n实验室派生器（更改）

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同伦理论

$（\infty，1）$ -范畴理论

安（∞，1）-范畴 $C类$ 可以压扁成1类 $ho（C）$ ，称其为同伦范畴通过忘记更高的形态。A类派生器是对 $ho（C）$ 在这个意义上，它保留了关于 $C类$ 用于许多目的，如计算同伦性结肠炎和同伦极限粗略地说，这个想法是为了保留同伦范畴所有类别的图表在里面 $C类$ 以及诱导的仿函数他们之间。因为导数只能用普通的2类理论上，当一个人需要比同伦范畴保留，但不是全部（∞，1）-范畴 $C类$ .

非常相似的结构是由独立发明的格罗腾迪克（他介绍了“衍生工具”这个名字），亚历克斯·海勒（他将自己的版本称为“同伦理论”），以及Franke（他只考虑了稳定的case称他的版本为“三角图分类系统”）。下面给出的定义结合了三者工作中的元素。

动机

派生词的概念可以通过几种方式激发。

作为一个折衷的概念

假设我们从我们真正研究的角度出发同伦论是（∞，1）-类别. The（∞，1）-范畴的同伦范畴（通过将所有等价的1-同态设置为相等而获得的1-范畴）是一个相当粗略的不变量，但对于某些目的来说，它是足够的。另一方面，有时我们需要的不仅仅是同伦范畴，而是用 $（\infty，1）$ -类别在技术上可能令人望而却步。通常，我们需要从 $（\infty，1）$ -同伦范畴中不存在的范畴就是要知道我们有行为良好的同伦极限s和同伦大肠杆菌第条。

A类派生器因此，它是一个折衷的概念，比同伦范畴包含更多的信息，但比同伦类更容易处理 $（\infty，1）$ -类别。它由一个同伦范畴和额外的结构组成，这些结构使人们能够用同伦极限和共线进行计算。任何 $（\infty，1）$ -具有足够多极限和共鸣的范畴有一个潜在的派生器，使用这些派生器就足以满足我们可能想要处理的数量惊人的事情 $（\infty，1）$ -类别。然而，派生词本质上是一个1-范畴的概念，所以我们可以用普通的2类理论。因此，派生器提供了高等范畴理论，这为我们提供了仅使用普通语言来描述更高范畴理论的语言范畴理论，没有强调任何特定的模型（实际上，没有假设我们知道任何这样的模型）。

例如，事实证明，我们还可以表达许多方便的通用属性就导数而言。一个引人注目的例子是三角分类：如果 $A类$ 是一个阿贝尔范畴，其（有界）派生类别 $D^b（甲）$ 不是由通用属性定义的。一个自然的说法是，给定一个三角范畴，加法函子的范畴 $A至T$ 哪个发送短精确序列s到可分辨三角形等价于三角函子范畴 $D^b（A）至T$ ，但这种说法是错误的，事实上，甚至没有意义（除非 $A类$ 是半简单的). 但是，在实践中，一切都表现得好像上面的陈述是有意义和真实的。这不起作用的“原因”是圆锥体三角化类别中的地图的属性不是由通用属性定义的。另一方面，复形态射的锥 $X到Y$ 是规范定义的：这是同伦大肠杆菌图表的 $0\左箭头X\至Y$ 在导数的世界中，我们可以纠正这种情况并恢复适当的普适性。

作为 $（\infty，1）$ -类别

另一方面，我们可能会问：为什么我们想当然地认为同伦论属于空格提供了一个良好的概念∞-广群? 为什么我们要期待一切丰富在更高的群聚体中？从先验来看，这似乎是武断的（尽管它确实很有效）。相反，我们可能会问：什么是数学结构，在这个数学结构上，一切都被规范地丰富了？我们如何才能正确地表述这样一个问题？

概念派生器提供了一种正确表述此类问题的方法，结果证明答案基本符合我们的预期。每种类型的“范畴理论”（至少，没有先验的鉴于丰富)我们可能想要做的是自动地、独特地丰富同伦类型，即在同伦范畴中CW-复合体或Kan复合体（对于普通的1-范畴理论，这种丰富是微不足道的，即通过被视为离散同伦类型的集合来表示因子。）导子只是一种具有普通特征的结构范畴理论:类别,函子第页，自然转化第页，Kan扩展第页，格罗森迪克纤维然后我们可以证明，任何导子都会获得这样的丰富，因此同伦类型是“范畴理论”的典型丰富场所

