold-Kan等价性不会导致范畴的等价性甚至是（co）单纯环和（co）链复合物之间的附加。

单体Dold-Kan对应有两种不同的版本，它们几乎但显然不是完全形式上的相互对偶（至少在详细结构中不是这样）：

这个简单版本与之相关的幺半群s在abelian中单形群s（单形环）到幺半群链式复合体es（链条dg-代数s），
这个共简化版本与共群中的拟群相关(共简约环)在共链复合物（胭脂红dg-代数s） ●●●●。

通过将Moore复函子替换为其他函数，使余弦形式成为单体，以获得奎伦等效通过将另一函子替换为其他函子，单纯形变为单体。

奎伦当量汇总

下面我们讨论以下内容奎伦等效捕获了单体Dold-Kan对应关系的各个方面。

$（\Gamma\dashv N）：sAb\underoverset{\underset{N}{\longrightarrow}}{\overset}\Gamma}{\longleftarrow{}{\bot}Ch_\bullet^+$

以及

$（N\dashv\Gamma）：Ch_\bullet^+\underoverset{\underset{\Gamma}{\longrightarrow}}{\overset}N}{\lenglightarrow}}{\ bot}sAb$

之间单纯阿贝尔群和连接词链状复合体;
$（\Gamma^{cmon}\dashv N）：CAlg_k^{\Delta^{op}}\underoverset{\underset{N}{\longrightarrow}}{\overset}\Gamma}{\longleftarrow{}}{\ bot}CdgAlg_{k}^{conn}$

连接之间单纯的交换代数和已连接微分梯度交换代数超过领域属于特征零点
$（\ Gamma ^｛mon｝\dashv N）：Alg_k^｛\Delta ^｛op｝｝\ underoverset｛underset｛N｝｛\langleftarrow｝｝｝｛overset｛\ Gamma ^｛mon｝｝｛\langleftarrow｝｝｝｝｛\bot｝dgAlg_｛k｝$

以及

$（N^{mon}\dashv\Gamma）：dgAlg_{k}\欠置{\underset{\Gamma}{\longrightarrow}}{\overset{N^{mon}}{\ longleftarrow}{\bot}Alg_k^{\Delta^{op}}$

交换环上的单形代数和连通dg-代数（不一定是可交换的）之间 $k个$
$（\Gamma^{mon}\dashv N）：dgRing\underoverset{\underset{N}{\longrightarrow}}{\overset}{\Gamma{mon}}{\ longleftarrow}{\bot}环^{\Delta}$

连接cochain dg环与余复环之间
$（\Gamma^{mon}\dashv N）：Alg_A^{\Delta^{op}}\下覆盖{\underset{N}{\longrightarrow}}{\overset{\Gamma{mon}}{\ longleftarrow}{\bot}dgAlg_{N（A）}$

交换单纯形环上的单形代数与连通dg-代数（不一定交换）之间 $A类$ 及其归一化dg-ring $N（甲）$
$（\Gamma^{E_infty}\dashv N）：E_\infty Alg_k^{\Delta^{op}\underoverset{\underset{N}{\longrightarrow}}{\overset}\Gamma E_infty}}{\ longleftarrow}{\bot}E_\inffy dgAlg_{k}$

之间 $E_\信息$ 单形代数与连接词 $E_\信息$ 环上的dg-代数 $k个$ 任何特征

单纯形代数与链dg-代数

我们首先讨论摩尔复合物函子是单体的。然后，我们用它来讨论它所诱导的拟群模型类别上的各种Quillen等价。

正规链上的Bilax单体Frobenius结构

提议

这个摩尔复合物函子

C_\bullet\colon sAb\到Ch_\bull^+

以及归一化链/归一化摩尔复函子

N_\bullet\colon sAb\到Ch_\bull^+

都是

对称的 $\;$ lax单体函子
oplax单拟函子

（但是不息肉对称的单线形）
双单体函子
Frobenius单体函子.

松弛结构由Eilenberg-Zilber地图

\nabla_｛A，B｝：N（A）\时间N（B）\到N（A\时间B）\,.

oplax结构由亚历山大·惠特尼地图

\增量{A，B}:N（A\otimes B）\到N（A）\ otimes N（B）\,.

复合材料

N（A）\otimes N（B）\stackrel{nabla_{A，B}}{到}N（注意事项B）\堆栈｛\Delta_｛A，B｝｝｛\to｝N（A）\注释N（B）

是身份，而复合材料

N（注意事项B）\堆栈｛\Delta_｛A，B｝｝｛\to｝N（A）\注释N（B）\stackrel{\nabla_{A，B}}{\to}N（注意事项B）

是一条链条同伦等价.

