n实验室自由模块（更改）

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代数和模

高等代数

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代数形式对偶上的几何

定理

同调代数

同调代数

（同时非贝拉同调代数)

介绍

上下文

基本定义

稳定同伦理论概念

结构

引理

图形追踪

Schanuel引理

同调理论

定理

目录

想法

A类自由模块超过一些戒指 R（右）R（右）是自由生成的在上设置属于基础元素。

在模作为广义向量丛的解释一自由模块对应于琐碎的捆绑。

定义

概述

让C类C类成为单体范畴、和阿尔及利亚(C类)藻类（C）这个幺半群范畴在里面C类C类; 和用于A类∈阿尔及利亚(C类)藻类（C）让A类A类国防部(C类)（C）属于A类A类-模块在里面C类C类.

这是显而易见的健忘函子 单位:A类国防部(C类)→C类U：A Mod（C）至C发送每个模块的(N个,ρ)（N，\rho）到其基础对象N个∈C类N \以C表示.

定义

这个左伴随 C类→A类国防部(C类)C至A Mod（C）是对应的吗自由施工。此函子映像中的模块为自由模块.

在戒指上

让R（右）R（右）打个电话。我们免费讨论模块结束R（右）R（右）.

提议

对于R（右）∈R\英寸 戒指一戒指和S公司∈S\英寸 设置，免费R（右）R（右）-模块打开S公司S公司与同构|S公司|{\vert S\vert}-折叠直接和属于R（右）R（右）和它自己

R（右） (S公司)≃⊕ 秒∈S公司R（右）.S}R中的R^{（S）}\simeq\oplus_{S\\,.

属性

作为单体函子

让R（右）R（右）是一个交换环，并且让R（右）{X（X）}R\{X\}表示自由R（右）R（右）-集合上的模X（X）X（X）.

提议

免费的R（右）R（右）-模函子相对于集合上的笛卡尔单体结构是强单体的R（右）R（右）-模块。

换句话说，自由模结构将集合理论乘积转换为张量积。因此，它保留了代数对象（例如幺半对象第页，Hopf幺半群对象等）及其同态。特别是，如果M（M）M（M）是集合范畴中的幺半群（因此是具有标准余幺半群结构的双幺半群），那么R（右）{M（M）}R\{M\}是中的双单音对象R（右）国防部R \mathsf{模式}，这正是一个K（K）K（K）-双代数。A组G公司G公司集合范畴中是一个Hopf幺半群，因此R（右）{G公司}R\{G\}是一个Hopf代数-这正是群代数属于G公司G公司.

自由模的子模

让R（右）R（右）是可交换的戒指.

提议

假设选择公理，以下是等效的

  1. 每一个子模块免费的R（右）R（右）-模块本身是免费的；

  2. 每一个理想的在里面R（右）R（右）是免费的R（右）R（右）-模块；

  3. R（右）R（右）是一个主理想域.

证明

（另请参见Rotman，第650-651页.）条件1。立即意味着条件2，因为理想R（右）R（右）与的子模块相同R（右）R（右）被视为R（右）R（右）-模块。现在假设条件2。持有，并假设x个∈R（右）x英寸R是任何非零元素。让λ x个\λ_x表示乘法x个x个（作为R（右）R（右）-模块图）。我们有一连串的猜测R（右）R（右）-模块映射

R（右）→λ x个(x个)≅⊕ J型R（右）→∇R（右）R\stackrel{\lambda_x}{\to}（x）\cong\oplus_J R\stackerel{\nabla}{\to}R

（其中∇\纳布拉是共对角线的地图）；由米田引理，合成贴图R（右）→R（右）R至R形式为λ 第页\λ_r，其中第页∈R（右）r中的r是复合值1∈R（右）1英寸R.自λ 第页\λ_r是阴沉的，我们有λ 第页(秒)=第页秒=1\λr=r s=1对一些人来说秒秒，所以第页第页是可逆的。因此λ 第页\λ_r是可逆的，这意味着λ x个\λ_x是monic。因此R（右）R（右）是一个域。由此我们推断，如果如果如果和克克属于理想的基础我我，然后

0≠如果克∈R（右）⋅如果∩R（右）⋅克R\cdot f\cap R\cdotg中的0\neq f g

从哪里如果如果和克克不是线性独立的，所以如果=克f=克和我我作为R（右）R（右）-模块由单个元素生成，即。，R（右）R（右）是一个主要的理想域。

这种情况3。表示条件1。已被证明在这里.

推论

假设选择公理，在一个戒指上R（右）R（右）这是一个主理想域，每模块有一个投影分辨率长度为1。

请参阅投影分辨率–长度为1的分辨率获取更多信息。

在字段上：向量空间

\开始{命题}\标签｛EveryModuleOverAFieldIsFree｝假设选择公理，如果R（右）=k个R=k是一个领域然后每隔R（右）R（右）-模块是免费的：是的k个k个-向量空间并通过基础定理每个这样的都有一个基础.\结束{命题}

工具书类

教材：

上次修订时间：2023年4月26日06:23:34。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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