定义

前置器

让猫表示2类属于大的类别（甚至不一定局部较小)，并让 $迪亚$ 是2类小类别，认为是图表秒一个常见的选择是2类全部的小类别（生成 $猫$ )，但我们也可以选择有限范畴的2范畴。A类预偏导器具有域 $迪亚$ 是严格的2-函子

直径^{op}\覆盖{D}{to}猫

像往常一样， $（-）^｛操作｝$ 表示2类的单细胞对偶。因此，预导数是“ $猫$ -有价值的预切“上的 $迪亚$ 前置器形成2类 $PDer公司$ 其形态是伪自然变换并且其2个单元格是修改第条。

另一个常见的约定是使用双对偶 $直径^{coop}$ 它同时颠倒了1细胞和2细胞，尽管在文献中有时令人困惑的是，这种双重对偶仍然被表示为“ $直径^{op}$ ”. 后一种选择的动机似乎是 $D（A）$ 是“预升在 $A类$ 值在中 $D类$ “而不是类别”图表形状的 $A类$ 在里面 $D类$ “我们选择了上面的约定，因为导子的主要目的是计算同伦极限和共线，通常取协变函子的极限和共点。然而，由于 $直径^{coop}$ 与同构 $直径^｛op｝$ 通过2-函子 $（-）^{op}$ （只要 $迪亚$ 在中的相反类别下关闭 $猫$ )，差别真的很小。

有两个主要的激励示例。首先，任何类别 $C类$ 通过赋值定义“可表示”的预驱动程序 $A\mapsto Hom（甲、丙）$ ，正在发送 $A \英寸直径$ 函子范畴 $A\至C$ 。这定义了嵌入 $猫$ 进入之内 $PDer公司$ .

其次，如果 $C类$ 是任何弱等价范畴，有一个预导数 $Ho（C）$ 它发送 $A \英寸直径$ 到本地化/同伦范畴 $Ho（C）（A）$ 属于 $霍姆（A，C）$ 相对于对象弱等价（因为我们允许在 $猫$ 有大的霍姆塞特s、存在这些本地化）。一般来说，这是一个不可表示的预导数，当然，如果弱等价物只是同构s、它简化为可代表的情况。请注意，为了构建它，我们不需要任何东西，除了普通的(2-)范畴理论.

衍生工具

A类派生器是预导数 $D类$ 它满足一系列公理。这些公理分为两类。

第一组公理表示存在行为良好的同伦极限和共线，更普遍地说同伦Kan扩张s。具体而言，我们需要以下内容。

（Der3）对于任何函子 $u:X\到Y$ 在里面 $迪亚$ ，的反像函子 $u^*：D（Y）到D（X）$ 承认左伴随 $u_！$ 和a右伴随 $u个_*$ 。这些可以理解为同伦Kan扩张秒

$（u_！\dashv u^*\dashv-u_*）:D（X）\斯塔克雷尔{\覆盖{u！}{\到}}{\斯塔克雷尔{\重叠{u^*}{\leftarrow}}{\下划线{u_*}{\to}}}D（Y）$
（4级）对于任何逗号方形

$\数组{A&\覆盖{g}{\to}&B\\^f\向下箭头&\sw箭头&\向下箭头^v\\C&\ underset｛u｝｛\to｝和E｝$

在里面 $迪亚$ ，的Beck-Chevalley变换秒

$f！g^*\到u^*v_！\quad\text{和}\quad v^*u_*\到g_*f^*$

是同构s.直觉上，这表示所讨论的Kan扩展是逐点。在存在第二组公理的情况下，当 $C类$ 是终端类别（对于第一种情况）以及何时 $B类$ （第二次）是这样的。

第二组公理是“捆“条件。当然，我们不能断言 $D类$ 正好是一捆（在适当的2-范畴意义)，因为中的端子类别 $迪亚$ 是2-绝对稠密的，所以它上面的任何一层都是可以表示的（并且由 $D（1）$ )，而我们也希望允许不可表示的派生器。但我们确实需要一些乳白色的特性才能做到范畴理论以下所有公理都可以理解为对某些人的断言覆盖家庭 $\{Y_i\到X\}$ 在里面 $迪亚$ ，规范映射 $D（X）到描述（D，{Y_i\}）$ 从 $D（X）$ 到类别下降覆盖数据，而不是等效，具有一些较弱的良好特性。它们也可以理解为2类素描条件。

标准公理是：

（Der1） $D\colon Dia^{coop}\到猫$ 拿副产物s到产品。有时我们只对有限的副产品要求这样做。特别是，我们有 $D（\emptyset）=1$ .
（2级）对于任何 $X英寸直径$ ，考虑函子族 $x\冒号1\至x$ 由 $X（X）$ 然后是诱导函子

$D（X）\覆盖{（X^*）}{\to}\prod_X D（1）$

是保守的（尽管通常不忠实）。这反过来意味着任何联合体都是如此基本上是满腹的函子家族。
（Der5）对于任何 $X英寸直径$ ，如果 $我$ 表示间隔类别，然后是诱导函子

$D（X乘以I）到Hom（I，D（X））$

是基本上是满腹的和满的（尽管如此，它通常并不忠实）。由于这个函子也由（Der2）保守，因此它是一个弱窒息函子.