显然，基本结果（没有bilax和Frobenius结构）出现在(MacLane同源). 归一化链函子的AW/EZ等价是在(艾伦伯格MacLane). 关于对称松弛单偶性证明的综述，也可以在(魏贝尔). 的第5章中描述了双分子单体和Frobenius结构(阿吉亚尔·马哈詹). 弗罗贝尼乌斯构造也被独立观测到凯瑟琳·赫斯和史蒂夫·莱克。另请参见第2.3节(SchwedeShipley公司).

证明

显示摩尔链复函子松弛单线性的松弛单线变换是洗牌贴图.其组件

\nabla_{A类, B类} : ({N个}_{•} A类) \otimes ({N个}_{•} B类)) \to {N个}_{•} (A类 \otimes B类)

\nabla{A，B}：（N_\bullet A）\注释（N_\ bullet~~B））~~B）\到N_\bullet（A\otimes B）

在一对上 $A、 B类$ 单形阿贝尔群的态射是链式复合体发送同质元素的es $在a_p\otimes b_q=：C_p（a）\otime C_q（b）中$ 到

\nabla_{A类, B类} (一 \otimes B类 b条) = \sum_{(μ, ν)} 签名 (μ, ν) (秒_{ν} 一) \otimes 秒_{μ} (b条) \in {C类}_{第页 + q个} (A类 \otimes B类) = {A类}_{第页 + q个} \otimes {B类}_{第页 + q个} .

\nabla_{A，B}（注释B）b）=\sum_{（\mu，\nu）}符号（\μ，\nu）（s_\nu a）\otimes s_\mu（b）\C_{p+q}（a\otimesB）=a_{p+q}\otimmes b_{p+/q}，。

这里是总数 $（p，q）$ -洗牌，即排列 $\{\mu_1，\点，\mu_p，\nu_1，\cdot，\nu_q\}$ 集合的 $\{0,1，\cdot，p+q-1\}$ 离开第一个 $第页$ 和最后一个 $q个$ 元素按其自然顺序排列。

上述和中的符号是这个置换和简并映射的对应符号 $s_\mu$ 和 $s_nu（_）$ 表示地图

s_\mu：=s_｛\mu_p｝\cdots\circs_｛\mu_1｝

和类似的 $s_nu（_）$

（嗯，这是一致的吗？）

推论

由于归一化摩尔复函子 $N_ \项目符号$ 是类别的等价，通过教义附加它的逆神经函子 $\伽马射线：Ch_+\到sAb$ 还获得了lax单体和oplax对称单体结构。

有关更多详细信息，请参阅oplax单体函子.

备注

结果是 $N个$ 和 $G公司$ 都很接近强单体函子如果是这样的话，单体Dold-Kan对应关系将是Dold-Kan对应关系的简单推论，并将保持在1范畴的水平。

显然 $N个$ 强单体是指Eilenberg-Zilber地图是（在标准化链式复合体上）a右反转到亚历山大·惠特尼地图，但不是左反转.但它是同伦逆：因为亚历山大·惠特尼地图是（如文中所述）准同构s.依据三取二因此，EZ映射也是拟同构的，并且它们确实与同伦范畴链复合物（派生类别).

因此，我们预计单体Dold-Kan对应关系成立，虽然不一定在普通范畴的水平上，但至少在同伦范畴如下文所述，情况确实如此。

备注

请注意

的oplax结构 $N个$
以及 $\伽马射线$

不是对称单体函子s、即他们不尊重对称单体范畴结构。然而，这也是他们尊重同伦，即它们是E-无穷大单体函子在适当的意义上。如所示(里希特).

这意味着艾伦伯格？Mac Lane光谱在微分分次交换代数是E-infinity幺半群属于 $H\mathbb{Z}$ -模块光谱.

文章(里希特)显示了相反的 $\Xi（希）$ 从链复形到单形阿贝尔群在任意微分分次上发送代数E无穷大运算到E-无限代数在简单模块中，是奎伦附加对于这些。

奎伦当量

我们讨论奎伦等效s围绕着单体Dold-Kan对应关系旋转。下面是关于他们建造的更多细节。

写入

（\Gamma\dashv N）/（N\dashv\Gamma）: Ch_\项目符号^+\欠置{\underset{\Gamma}{\longrightarrow}}{\overset{N}{\longleftarrow{}{\bot}s抗体

对于普通人Dold-Kan通信. $Ch_\项目符号^+$ 表示连接的链复合物，即有差别的1度，集中度 $\geq 0$ .

