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想法

A类局部同构在一个预切类别$PSh（秒）$是成为同构在传球给滑轮关于给定的格罗森迪克拓扑在$S公司$.

所有局部同构的集合不仅确定格罗森迪克拓扑但正是传递到滑轮时反转的形态集合。因此，局部同构有助于理解滑轮和脱毛在通往同伦范畴属于$PSh（秒）$.

这是反射因子分解系统，适用于剪切反射镜。有关详细信息，请参阅滑轮类别:

在讨论中几何嵌入，中的局部同构$PSh（秒）$正是乘法系统 $W公司$被发送到同构的脱毛函子

哪个在左边准确的 左伴随到充分而忠实包含

公理

一个系统局部同构上的$PSh（秒）$任何态射集合都满足吗

1. 局部同构是一个系统弱等价（即每同构是局部同构，它们满足三取二);

2. 态射$Y到X$是局部同构当且仅当拉回

   $$\阵列{U\times_X Y到Y（&Y）\\｛｝^｛\mathllap｛loc iso｝｝\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{\Leftrightarrow loc iso}}\\上下对齐（&X）}$$

   沿着任何态射$U到X$，其中$U型$是可代表的是局部同构。

与Grothendieck拓扑的关系

上的局部同构系统$PSh（秒）$相当于Grothendieck拓扑在$S公司$.

下面说明了局部同构系统的选择如何等价于局部表态。该声明随后在局部满态.

基于局部同构的局部满态

一个系统局部表态通过声明以下内容，从局部同构系统定义$f:Y\到X$是一个局部满态准确地说，如果$im（f）至X$是局部同构。

基于局部上态的局部同构

给定一个格罗森迪克拓扑就系统而言局部差向同构，构造了一个局部同构系统，如下所示。

A类局部单态关于这个拓扑是一个态射$f:A\至B$在里面$[S^{op}，集合]$这样，正则态射$A\至A\时间_B A$是一个局部满态.

A类局部同构关于Grothendieck拓扑，是$[S^｛op｝，集]$这两者都是局部满态以及上述意义上的局部单态。

与Lawvere-Tierney拓扑的关系

回想一下Grothendieck拓扑在上小类别 $S公司$与……对峙Lawvere-Tierney-拓扑在$PSh（秒）$还有那个脱毛关于Lawvere-Tierney拓扑是以单态形式编码的$PSh（秒）$哪些是稠密的关于Lawvere-Tierney拓扑.

我们有：

这个稠密单态正是同样普通的局部同构单态.

属性

• 局部同构允许左饱和分数微积分.

剪切作用

这个脱毛发送预切 $F类$到其弱等价捆 $\F巴$可以使用上极限局部同构。看那里。

表征和与筛子的关系

通常集中于局部同构，其共域是代表性预处理，即表格中的内容

哪里$U型$是中的对象$S公司$和$Y（Y）$是Yoneda嵌入.这些来自覆盖筛子的格罗森迪克拓扑在$S公司$：用于$U \在S中$和$\｛V_i\到U\｝_i$覆盖物筛子，筛子在$U型$，对应的局部同构是前置层，它是形象联合注入图

使用前缀类别中的语态是严格态射，所以形象和头像一致，这是有用的，着眼于从滑轮到烟囱和∞-堆栈（具体参见单纯预应力的下降)，也就是说头像：对应于覆盖的局部同构筛子，筛子 $\{V_i\到U\}$是

请注意，一般情况下全部的具有代表性余域的局部同构（更普遍的是超覆层，其中$（\sqcup_i Y（V_i））\times_{Y（U）}$依次被其中一个盖子替换）。

(…)

注意，使用每个预sheaf都是可表示的共线这一事实，具有共域a可表示的局部同构已经诱导了一般的局部同构（co-Yoneda引理)并且局部同构/筛在以下条件下是稳定的拉回:

工具书类

这在第16.2节中

• 卡西瓦拉·夏皮拉，类别和滑轮.

具体参见练习16.5，了解Grothendieck拓扑在局部同构方面。