（Der5）有很大变化。有时，当 $我$ 是任意的（可能是有限的）自由类别。一些引用在定义中根本不包括（Der5），而是调用派生器坚强的如果满足（Der5）。

迈克·舒尔曼：我很清楚，这些都是理想的要求，而且所有形式的派生器都满足这些要求 $Ho（C）$ ，但我真的很想从概念上解释为什么这些公理是足够的.

很容易看出，如果 $C类$ 中的所有函子都有逐点的左Kan和右Kan扩展 $迪亚$ 则其可表示的预导数是导数。更难证明的是，如果 $C类$ 是一个模型类别（或者更一般地说，具有行为良好的同伦Kan扩展），然后是预导数 $Ho（C）$ 也是一个衍生物。因此，派生器对以下概念进行编码同伦大肠杆菌和，共同伦极限再次注意，这种看待同伦（co）极限的方法除了通常的（2-）范畴理论之外，没有使用任何东西。

半导数

有时考虑类似于导数但“没有全部的限制和结肠炎。”让我们这样说半导数是满足（Der1）、（Der2）和（Der5）的预导数。

如果 $D类$ 是半导数， $x在D（B）中$ 是一个 $B类$ -形状图，以及 $v\冒号B\到C$ 是中的函子 $迪亚$ ，然后是逐点左延伸属于 $x个$ 沿着 $v（v）$ 是一个对象“ $v_！x个$ “在中 $D（C）$ ，以及一个态射 $x\到v^*v_！x个$ 哪个是最初的在中逗号类别 $（x/v^*）$ （这说明 $v_！x个$ 是左伴随的“局部”或“部分”值 $v_！$ 在 $x个$ ，尽管整个函子 $v_！$ 可能不存在），它还满足局部Beck-Chevalley条件对于上述任何逗号方块。我们对逐点右扩展.

我们说半导数是完成（分别。共同完成)如果它允许所有点式右（左）扩展。很明显，当半导子既是完全的又是余完全的时，它就是导子。

历史评论

格罗森迪克对派生器只包括公理（Der1）、（Der2）、（Del3）和（Der4）。
亚历克斯·海勒的定义同伦论包括有限自由范畴的公理（Der1）、（Der2）和（Der3），（Der4）的弱形式，以及（Der5）。伊斯尖同伦理论添加a的公理指向导数和他的稳定同伦理论包括现在用于稳定导数.
Franke对三角图分类系统无法还原指出，采取 $迪亚$ 由在点集上丰富的范畴组成。（请参见指向导数对于这种方法与向未被污染的派生概念添加“指向性”公理的关系。）在这种情况下，他假设区间范畴的公理类似于（Der1）、（Der2）、（Del3）、（Ger4）和（Der5），加上稳定性公理。他还指出，如果 $迪亚$ 完全由偏序集组成，然后（Der4）遵循其他公理。

公理（Der1）–（Der4）显然是最容易激励和最明显必要的。Axiom（Der5）用于处理中的态射 $D（*）$ 首先将其提升至 $D（I）$ 特别是，有必要得出这样的结论：稳定的导数可以提供三角范畴.

计算同伦Kan扩张

我们现在描述一个“总括”定理，它是使我们能够用同伦Kan扩张s在导数中。

$D类$ -等价物

对于任何函子 $u\colon I至J$ 在里面 $迪亚$ ，我们说它是一个 $D类$ -等效如果诱导变换 $（\pi_I）_！（\pi_I）^*\到（\pi_J）_！（\pi_J）^*$ 是同构，其中 $\pi_I\冒号I\至*$ 是对终端类别和类似的 $\pi_J（_J）$ 这意味着同伦结肠炎常数形状图 $我$ 和 $J$ 是等效的。由米田引理，这相当于说

D（*）（（\pi_J）_！（\pi_J）^*X，Y）到D（*）（（\pi_I）_！（\pi_I）^*X，Y）

是所有人的同构 $十、 D（*）中的Y\$ 通过附加，这相当于说

D（J）（（\pi_J）^*X，（\pi_ J）^*Y）到D（I）（（\ pi_ I）^*X，（\ pi_I）^*Y）

是同构，即 $u个^*$ 当局限于 $\pi_J（_J）^*$ 特别是，如果 $u个^*$ 是完全忠实的 $u个$ 是一个 $D类$ -等效性。

在一个可表示的导数（即在普通范畴理论中）中，形状常数图的共线 $我$ 是一个联合电力公司具有一组连接的组件 $我$ 因此，在可表示的导数中，任何在连通分量集上诱导同构的函子都将是 $D类$ -等价，只要所讨论的类别不是预先订购.