自 $N个$ 和 $\伽马射线$ 彼此严格相反，这可以视为一对伴随函子有两种方式。此外，关于标准模型类别结构（投影链状络合物的模型结构（fiblates the degreewise surpjections in positive degree）和射影单形交换群的模型结构（破坏了基础Kan纤维)s）两个附加功能都是奎伦等效第条。

\开始{definition}\label{MonoidalCategoryStructures}（单面类结构）\换行符Let

$（Ch_\项目符号^+，\注释）$ 成为标准单体范畴上的结构链状络合物范畴通过链复合体的张量积;
$（sAb，\有时）$ 成为单体范畴结构这在程度上是抗体，通过阿贝尔群的张量积.

对于 $（C，\注释）$ 单体范畴，write $周一（C）$ 对于它幺半群范畴，因此

$周一（Ch_\bullet^+）$ 是的类别连接的微分分次环.
$周一（南非）$ 是的类别单形环.

\结束{定义}

引理

DK通信显示连接的dg-环是完整的子类别单形环

\伽马射线:周一（Ch_\bullet^+）\钩右箭头周一（南非）\,.

复合函子

N \伽马射线:周一（Ch_\bullet^+）\钩右箭头周一（Ch_\bullet^+）

等同于身份。

简单 $k个$ -代数与连通dg-代数

提议

对于 $k个$ 交换环，有一个奎伦等效

（\Gamma^{mon}\dashv N）\结肠Alg_k^{\Delta^{op}}\欠置{\underset{N}{\longrightarrow}}{\overset{\Gamma^{mon}}{\ longleftarrow}{\bot}dgAlg_k（_k）

之间

这个dg-代数的模型结构用于连接dg-代数s结束 $k个$ ：弱等价是准同构s、 fibrations阳性的分度推测
以及单形代数的模型结构结束 $k个$ ：弱等价和fibrations是标准中的基本单形集单形集上的模型结构.

这出现在第4.2节(SchwedeShipley公司).

中的下面单纯形代数与dg-代数本文讨论了这一说法的推广。但这里值得详细说明这个特殊情况的证明。

证明

关注普通人Dold-Kan通信

（\Gamma\dashv N）: 模式^{\增量^{op}}\欠置{\underset{N}{\longrightarrow}}{\overset{\Gamma}{\longleftarrow{}{\bot}Ch_\项目符号（k）^+

作为一个奎伦等效在单形k-模的模型结构和投影链状络合物的模型结构（fiblates the degreewise surpjects in positive degree）与 $N个$ 被视为右伴随请注意 $N个$ 和 $\伽马射线$ 保存全部的弱等价性和附加词的单位和单位是同构第条。

涉及的两个模型类别都是一元模型类别我们声称上述奎伦附加词是单体Quillen附加与此结构有关。

首先 $N个$ 是一个lax单体函子使用lax单体转化 $\nabla_｛A，B｝：N（A）\时间N（B）\到N（A\时间B）$ 由Eilenberg-Zilber地图。如所述oplax单体函子这在 $\伽马射线$ 由复合材料给出

\增量{X，Y}:\伽玛射线（X\otimes Y）\stackrel{\Gamma（i_X\otimes i_Y）}{\to}\伽马（N\Gamma X\otimes N\Gamma Y）\stackrel{\Gamma（\nabla_{\GammaX，\GammaY}）}{\to}\伽马N（\Gamma X\otimes\Gamma-Y）\stackrel{\epsilon_{\Gamma X\otimes\Gamma-Y}}{\to}\伽马X射线\otimes\Gamma Y射线\,.

现在Eilenberg-Zilber地图 $\纳布拉$ （如文中所述）是一条链吗同伦等价和 $i_\cdot$ 和 $\ε_\cdot$ 甚至是同构。自 $\伽马射线$ 保留所有弱等价，因此 $\增量{X，Y}$ 是一个弱等价。

这表明 $（\Gamma\dashv N）$ 是一个单次奎伦等价此外，根据标准事实转换模型结构上的 $Mon（Ch_\bullet（g）^+）=dgAlg_k^+$ 和 $Mon（Mod_k^{\Delta^{op}}）Alg_k^}\Delta|{op}$ 如图所示。

因此，使用关于幺半群提升的定理描述于单体Quillen附加声明如下。

但不仅如此 $（\Gamma\dashv N）$ 而且 $（N\dashv\Gamma）$ 。这将产生：

提议

对于 $k个$ 交换环，有一个奎伦等效

（N^{mon}\dashv\Gamma）\结肠dgAlg_k（_k）\欠置{\underset{\Gamma}{\longrightarrow}}{\overset{N^{mon}}{\ longleftarrow}{\bot}Alg_k^{\Delta^{op}}

