n实验室自由操作（更改）

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高等代数

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想法

A类自由的操作的是自由的操作集合。

给定一个集合 $k个$ -每个人的日常操作 $k\in\mathbb{N}$ ，此集合上的free操作具有 $n个$ -所有操作的集合树具有 $n个$ 带有每个顶点标签的叶子 $v（v）$ 用一个 $k个$ -ary操作，用于 $k个$ 传入边到 $v（v）$ .

定义

让 $V（V）$ 成为对称单体范畴.

对于 $G公司$ 一离散群，写入 $V^G公司$ 对象类别 $V（V）$ 配备有 $G公司$ -行动。对于 $V（V）$ 对称单体，这又是一个对称单体范畴以及健忘函子 $V^G\到V$ 是对称的单体。

定义

的类别收藏(伯格·莫尔迪克)或 $\mathbb{S}$ -模块(格茨勒·卡普拉诺夫)第页，共页 $V（V）$ ，或的类别 $V（V）$ -物种，是

V Coll:=\prod_{n\in\mathbb{n}}V ^{S_n}\,.

请注意，这两者 $S_0（_0）$ 和 $S_1号机组$ 都是平凡的群体。

所以a $V（V）$ -操作的 $P（P）$ 是特别的 $V（V）$ -具有与组件相关的额外结构的集合。这表明健忘函子

U:V操作\至V Coll\,.

定义

这个自由函子左伴随对于这个健忘的函子来说自由操作函子

F:V Coll\stackrel{\leftarrow}{\to}V操作：U\,.

对于 $C类$ 一个给定的集合，我们称之为 $F（C）$ 歌剧演员本系列免费 $C类$ .

备注

这个自由/健忘附加用于定义操作数上的模型结构通过转移.

属性

明确的结构

自由操作函子可以更明确地描述如下（参见(Berger-Moerdijk，第5.8节)).

定义

让 $\mathbb{T}:=核心（\Omega_pl）$ 成为核心平面根范畴的树和空间的形态（所以形态不需要考虑给定的平面结构）。

写入

$t_n\in\Omega_n$ 对于 $n个$ -花冠（有一个顶点的树， $n个$ 输入及其唯一输出根）；
对于 $T型$ 任何带有 $n个$ -ary根顶点let $\｛T_i｝_｛i=1｝^n$ 是这样的子树 $T=T_n\circ（T_1，\cdots，T_n）$ .

然后每次收集 $V Coll中的K\$ 定义函子 $\条形图K:\mathbb{T}^{op}\到V$ 根据归纳公式

\bar{K（K）} : (| \mapsto) ≔ 我

\巴K:(|)|\冒号~~\地图~~我

\bar{K（K）} : T型 \mapsto \bar{K（K）} ({t吨}_{n个} ({T型}_{1}, \dots, {T型}_{n个})) : ≔ = K（K） (n个) \otimes K（K） \bar{K（K）} ({T型}_{1}) \otimes \dots K（K） \bar{K（K）} ({T型}_{n个}) .

\巴~~K（K）~~:T型~~\地图~~\巴K（t_n（t_1，\cdots，t_n））:=\上校（coloneq）K（n）\注释\巴K（T_1）\otimes\cdots\巴K（T_n）\，。

进一步定义函子

\lambda:\mathbb{T}\设置

作为一个函子，将一棵树发送到它的叶子数集，并让 $\bar\lambda:\mathbb{T}\到V$ 通过后合成给出 $S}I中的S\mapsto\coprod_{S\$ ，在右边的什么地方有副产物属于 ${\vert S\vert}$ 张量单位的副本单体范畴 $V（V）$ .

所以对于 $T型$ 一棵树 $n个$ 我们有树叶

\条形\lambda（T）\simeq\coprod_{\sigma\in\sigma_n}I\,,

其中副产物的范围在对称群在 $n个$ 元素。

提议

这个自由操作的收藏 $K（K）$ 与同构共同（coend）

\bar K\otimes_{\mathbb{T}}\bar\lambda=\int^{T\in\mathbb{T}}\bar K（T）\otimes\bar\lambda（T）\,.

备注

石斑虫 $\mathbb{T}$ 相当于不相交联合具有态射的单目标群胚的平面树的上同构类自同构群

\mathbb{T}\simeq\coprod_{[T]\in\pi_0\mathbb}\mathbf{B}Aut（T）\,.

因此，上述系数是等价的

\bar K\otimes_{\mathbb{T}}\bar\lambda=\连杆{[T]\in\pi_0\mathbb{T}}\bar K（T）\otimes_{Aut（T）}\bar\lambda（T）\,.

示例

已操作根树

让 $K（K）$ 成为收藏 $K（0）=\空集$ 和 $K（n）=I$ 对于 $n\gt 0$ 。相应的自由操作数具有as $n个$ -所有根树的ary运算 $n个$ 树叶。操作的组成由树木嫁接给出。

相关概念

自由类别,游离单半群

黎曼曲面运算（待扩展）

Deligne-Mumford opeard（待扩建）

已操作的小光盘,已操作的带框小光盘（待扩展）–参见Deligne猜想

工具书类

关于自由操作的简要评论见第（1.12）节

埃兹拉·盖茨勒,米哈伊尔·卡普拉诺夫,循环运算与循环同调，确认程序。莱克特。注释几何。拓扑IV，内部压力曲面。(1995), 167–201.

详细讨论见第二部分第一章第1.9节

马丁·马克尔、S.Shnider、，是吉姆·斯塔谢夫,代数、拓扑和物理中的运算《美国调查与专著》。数学。Soc.96（2002）。

以及第3节

克莱门斯·伯杰,列克·莫尔迪克,单体模型类别中操作数的Boardman-Vogt分解《拓扑》45（2006），807–849。(pdf格式)

这个共同（coend）-描述见第5.8节

克莱门斯·伯杰,列克·莫尔迪克,操作数公理同伦理论(arXiv公司：0206094)

上次修订时间：2016年3月13日16:30:07。请参阅历史获取所有贡献的列表。