相比之下，在来自模型类别或 $（\infty，1）$ -范畴，形状常数图的集合 $我$ 是与神经属于 $我$ 被视为 $\英菲$ -广群，所以在这种情况下，任何诱导神经同伦等价的函子（更强的条件）都是 $D类$ -等效性。事实上，可以显示：

定理

(亚历克斯·海勒，西辛斯基）诱导神经同伦等价的函子是 $D类$ -任何导数的等价性 $D类$ .

这已经被证明了海勒使用规范丰富任何导数的 $\英菲$ -群胚。根据西辛斯基定理，神经当量最小基本定位器，一旦我们确认 $D类$ -实际上，等价性是一个基本的本地化，因为我们现在将继续这样做。

引理

中的任意函子 $迪亚$ 带有完全忠实的左或右伴随词的是 $D类$ -等效性。

证明

如果 $f\dashv g公司$ 在里面 $迪亚$ ，然后 $g^*\dashv f^*$ ，如果 $（f）$ 是完全忠诚的，那么部队 $1至g f$ 是同构，因此单元也是同构的 $1至f^*g^*$ 因此 $克^*$ 也是完全忠实的，所以 $克$ 是一个 $D类$ -等效性。另一种情况是双重的。

引理

让 $工作_ D$ 表示 $D类$ -中的等效项 $迪亚$ .然后 $工作_ D$ 饱和，在这种意义上，如果 $u\colon I至J$ 是中的同态 $迪亚$ 在中成为同构 $直径[W_D^{-1}]$ ，然后 $u个$ 是一个 $D类$ -等效性。

证明

修复一些 $十、 D（*）中的Y\$ 考虑函子 $\Phi\colon Dia\设置^{op}$ 它发送 $我$ 到 $D（I）（\pi_I^*X，\pi_I ^*Y）$ .自 $\菲律宾比索$ 反转 $D类$ -等价物，it通过 $直径[W_D^{-1}]$ .但如果 $u个$ 成为同构 $直径[W_D^{-1}]$ ，那么它必须被 $\菲律宾比索$ ，但这就是作为 $D类$ -等效（作为 $X（X）$ 和 $Y（Y）$ 变化）。

引理

对于任何 $D类$ ，类别 $D类$ -等价物是基本定位器.

证明

饱和提供三取二的特性，并在收缩下闭合。如果 $A类$ 有一个终端对象，那么 $A\至1$ 具有完全忠实的右伴随，因此是 $D类$ -等效性。最后，给出一个三角形

\数组{A&&\覆盖{u}{\to}&&B\\&_v\searrow&&\swarrow_w\\&&C，}

来证明这一点 $u个$ 是一个 $D类$ -等价，这足以表明转换 $v_！\pi_A^*\到w_！\像素_B^*$ 是一种同构。通过（Der2），检查任何 $c \以c表示$ 。然后我们可以形成逗号对象

\数组{v/c&\覆盖{g}{\to}&A\\^f\向下箭头&&\向下箭头^v\\*&\underset{}{\to}&C}\quad\text{和}\quad\数组{w/c&\覆盖{k}{\to}&B\\^h\向下箭头&&\向下箭头^w\\*&\将{}{\设置为}&C}

和转变 $c^*v_！\pi_A^*\到c^*w_！\像素_B^*$ 因素为

c^*v_！\pi_A^*\cong f_！g^*\pi_A^*\cong f_！\pi{v/c}^*\到h！\pi_{w/c}^*\cong c^*w_！\像素_B^*

对函子使用类似映射 $v/c\到w/c$ 因此，如果 $v/c\至w/c$ 是一个 $D类$ -等价，这个复合是一个同构，如果这适用于所有人 $c（c）$ ，然后通过（Der2）， $u个$ 是一个 $D类$ -等效性。

因此，由于神经等价物是最小的基本定位符，因此每个神经等价物都是一个 $D类$ -任何导数的等价性 $D类$ .