对于上述模型结构。

证明

我们检查一下

（N\dashv\Gamma）\结肠Ch_\项目符号^+（k）\underoverset｛underset｛\Gamma｝｛\longrightarrow｝｝｝｛\overset｛N｝｛\longleftarrow｝｝｝｛\bot｝模式^{\增量^{op}}

是一个单体Quillen附加：左伴随上的oplax单体结构 $N个$ 由亚历山大·惠特尼地图，如前所述，这是一个弱等价。

因此，使用关于幺半群提升的定理描述于单体Quillen附加声明如下。

简单 $A_\项目符号$ -代数与连通dg-代数

定理

对于 $A类$ 可交换的单形环有一个奎伦等效

（Q\dashv N）：Alg_A\欠置{\underset{N}{\longrightarrow}}{\overset{Q}{\longleftarrow{}{\bot}Alg_{N（A）}

在单纯形之间 $A类$ -代数与连接微分 $N（甲）$ -代数，其中规范函子中的右伴随，但左伴随不是 $\伽马射线$ .

这是中的主要定理(SchwedeShipley公司).

交换式和 $E_\信息$ -代数

请注意，上述声明是不为交换幺半群制定的。但是

定理

对于 $k个$ 一领域属于特征0存在Quillen等效

（Q\dashv N）\结肠sAlg ^C_k（_k）\欠置{\underset{N}{\longlightarrow}}{\overset{Q}{\longleftarrow{}{\bot}dgAlg^C_k（_k）

连接交换连接词之间dg-代数s结束 $k个$ 和连接的可交换单纯形代数s结束 $k个$

这里连接的意思是：在程度上微不足道 $克\leq 0$ （=“减少”）。

这最初是在(Quillen 69，第223页评论)如下所示，类似于 $L_\输入$ -代数和dg-Lie代数。有关这方面的进一步评论，请参阅弗雷斯，6.4.1a，6.4.5

相反，我们具有任意特性

定理

对于 $k个$ 交换环，存在Quillen等价

dgAlg^{E_infty}_k\stackrel{\overset{}{\leftarrow}}{\underset{}}{\to}}sAlg^}E_infty}_k

连接dg之间-E-∞代数结束 $k个$ 而且很简单 $E_\信息$ -上的代数 $k个$ .

这是在(曼德尔).

这里的模型类别结构与之前的类似：用于简单 $E_\信息$ -代数弱等价和fibrations是基本单纯形集的等价和fibations，对于连接dg- $E_\信息$ -代数它们是潜在的拟同构和潜在的正度满射。

$H\mathbb{Z}$ -模谱与无界dg-代数

单体Dold-Kan对应关系的无界（“稳定”）模拟是：

有一个奎伦等效

H\mathbb{Z}算法

模型结构之间Eilenberg-MacLane光谱-代数谱以及dg-代数的模型结构（无边界）。请参见代数谱了解更多信息。

余单纯形代数与cochain dg-代数

将共单代数与共链dg代数联系起来的单调Dold-Kan对应关系在文献中被认为不那么突出，但在许多经典著作中确实隐含地出现了。例如单形集上的cochains表格adg-代数它是可交换的，直到相干的高同伦，即E-无穷代数，实际上是关于函数的余复代数上的Moore-cochain复函子的陈述单纯集合s是一个 $\英菲$ -适当意义上的单体函子。

有一篇文章明确了余弦/余弦单体Dold-Kan对应关系(皮质醇)

这不足以确定奎伦等效，但表明Dold-Kan通信诱导等效属于同伦范畴对于余复杂环上的模型结构以及dg-ring的模型结构.

然而，本文显式地构造了（派生的）伴随函子到Moore cochain复函子。

摩尔同链复函子诱导 $\英菲$ -在撰写本文时，单体函子似乎没有明确地出现在文献中（？），尽管它的各个方面都是隐含的，部分是经典的陈述。下面试图明确一些方面。

正常化耳蜗的松弛和松弛单性

亚历山大·惠特尼和洗牌变形

单群Dold-Kan对应关系的一个中心成分是Alexander–Whitney和shuffle态射。

见第六章第12段

A.多德，代数拓扑讲座、格兰德伦数学。威斯。第200卷，施普林格出版社，纽约-柏林，1972年

或第八章第8段

桑德斯·麦克莱恩,同源性、格兰德伦数学。威斯。第114卷，斯普林格·弗拉格，柏林-哥廷根-海德堡，1963年。

对于 $A、 B类$ 余复阿贝尔群, $中国$ 和 $C B类$ 他们的摩尔-科钦复合体锿，

这个亚历山大·惠特尼变形是同态

N A音符N B至N（A音符B）

在同质元素上给出的 $x、年$ 学位 $p、 q个$ 分别由

x\音符y\地图\增量^n\circ\cdots\circ\delta^{p+1}（x）\;\;\奥蒂姆\;\;\增量^0\circ\cdots\circ\delta^0（y）\,.

