证明

如果$（f）$是内射的，然后映射到它的形象 $X\到f（X）\子集Y$是一个双射此外，它仍然是连续的具有尊重到这个子空间拓扑在$f（X）$连续的. 现在具有一尊重双射的到连续的这个功能是一同胚准确地说如果它是一个子空间拓扑在$f（X）$现在，如果一个双射连续函数是开放地图或a封闭式地图（由这个道具。). 但是图像投影$（f）$分别具有此属性，如果$（f）$做（由这个道具。).

证明

在一个方向上，如果$（f）$是内射真映射，那么因为局部紧致空间的正确映射是封闭的，因此$（f）$也是封闭式地图之后，索赔如下封闭注入是嵌入，并且由于闭合映射的图像是闭合的。

相反，如果$（f）$是一个封闭嵌入，我们只需要证明嵌入映射是正确的。所以对于$C\子集Y$一紧致子空间，我们需要证明预成像 $f^{-1}（C）\子集X$也很紧凑。但是自从$（f）$是一个注入（作为嵌入），预图像只是交集$f^{-1}（C）\simeq C\cap f（X）$.

为了确保紧凑，让我们$\{V_i\子集X\}_{i\在i}中$是子空间的开覆盖$C\上限f（X）$因此，根据子空间拓扑，让$\{U_i\子集Y\}_{i\在i}中$是的一组开放子集$Y（Y）$，包括$C\cap f（X）\子集Y$和$V _ i$对…的限制$单位（_i）$到$电容f（X）$。从现在起$f（X）\子集Y$由于假设而闭合，因此补码$Y\设置减去f（X）$是开放的，因此

是一个打开的封面$C\子集Y$.通过压实$C类$这有一个有限的子覆盖。由于将有限子覆盖限制为$电容f（X）$使潜在元素$Y\设置减去f（X）$消失，此限制是的有限子覆盖$\{V_i\子集C\cap f（X）\}$这表明$电容f（X）$结构紧凑。