精确正方形

现在假设给定任何平方

\数组{L&\覆盖{p}{\to}&I\\^q\向下箭头和\向下箭头^\mu和\下箭头^u\\J&\underset{v}{\to}&K}

在里面 $迪亚$ 通勤到指定的2个单元 $\亩$ .给定一个导数 $D类$ ，我们说这个正方形是 $D类$ -准确的如果Beck-Chevalley变换秒

q_！p^*\到v^*u_！\四元\text{和}\quad u^*v_*\到p_*q^*

是同构的。（事实上，如果其中一个是同构，那么另一个也是同构，因为它们是配偶因此，导数公理表示所有逗号方块都是精确的。

就像精确正方形在普通范畴理论中，这是一个“功能”定义，但我们也可以使用或多或少相同的论点给出更明确的表征。给定上述正方形 $i \在i中$ , $j中的j$ ，我们写 $（i/L/j）$ 对于对象为三元组的类别

\big（L中的\ell\，\，i\overset{\alpha}{\to}p（\ell），\，q（\ ell）\overset{\beta}{\to}j\big）。

的形态 $（i/L/j）$ 是态射 $\gamma\colon\ell\to\ell'$ 在里面 $L（左）$ 这使得明显的三角形相互转换。现在有一个函子 $冒号（i/L/j）到K（u（i），v（j））$ （后者被视为离散类别），它将上述三元组发送到组合

(1)

u（i）超集{u（\alpha）}{to}u（p（\ell））

在里面 $K（K）$ .

定理

上面的正方形是 $D类$ -精确当且仅当全部 $i \在i中$ 和 $j中的j$ ，函子 $（i/L/j）至K（u（i），v（j））$ 是一个 $D类$ -等效性。

证明

很容易验证精确正方形的水平或垂直粘贴组合是否准确；因此，如果给定的平方是精确的，那么合成也是精确的

\数组{（L/j）&\覆盖{}{\to}&L&\覆盖}{p}{\to}&I\\\向下箭头&\向下箭头&\downarrow^q&\向下方向箭头&\下箭头^u\\*&\underset{j}{\to}&j&\undreset{v}{\to}&K}

对于任何 $j中的j$ ，其中左边的方块是逗号方块。相反，如果所有这些正方形都是精确的，那么给定的（Der2）也是精确的。我们玩同样的游戏，用顶部的逗号方块组成，得出结论：给定的方块是精确的当且仅当所有的诱导方块

(2)

\数组{（i/L/j）&\覆盖{f}{\to}&*\\^g\向下箭头&\向下箭头&\向下箭头^{\mathrlap{u（i）}}\\*底部｛v（j）｝｛\to｝&K｝

是准确的。但是广场

\数组{K（u（i），v（j））&\覆盖{s}{to}&*\\^t\向下箭头&\向下箭头&\downarrow^{\mathrlap{u（i）}}\\*&\下置{v（j）}{\到}&K}

是准确的，因为它是一个逗号正方形，而根据逗号正方形的通用属性，正方形(2)函子通过这个唯一因子 $r \冒号（i/L/j）\到K（u（i），v（j））$ ，这正是函子 $第页$ 上述定义。具体来说，我们有 $f=s r$ 和 $g=t r$ 因此，Beck-Chevalley变换 $g_！f^*\到（vj）^*（u i）^*$ 等于合成

g_！f^*=t！r_！r^*s^*\到t_！s ^*\到（v j）^*（u i）^*

其中第二个映射是逗号方形的Beck-Chevalley变换，这是一个同构。因此，(2)是准确的 $t！r_！r^*s^*\到t_！秒^*$ 是一种同构。但这恰恰说明了这一点 $第页$ 是一个 $D类$ -等效性。

据说正方形是同伦精确如果是的话 $D类$ -适用于所有导数 $D类$ （或者，相当于所有人 $（\infty，1）$ -类别，或所有模型类别，或简单丰富的类别）。

推论

一个正方形是同构精确的当且仅当对于所有 $i \在i中$ 和 $j中的j$ ，函子 $（i/L/j）至K（u（i），v（j））$ 诱导神经的弱同伦等价。

证明

“If”直接来自定理1以及前面的定理。相反，我们可以 $D类$ 成为空间的导数( $\英菲$ -群胚），其中 $D类$ -等价正是神经等价。

推论

对于每个 $i \在i中$ , $j中的j$ 、和 $\varphi\冒号u（i）\到v（j）$ 在里面 $K（K）$ ，让 $（i/L/j）_\varphi$ 表示的子类别 $（i/L/j）$ 由复合物的三元组组成(1)等于 $\瓦尔斐$ 那么平方是同伦精确的当且仅当每个类别 $（i/L/j）_\varphi$ 有收缩的神经。

这为计算许多同伦极限和共线提供了一种方便的方法，在任何导数中都有效，并且强者在任何 $（\infty，1）$ -类别或模型类别。示例应用程序位于同伦精确平方.