请注意，对于 $A=B$ 一个余复杂代数，将其与乘积进一步组合，得到杯形产品诱导于余复代数的dg-代数。下面将对此进行详细说明。

这个混洗态射走另一条路

C（音符B）至C A音符C B

并在同质元素上给出，如上所示

x\音符y\地图\sum{（\mu，\nu）}\ε（\mu，\nu）\西格玛^{\nu_1-1}\圆圈\cdot\电路控制器\西格玛^{\nu_q-1}（x）\;\; \奥蒂姆\;\;\西格玛\西格玛^{\mu_p-1}（y）

总金额超过总金额 $（p，q）$ 洗牌秒 $（\mu，\nu）$ 和 $\ε（\mu，\nu）$ 是洗牌的标志。

Alexander–Whitney态射和shuffle态射都尊重到规范化的过程摩尔复合物 $不适用$ 属于 $中国$ 从而也诱导了形态

AW:N A音符N B至N（A音符B）

和

S:N（音符B）至N音符N B\,.

以这种形式，他们满足了

S\circ AW=Id\,.

参见中的定理2.1.a(艾伦伯格MacLane).

所有这些的快速总结在

JoséBurgos Gil，Beilinson和Borel的监管机构(pdf格式)

Moore同链复函子的Lax单数性

Urs Schreiber公司:

我们声称可以证明Moore-cochain复函子

C:CoS（Ab）\到Ch_+^\子弹头（Ab）

从余复阿贝尔群cochain复合体是一个lax单体函子关于 $CoS（抗体）$ 和 $Ch_+^\项目符号（Ab）$ .

这应该是古老和标准的，但在文献中很难找到这种程度的明确表述。（？）中回顾了一些核心方面第7节属于

JoséBurgos Gil，Beilinson和Borel的监管机构(pdf格式)

每幺半群 $K（K）$ 在里面 $CoS（安）$ –一个余复杂环–Moore cochain复合体 $C（K）$ 自然具有幺半群在里面 $Ch_+^\项目符号（Ab）$ –a微分分次代数–通过让产品 $\微笑：C（K）\otimes C（K$ 由复合材料给出

\微笑：C（K）\otimes C（K

哪里

$\mu_{K，K}$ 是的组件lax单体转化表现出松散的单体结构（“排序器”）；
操作 $-\cdot-：K\音符K\至K$ 产品是否打开 $K（K）$ .

这个单体结构是由余弦环导出的 $K（K）$ 在其Moore cochain复合体上 $C（K）$ 是杯形产品.

更确切地说，对于 $X（X）$ 一拓扑空间和 $X^{\增量^n_{顶部}}$ 一套 $n个$ -简单在里面 $X（X）$ 将自己安排到单纯集合 $\Pi（X）=X^{\Delta^\bullet_{Top}}$ –基本∞-广群属于 $X（X）$ –和用于 $R（右）$ 一些戒指让 $地图（\Pi（X），R）$ 是地图的余复杂环 $X^{Delta^n_{Top}\到R$ .

然后

摩尔-科坎复合体 $C（映射（\Pi（X），R））$ 是计算奇异上同调属于 $X（X）$ ;
诱导的幺半群结构 $C（映射（\Pi（X），R））$ 由摩尔-科坎复函子的松弛单数性可知杯形产品在奇异上同调.

我们现在详细推导出这一点。

检查。

对于 $A类$ 一些阿贝尔范畴写 $CoS（A）公司$ 对于的类别余复杂对象中的 $A类$ 和 $Ch_+^\项目符号（Ab）$ 对于cochain复合体的范畴在里面 $A类$ 集中于非负性程度，称为连接或 $\mathbb{N}$ -分级cochain复合体。

回想一下摩尔-科钦复合体函子

C:CoS（A）\至Ch_+^\项目符号（A）

是一个范畴的等价性。这是Dold-Kan通信.

