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Banach空间的直和

想法

概念直接和容易从向量空间到拓扑向量空间; 我们希望探讨一个类似但更普遍的概念Banach空间.

当取两个（或任何有限数)对于Banach空间（即在Banach空和连续线性映射的范畴中），唯一的问题是规范使用；我们有一个选择，完全类似于选择规范笛卡尔空间 $\矩阵{R}^2$（及其复合的变体$\mathbb{C}^2$)：每个一个扩展实数 $p\in[1，\infty]$（实际上还有更多的选择）。事实上，这是一个特例，两份副本的直接和线 $\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$.

对于无穷多个和，天真的直接和不是完成根据这些规范中的任何一个，我们必须完成它，每一个都会得到不同的结果$第页$; 这与不同的序列空间秒$l ^p（磅）$再次说明，这是一个特例，是直线无限多个副本的直接和。

根据最后一个类比，我们谈到$l ^p（大写）$-直接金额。事实上，与标准Banach空间上的其他可能规范相对应，可能会有更多的变化。

定义

让$V（V）$成为巴纳赫空间配备有Schauder基础 $B类$，以便$V（V）$可以唯一地写为无穷大线性组合的元素$B类$又假设基是正态的：任意元素的范数$B类$是$1$; 绝对值：

（其中$我$是基础和$a_i$是标量）。典型的例子是序列空间 $l ^p（磅）$（或有限或不可数的版本）及其通常的基础。

然后给出一个家庭 $W公司$由索引的Banach空间设置 $B类$，的$V（V）$-直接和这个家庭的子空间的直接产品包括$w个$使该和收敛：

（这里再次$我$是基本向量和$w_i（我）$在空间中$W_i（_i）$，标准为$w_i（我）$被接纳$W_i（_i）$以及计入的金额$V（V）$). 然后是规范$w个$是这个总和的范数：

我们可以简洁地写下$V（V）$-直接总和如下：

严格地说，右边唯一的条件是总和存在于$V（V）$; 当然，它的范数是有限的。然而，通常可以为$V（V）$但这样它就没有（有限的）范数。

特别是，如果$V=l^p$（或其有限或不可计数的版本）$第1页$，然后

如果$V=l^\英寸$，然后

这些是$l ^p（磅）$-直接和和$l^\信息$-直接和（这确实是一个特例）。特别是，我们有$l^1号$-直接和:

属性

如果短线性地图被视为态射在Banach空间的范畴中$l^1号$-直接和是副产物、和$l ^\英寸$-直接和是产品.

我们还可以考虑以下抽象概念直接和和弱直积; 这里又是$l^1号$-直接和是直接和$l ^\英寸$-直和是弱直积。（共积和直和相同是很常见的，但对于无限多个对象，弱直积通常与乘积不同。它们在这里的匹配关键取决于完整性.)

如果直和中的每个Banach空间都是希尔伯特空间，然后他们$l^2号$-直接和也是希尔伯特空间。这是希尔伯特空间的直和.英寸希尔布，这是摘要直接和，的弱直积、和副产物因此，对于有限多的对象，它是双积（所以$希尔布$行为很像兽医).

任何巴纳赫空间$V（V）$有基础$B类$是$V（V）$-直接和${|B|}$行的副本($\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$).

直接积分

作为$l ^p（磅）$是勒贝格空间 $L^p（磅）$对于测量空间具有计数措施，无穷和就是积分在这样的测度空间上，我们可以将Banach空间的直和推广到直接积分s.这尤其常见（使用$p=2$)的希尔伯特空间.

工具书类

下面是关于使用范数（on$\mathbb{C}^n$)其他比平时$l ^p（磅）$-规范：

• 加藤、斋藤、帖木儿（2003）；打开$\磅/平方英寸$-Banach空间的直和与凸性；澳大利亚数学学会杂志75，413–422；网状物

在这里，$\磅/平方英寸$是规范，被视为凸函数多个参数。