2类导数

我们现在可以考虑2类导数。实际上，有几种不同的方法来定义这样一个2范畴，这取决于我们是否需要态射来保持同伦共鸣、极限，或者两者都不需要。让我们写 $德_！$ 对于其形态保持共鸣的2范畴。因此：

它的对象s是导数，
它的1-同构是伪自然变换 $F： D\至D'$ 它与函子交换 $u_！$ （即，这些的规范比较映射是同构的），
它的2个单元格是修改在这些之间。

我们写作 $哼！（D，D'）=Der_！（D，D’）$ 对于这两个类别中的hom-categories。

免费协同完成

现在，给出一个小类别 $X（X）$ ，有一个 $2$ -函子，通过在 $X（X）$

德_！\到类别，映射到D（X）。

注意，对于任何（预）导数 $D类$ ，类别 $D（X）$ 在规范上等同于该类别 $霍姆（X，D）$ 的语态预偏导器从 $X（X）$ 到 $D类$ （考虑到 $X（X）$ 作为可代表的预导数）。当然， $X（X）$ 通常不会本身成为派生器，但尽管如此 $2$ -函子是可代表的在2类中 $Der_！$ .

因此，存在一个导数 $\宽度{X}$ 被赋予前导数的态射 $h： X\到\宽{X}$ （称为Yoneda嵌入），这样，对于任何派生器 $D类$ ，用h组合定义了类别的等价性

哼！（\widehat{X}，D）\simeq Hom（X，D）=D（X）。

换句话说，地图 $h： X\到\宽{X}$ 是“免费完成 $X（X）$ 同伦结肠炎”在派生词的意义上。

此外， $\宽度{X}$ 可以非常明确地描述：它是与简单预升的模型范畴在 $X（X）$ 特别是，通常单形集的同伦理论产生导数 $\宽海特{*}$ ，其中 $*$ 代表终端类别。请注意，为了得出这个结论，我们并不认为这是理所当然的同伦型s应该很重要：它的普适性纯粹是用普通范畴理论来表述的。

从那里，你可以看到任何派生器都在派生器中进行了规范化的丰富 $\widehat{*}\simeq Ho（SSet）$ ：作为 $*$ 唯一作用于任何预导数， $\widehat{*}\simeq Ho（SSet）$ 唯一作用于任何派生子（只要我们要求与同伦结肠炎兼容）。因此同伦假说可能会被模糊地重新表述为：是否有一个代数模型 $\宽海特{*}$ ? 然后人们可能会猜测，某种更高群聚体的概念可能会起作用。

导数的构造

将导数视为 $（\infty，1）$ -范畴及其同伦范畴，并回顾 $（\infty，1）$ -类别通常由弱等价的范畴尤其是模型类别，我们可以用两种常见的方法构造导数。

来自同伦论

如果 $（C、W）$ 是一个弱等价范畴，则表示由定义的预导数 $D_C（X）=类别（X，C）=C^X$ 具有弱等价性 $宽^X$ 在每个类别上 $C^X公司$ 。我们定义同伦预导数 $Ho（C）$ 通过反转每个图表类别中的这些弱等价：

Ho（C）（X）=Ho（C^X，W^X）=C^X[（W^X，^{-1}]

定理（Dwyer、Hirschorn、Kan和Smith）

如果 $C类$ 是一个同主题范畴具有功能三箭头演算?，然后 $Ho（C）$ 是满足公理（Der1）、（Der2）和（Der5）的预导数。

事实上，假设每个小类别 $X（X）$ , $C^X公司$ 承认一个（不一定是函数的）三箭头演算，但在实践中，只有当我们对 $C类$ .

定理（Cisinski，2003）

如果 $C类$ 是一个模型类别（完全和余完全，但可能没有函数因式分解），那么 $Ho（C）$ 是派生器（使用Der5的强版本）。

公理（Der1）很容易检查 $C类$ 有函数因式分解，我们有函数三箭头演算。Axiom（Der3）也很容易，因为同伦极限弱等价范畴中的共线是导出函子s，因此它们为导出的回调函子提供了左和右邻接。（这进一步表明，模型范畴中的同伦极限和Kan扩张与同伦导子中的同伦极限和Kan-扩张的概念一致，因此通过在 $Ho（C）$ 我们真的在研究我们想研究的东西。）Axiom（Der4）需要一些工作；使用内射模型结构在里面（格罗斯）公理Der 5在（Radulescu Banu）对于合适的（共）纤维类别，上述定理仍然成立，对于这些类别，内射结构和射影结构的合适版本总是可用的；参见中的定理9.5.5（Radulescu Banu）.