对于 $A类=$ 抗体按照其标准单体范畴结构 $（A，\有时）$ ，有标准单体范畴结构 $（CoS（A），注释）$ 和 $（Ch_+^\项目符号（X），\注释）$ :

对于 $K、 CoS（A）中的L$ 他们的张量积 $音符L$ 是度张量积，即与 $（K\时间L）^n=K^n\时间L^n$ 对于余弦映射，中的余弦映射的张量积 $K（K）$ 和 $L（左）$ .
对于 $五、 W\ in Ch_+^\项目符号（A）$ 他们的张量积 $音符W$ 这个梯度张量积即具有 $（V\otimes W）^n=\oplus_{p+q=n}V^p\otimesW ^q$ 齐次元素上给出其协边界映射 $\V^p\otimes W^q中的数字$ 通过

$d（\nu\otimes\omega）=（d_V\nu）\otimes \omega+（-）^{p}\nu\ocimes d_W\omega\,.$

对于这些标准的单体结构摩尔-科钦复合体函子 $C:CoS（A）\至Ch_+^\项目符号（A）$ 成为lax单体函子具有以下松弛单体自然转化地图 $\mu:C（-）\otimes C（-\ otimes-）\to C（-\otimes-）:CoS（A）\times CoS（A）\to Ch_+^ \bullet（A）$ .

定义（Moore-cochain复函子上的松弛单体结构）

对于 $K、 CoS（A）中的L$ 定义组件映射

\mu_{K，L}:C（K）\otimes C（L）\to C（K\otimesL）

通过在同质元素上定义它

$C^p（K）中的音符b\音符C^q（L）\子集（C（K）\音符C（L））^{p+K}$ 通过

\mu_{K，L}:a\otimesb\mapsto（d_{p+1}）^pa）\otimes（（d_0）^qb）=：a\微笑b\,.

备注

右边的cosimplicial人脸图的迭代应用被认为是生成了一个 $（p+q）$ -余弦复形 $C（音符L）^{p+q}=K^{p>q}\otimes L^{p=q}$ 通过评估 $第页$ -共复数 $一$ 关于最左单纯形 $第页$ -面和 $q个$ -单工 $b条$ 关于最右边的单纯形 $q个$ -面，然后张量生成的组元素。

提议

这个 $\mu_{K，L}$ 这样定义确实是一个cochain映射。

证明

我们必须检查一下 $\亩$ 在这方面尊重共边界地图 $a、 b条$ 如上所述，我们有

d\circ\mu（a\otimes b）=\mu\circ d\,.

根据杯积和摩尔-科坎复合物微分的定义，我们得到了

\开始{对齐}d\circ\mu（音符b）&=d（a \微笑b）\\&=d（（（d_{p+1}）^qa）\音符（（d_）^pb））\\&=\和{i=0}^{p+q+1}（-1）^i d_i（（d_{p+1}）^q a）\音符（（d_）^p b）\结束{对齐}

根据定义，张量积上的面映射 $音符L$ 就是 $K（K）$ 和 $L（左）$ ，所以这是

\光盘=\和{i=0}^{p+q+1}（-1）^i（di（d_{p+1}）^qa）音符（d_（d_0）^pb）\,.

把这笔钱分成三部分

\光盘=\和{i=0}^{p}（-1）^i（di（d_{p+1}）^qa）音符（d_（d_0）^pb）+（-1）^{p+1}（d_{p+1{（d_+\sum_｛i＝p+2｝^｛p+q+1｝（-1）^i（di（d_{p+1}）^qa）音符（d_（d_0）^pb）

现在重复使用单纯恒等式用于面贴图

（i \lt j）\；\；\向右箭头\；\；di\circd_j=dj\circd{i-1}

从左到右传递面贴图。这就产生了

\光盘=\和{i=0}^{p}（-1）^i（（d_{p+2}）^qd_ia）\音符（（d_）^{p+1}b）+（-1）^{p+1}（（d_{p+1}）^{q+1}a）音符（（d_）^pd_1b）+\sum_｛i＝p+2｝^｛p+q+1｝（-1）^i（（d_｛p+1｝）^｛q+1｝a）\时间（（d_0）^p d_{i-p}b) \,.

注意，第二项现在可以自然地包含在第三项的总和中，剩下两个总和

\光盘=\和{i=0}^{p}（-1）^i（（d_{p+2}）^qd_ia）\音符（（d_）^{p+1}b）+\和{i=p+1}^{p+q+1}（-1）^i（（d_｛p+1｝）^｛q+1｝a）\时间（（d_0）^p d_{i-p}b) \,.

将第二个和的求和指数减少 $第页$ 以获得

\光盘=\和{i=0}^{p}（-1）^i（（d_{p+2}）^qd_ia）\音符（（d_）^{p+1}b）+（-1）^p\sum_｛i=1｝^｛q+1｝（-1）^i（（d_｛p+1｝）^｛q+1｝a）\时间（（d_0）^p d_{i} b条) \,.

现在，除了每个和中缺少一个项外，每个和几乎都是摩尔复共边界映射应用程序的交替和表达式。但是缺少的两个项是相等的，并且符号相反，所以我们可以将它们相加

\开始{对齐}\光盘=&\和{i=0}^{p}（-1）^i（（d_{p+2}）^qd_ia）\音符（（d_）^{p+1}b）+（-1）^{p+1}（（d_{p+2}）^qd_{p+1}a）\音符（（d_）^{p+1}b）\\&+（-1）^{p}（（d_{p+2}）^qd_{p2}a）\音符（（d_）^{p2}b）+（-1）^p\sum_｛i=1｝^｛q+1｝（-1）^i（（d_｛p+1｝）^｛q+1｝a）\时间（（d_0）^p d_{i} b条) \结束{对齐}\,.

第三个tirm中简单恒等式的最后一个应用表明，这确实是第四项总和中的缺失项。将结果与我们最终发现的共边界映射和杯积的定义进行比较

\开始{对齐}\cdots&=（d a）\微笑b+（-1）^p a \微笑（d b）\\&=\mu\circ d（音符b）\结束{对齐}\,.

提议

这个 $\亩$ 确实很自然 $K、 L（左）$ 。对于每个 $f:K\至K'$ 和 $g:L\至L'$ 我们有

\阵列{C（K）\otimes C（L）&\stackrel{\mu_{K，L}}{\to}&C（K\otimesL）\\\;\;\;\向下箭头^{C（f）\otimes C（g）}&&；\；\；\向下箭头^{C（音符g）}\\C（K'）\otimes C（L'）&\stackrel{\mu_{K'，L'}}{\to}&C（K'\otimesL'）}

证明

这直接来自于语态 $f、克$ 共复杂对象的面贴图。

提议

自然转化 $\亩$ 实际上是一个松弛的单体变换，因为它在所需的意义上是结合的和幺正的。

证明

我们需要证明这一点 $J、 CoS（A）中的K、L$ 我们有

\阵列{C（J）\时间C（K）\时间C（L）&\堆栈｛Id_｛C（J）｝\时间\μ_｛K，L｝｝｛\to｝&C（J）音符C（K\otimes L）\\\向下箭头&&\向下箭头\\C（音符K）音符C（L）&\stackrel{\mu_{J，K}\otimes Id_{C（L）}}{\to}&C（J音符K音符L）}\,.

在所有同质元素上检查这一点就足够了 $a\otimes b\otime c\in c^o（J）\otimesC^p（K）\otemesC^q（L）$ 。在这里，可以使用简单的恒等式直接进行检查。

备注

当人们观察到上述评论的几何解释时，上述陈述显而易见： $a \音符b \音符c$ 沿着上述广场的两边是 $o+p+q$ -通过评估获得的维度余弦 $一$ 在最左边 $o（o）$ -面部， $第页$ 在中间 $第页$ -面部和 $q个$ 在最右边 $q个$ -面，然后张量生成的组元素。

推论

Moore—cochain复函子

C:CoS（Ab）\到Ch_+^\子弹头（Ab）

可以配备一个相对于标准单体结构松散的单体结构余复阿贝尔群阿贝尔群的结缔连cochain复合体。

$E_\信息$ -单形集上cochains上的杯积

至少对那些人来说余复代数秒 $A类$ 它们是的代数单形集上的cochains $SSet中的S^\项目符号$ ，即。 $A=C（S^\项目符号，R）$ 众所周知，摩尔情结dg-代数 $项目符号（A）$ 配备有杯形产品是一个E-∞-代数。请参阅单形集上的cochains有关详细信息，请参阅。

奎伦当量

定理

有一个奎伦等效

（\Gamma^{mon}\dashv N）：环^{\Delta}\欠置{\underset{N}{\longrightarrow}}{\overset{\Gamma^{mon}}{\ longleftarrow}{\bot}dgRing

连接的cochain dg环和余复杂环之间。

这是中的主要定理皮质醇.

这种等价的一个版本（细化为dg-dg-代数和余复杂dg-算法之间的等价）在(Pridham，定理4.26). 还讨论了这是如何在L-无穷代数的模型结构.