注意，如果 $C类$ 是任何完整的和辅助完整的1类，我们可以为其配备平凡模型结构其中唯一的弱等价是同构。然后是上面的导数 $Ho（C）$ 与可代表的预导数相同 $D_C（X）$ ，可以很容易地直接证明它是一个导数。

在这方面，有趣的是要指出，一个给定的同伦范畴可以对一个导子进行多次“丰富”。例如，一个域上链复合体模型范畴的同伦范畴等价于该域上的分次模范畴，它本身是完全的和余完全的。因此我们有两个不同的导子，它们具有等价的基本同伦范畴 $D（*）$ .

发件人 $（\infty，1）$ -类别

如果 $C类$ 是一个（∞，1）-范畴，它有一个同伦范畴 $Ho（C）$ 通过识别等价物获得1-形态.如果我们的 $（\infty，1）$ -类别建模方式拟范畴，然后 $Ho（-）$ 是左伴随的神经，通常表示为 $\τ_1$ .

因为类别是特殊的 $（\infty，1）$ -类别，对于任何类别 $X（X）$ 我们有一个函子（∞，1）-范畴 $抄送$ ，因此是同伦范畴 $Ho（C^X）$ 。我们定义同伦预导数属于 $C类$ 通过

Ho（C）（X）=Ho（C^X）。

如果 $C类$ 有限制和腹痛 $（\infty，1）$ -那么，绝对意义 $Ho（C）$ 是导数（这是对中逐点Kan扩展理论的解释 $\英菲$ -类别）。这一点的证明已在图中勾勒出来GPS，示例2.5.与共纤维类别关联的派生词的比较（因此也与任何模型类别关联） $C类$ 和与Dwyer-Kan定位相关的派生词 $C类$ 由讨论伦茨.

异国情调的例子

也有不满足（Der5）的导子的例子，它们不是以这种方式从同伦理论或更高范畴理论中产生的。例如，请参见中的备注5.4和示例5.5拉格卡斯·尼科洛斯.

属性

可呈现导数和组合模型类别

我们讨论了派生器确实构成（∞，1）范畴理论.

定理

潜艇-2类第页，共页“本地可展示“带有左伴随词的派生词作为它们之间的形态2类所有导数（参见在上面)，是相等的到2本地化属于的2类左侧正确¹ 组合模型类别在奎伦当量.

如所示(雷诺丁2006). 请参阅Ho（CombModCat）了解更多信息。

请注意局部可表示（∞，1）-范畴正是那些（∞，1）-类别出现的，直到（∞，1）-范畴的等价性作为单纯形局部化属于组合模型类别因此，这个定理表明，至少有一个两个范畴的等价性在2类表示派生词和同伦2-范畴的（∞，2）-范畴 Pr（∞，1）类别然而，似乎缺少这方面的实际证据。

作为推论，我们得到了一个标准比较函子

Ho（普德尔）\长向右箭头Ho（Pr（\infty，1）类别）

从同伦范畴具有左伴随态的可表示导子到（∞，1）-范畴的同伦范畴属于Pr（∞，1）类别.

这是由通用属性的2-本地化从函子的事实 $长^H$ 形成的单纯形局部化

L^H\；\冒号\；CombModCat\longrightarrow Ho（Pr（\infty，1）类别）

发送奎伦当量到（∞，1）-范畴的等价性（请参见可表示的无限类别#PresentedByCombinatorialSimplicialModelCategories）。