工具书类

原始结果位于

塞缪尔·艾伦伯格,桑德斯·麦克莱恩,关于小组 $H（\Pi，n）$ 二、。计算方法，安。数学。(2) 60 (1954), 49 - 139

桑德斯·麦克莱恩,同源性

经典教科书参考是

查尔斯·韦贝尔,同调代数导论,

这在第8.5.4节中讨论了链函子的对称单数性。

规范化链/Moore复函子的双边单极性和Frobenius单极性在

马塞洛·阿奎尔,Swapneel Mahajan公司,

Coxeter群与Hopf代数菲尔德研究所专著，第23卷(pdf格式)

单体函数、物种和Hopf代数,

lax/oplax结构的许多构造的明确细节见

蒂姆·波特,杂交动物园

在中讨论了连接链dg-代数和单形代数之间的Quillen等价

斯特凡·施威德,布鲁克·希普利,一元模型范畴的等价性阿尔盖布。地理。白杨。3 (2003), 287–334 (arXiv:数学。电话：0209342)

在中讨论了连通余弦dg代数和余弦代数之间的等价性

J.L.Castiglioni、G.Cortiñas、，共简与DG-rings：Dold-Kan对应关系的一个版本J.Pure应用。《代数》191（2004），第1-2期，第119-142期(arXiv:数学。0306289吨,doi:10.1016/j.jpaa.2003.11.009)

本文讨论了char 0域上非负度上的余简交换代数与交换cochain dg-代数之间的等价性

弗拉基米尔·希尼奇,瓦迪姆·谢赫特曼,同伦代数的同伦极限，英寸K-理论：代数、几何、算术，数学课堂讲稿1289，柏林斯普林格240−264
乔纳森·普里德姆,统一导出的变形理论高级数学。224（2010），第3期，772-826(arXiv:0705.0344)

简单案例的类似陈述及其证明提示也在

Benoit Fresse公司,操作数的同伦与Grothendieck-Teichmüller群，第6章：微分分次交换代数与余复代数(pdf格式)

特征0中的连通单形交换代数和连通交换dg-代数之间的Quillen等价性早在

丹·奎伦,有理同伦理论数学年鉴，第二辑，第90卷，第2期（1969年9月），第205-295页(JSTOR公司)

Quillen等价于 $E_\信息$ dg-代数和 $E_\信息$ 单纯形代数在

迈克尔·曼德尔,拓扑André-Quillen上同调与 $E_\信息$ André-Quillen上同调数学高级。，高级数学。177 (2) (2003) 227–279

和

比吉特·里希特

Dold-Kan对应的对称性(pdf格式)

同伦代数与正规函子的逆(pdf格式)

正规链函子的Alexander–Whitney/Eilenberg–Zilber等价是强函子的特例变形收缩构建的链复合体

塞缪尔·艾伦伯格,桑德斯·麦克莱恩,关于小组 $H（\pi，n）$ .II类数学年鉴（1954）

对于任何交换环 $R（右）$ 他们定义了两个单形R-模上正规链的张量积与其水平张量积上正规链之间的链等价性。

另请参阅中的附录

帕沃尔·塞韦拉,托马斯·威尔瓦彻,操作的小圆盘的形式等效,arXiv:0905.1789

上次修订时间：2024年2月15日18:12:23。请参阅历史获取所有贡献的列表。

n实验室单体Dold-Kan对应（变化）

上下文

同调代数

高等代数

代数理论

代数和模

高等代数

模型类别演示

代数形式对偶上的几何

定理

目录

想法

奎伦当量汇总

单纯形代数与链dg-代数

正规链上的Bilax单体Frobenius结构

提议

证明

推论

备注

备注

奎伦当量

引理

简单k个k个-代数与连通dg-代数

提议

证明

提议

证明

简单A类 •A_\项目符号-代数与连通dg-代数

定理

交换式和E类 ∞E_\信息-代数

定理

定理

小时ℤH\mathbb{Z}-模谱与无界dg-代数

余单纯形代数与cochain dg-代数

正常化耳蜗的松弛和松弛单性

亚历山大·惠特尼和洗牌变形

Moore同链复函子的Lax单数性

定义（Moore-cochain复函子上的松弛单体结构）

备注

提议

证明

提议

证明

提议

证明

备注

推论

E类 ∞E_\信息-单形集上cochains上的杯积

奎伦当量

定理

相关概念

工具书类

简单 $k个$ -代数与连通dg-代数

简单 $A_\项目符号$ -代数与连通dg-代数

交换式和 $E_\信息$ -代数

$H\mathbb{Z}$ -模谱与无界dg-代数

$E_\信息$ -单形集上cochains上的杯积