工具书类

概述

术语派生器最初是由于格罗腾迪克，引入于追赶烟囱。格罗森迪克（Grothendieck）2000页手稿（法语）关于派生词的前15章可在以下网址找到：

亚历山大·格罗滕迪克,Les Dérivateurs公司

独立地，有一个版本是由于亚历克斯·海勒（他称之为“同伦理论”）：

亚历克斯·海勒,同伦理论《美国数学学会回忆录》，第71卷，第383期（1988年）。

亚历克斯·海勒，稳定的同伦论与稳定性,先生–请参阅指向导数和稳定导数

显然，Franke的开发也是独立的，他对所指案例采取了丰富的方法，并假设稳定：

Jens Franke，具有Adams谱序列的三角范畴的唯一性定理,K理论档案

Georges Maltsinotis为这个话题写了一篇介绍（法语）：

乔治·马尔锡炎,格罗森迪克达普雷兹私人酒店简介，预印本（2001）秒

他还提供了课程（英语），2010年9月，塞维利亚，第3部分是关于派生词的：

乔治·马尔锡炎
- 第一讲（本地化者）
  
  第二讲（模型类别）
  
  第三讲（衍生工具）
  
  衍生品概述

上述材料的一部分改编自

丹尼斯·查尔斯·西辛斯基,派生词博客评论

西辛斯基也写了一些关于这个主题的论文（法语），可以在他的主页.

-图像指导了上同调词dans les catégories de modèles。安。数学。布莱斯·巴斯卡, 10(2):195–244, 2003.
-猫头鹰队势不可挡，公牛队。社会数学。法国，《汤姆138》（2010）第3期，第317-393页。NUMDAM公司

衍生工具最近也被戈萨洛·塔布阿达在高等数学的普遍表征中代数K理论:

戈萨洛·塔布阿达，“通过泛不变量的高等K理论”arXiv公司.

本文介绍了英语中的一些指向导数和稳定导数理论：

丹尼斯·查尔斯·西辛斯基和阿姆农·尼曼,导数K理论的可加性,先生

介绍性讨论旨在稳定导数s也在中

莫里茨·格罗斯,单体导数和加性导数,arxiv/1203.5071型;导数、点导数和稳定导数(pdf格式)

其他参考资料包括：

Andrei Radulescu Banu，同伦理论中的共纤维，arXiv:数学/0610009, 2006
Tobias Lenz，共纤维范畴和拟范畴的同伦（预）导子，代数。地理。白杨。18第6期（2018年），第3601–3646页。arXiv:1712.07845
Ioannis Lagkas-Nikolos，稳定导数上可分单子上的水平模,arXiv:1608.06340, 2016
科利、伊恩、，半导数理论,arxiv:2010.12057年12月, 2020
詹姆斯·理查森，富集衍生物,arXiv:2010.07740号, 2020
莫里茨·格罗斯,凯特·蓬托、和迈克·舒尔曼,稳定导数中的Mayer-Vietoris序列同调、同伦和应用2014年第16（1）期，arxiv公司：1306.2072

与的关系 $\英菲$ -类别

关于导数作为两类研究工具的非正式讨论$（\infty，1）$-类别包含在中

迈克·舒尔曼,从低类别中挤出高类别(博客)

在报纸上

奥利维尔·雷纳丁,对Quillen和les dérivateurs的某些同源性的研究《纯粹与应用代数杂志》第213卷第10期，2009年10月，第1916-1935页(arXiv:数学/0603339,doi:10.1016/j.jpaa.2009.02.014)

事实证明2类第页，共页“本地可展示“派生器等价于本地化属于2类组合模型类别在奎伦当量（另请参阅Ho（CombModCat）). 因此，在某种意义上，派生器捕获了关于组合模型类别的“所有信息”，因此也捕获了关于局部可表示（∞，1）-范畴.

沿着类似的路线

凯文·阿林，关于∞范畴Whitehead定理和拟范畴在预导数中的嵌入(arxiv公司：1612.06980)

结果表明： $（\infty，1）$ -只要我们允许，类别就可以直接嵌入到“前导数”中严格态射在后者（可以说这有点违背了派生词的精神，但仍然很有趣）和二分类层次上，嵌入是保守的，但通常不能完全嵌入 $（\infty，1）$ -类别。这在年进一步发展

Daniel Fuentes-Keuthan、Magdalena Kedziorek、Martina Rovelli、，（∞，1）-范畴预导数的模型结构,阿西夫, 2018

打开一举起建议导数对于从这个 ~~$2$~~ （无穷大，1）-范畴的同构范畴~~-派生器~~ 对于到这个同伦2范畴属于（无穷大，2）-类别:

~~尼古拉·迪维托里奥。~~尼古拉·迪维托里奥,2个导数. (2023).([[arXiv:2309.05216](https://arxiv.org/abs/2309.05216)]~~arXiv:2309.05216~~).

在arXiv版本的雷诺丁2006，但已在发布的版本中添加。由杜格尔定理（请参见在这里)每个组合模型类别都是Quillen等价于左本真类别，但每个之字形左真组合模型范畴之间的Quillen等价可以看作只通过左真模型范畴。↩

上次修订时间：2023年9月12日17:59:33。请参阅历史获取所有贡献的列表。