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想法

A类变形收缩是一个收回这也是一个部分高达同伦。等价地，它是一个同伦等价其两个同伦之一实际上是身份.

定义

让$\数学{C}$成为类别具有以下概念同伦在其之间态射.然后是变形回缩态射的

（该变形收缩本身）是另一种形态

这样的话

和

特别是，如果“同伦”在$\数学{C}$方法左同伦关于圆柱体 $音符X$

然后变形回缩$i:A\至X$是一个态射$r:X\到A$这样的话$r\circ i=id_A$并且存在一个态射$\eta:I\otimes X到X$拟合到图表中

因此，变形收缩为（左）同伦等价其中出现的两个同伦之一实际上是身份.

如果这里的圆柱体对象赋值是函数的，我们说$\埃塔$是一个强变形收缩如果此外

（因此，如果限定于包含的同伦是所选圆柱体对象所看到的“常数”）。

在部分文献中，默认情况下，变形收缩要求很强。

示例

在拓扑空间中

在类别中顶部属于拓扑空间标准圆柱体由提供笛卡尔积使用间隔 $\mathrm{<trans\; data-src="I">我</trans>}<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src=":">:</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="≔">≔</trans></ins></span><trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans>$我:=\上校（coloneq）[0,1].

关于相应的概念左同伦，如果$X（X）$是拓扑空间，并且$A\子集X$一子空间，然后$A类$子空间 ,是然后一坚强的变形收回属于$\mathrm{<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="X">X（X）</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="A">A类</trans></ins></span>}$X（X）A类 如果是那里存在一坚强的变形收回属于$X（X）$如果存在连续映射 $\mathrm{<trans\; data-src="H">小时</trans>}<trans\; data-src=":">:</trans><trans\; data-src=":">:</trans>\mathrm{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}<trans\; data-src="\times ">\times </trans>\mathrm{<trans\; data-src="I">我</trans>}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}$H： X次小时\结肠X次I至X这样的话$\mathrm{<trans\; data-src="H">小时</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}$H（a，t）=aH（a，t）=一为所有人$a中的\$,$t英寸I=[0,1]$,$H（x，0）=x$为所有人$x中的x$和$H（x，1）\单位：A$为所有人$x\在x中$.

等价地，有连续的地图$i： A至X$连续映射 和$\mathrm{<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="r">第页</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="i">我</trans></ins></span>}<trans\; data-src=":">:</trans><trans\; data-src=":">:</trans>\mathrm{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="A">A类</trans>}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}$r： X\至我A类\结肠A\至X（X） 这样的和那个$\mathrm{<trans\; data-src="r">第页</trans>}<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="\circ ">\circ </trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src=":">:</trans></ins></span>\mathrm{<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="i">我</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="X">X（X）</trans></ins></span>}<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="=">=</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="\to ">\to </trans></ins></span>{\mathrm{<trans\; data-src="id">身份证件</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="A">A类</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="A">A类</trans>}$循环第页我\结肠=X\至标识_AA类 和这样的那个$\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}<trans\; data-src="\circ ">\circ </trans>\mathrm{<trans\; data-src="r">第页</trans>}<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="\sim ">\sim </trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="\circ ">\circ </trans></ins></span>{\mathrm{<trans\; data-src="id">身份证件</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="(">(</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="=">=</trans></ins></span>\mathrm{<trans\; data-src="rel">相对</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="id">身份证件</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="A">A类</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="A">A类</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$i\circ（循环）第页r \模拟\电路控制器id X（_X）我（相对=A）标识_A, 哪里和$\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}<trans\; data-src="\circ ">\circ </trans>\mathrm{<trans\; data-src="r">第页</trans>}<trans\; data-src="\sim ">\sim </trans>{\mathrm{<trans\; data-src="id">身份证件</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="rel">相对</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="A">A类</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$\模拟i \循环r \模拟id X（_X）（相对A） ,表示哪里$\sim（相对A）$表示同伦带有固定的$A类$更一般地，对于任何连续映射$\mathrm{<trans\; data-src="j">j个</trans>}<trans\; data-src=":">:</trans><trans\; data-src=":">:</trans>\mathrm{<trans\; data-src="Z">Z</trans>}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="Y">Y（Y）</trans>}$j： Z\至j个\结肠Z\至Y（Y）我们说是的可伸缩变形如果有$\mathrm{<trans\; data-src="r">第页</trans>}<trans\; data-src=":">:</trans><trans\; data-src=":">:</trans>\mathrm{<trans\; data-src="Y">Y（Y）</trans>}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="Z">Z</trans>}$r： Y\至第页\结肠Y\至Z这样的话$j\circ r\sim id_Y$和$r \circ j=id _ Z$.

一对$（X，A）$是一个NDR面板如果有是是二一连续的地图，$u： X\到I，\；H： X次I到X$一对 这样的属于那个连续的地图，$\mathrm{<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="H">小时</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="u">u个</trans></ins></span>}<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="(">(</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src=":">:</trans></ins></span>\mathrm{<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="a">一</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="X">X（X）</trans></ins></span>}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="I">我</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="H">小时</trans>}<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="=">=</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src=":">:</trans></ins></span>\mathrm{<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="a">一</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="X">X（X）</trans></ins></span>}<trans\; data-src="\times ">\times </trans>\mathrm{<trans\; data-src="I">我</trans>}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}$H（a，t）=au个\结肠X\至一、 \；小时\结肠X次至X（X） 对于这样的全部的那个$\mathrm{<trans\; data-src="H">小时</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="\in ">\in </trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src=",">,</trans></ins></span>\mathrm{<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="A">A类</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="t">t吨</trans></ins></span>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}$\英寸H（a，t）=aA类 和对于全部的$\mathrm{<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="t">t吨</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="a">一</trans></ins></span>}<trans\; data-src="\in ">\in </trans>\mathrm{<trans\; data-src="A">A类</trans>}$t吨\英寸A类, 和全部的$\mathrm{<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="H">小时</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="t">t吨</trans></ins></span>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}$H（x，0）=xt吨 ,对于全部的$\mathrm{<trans\; data-src="H">小时</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="\in ">\in </trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src=",">,</trans></ins></span>\mathrm{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}$x\英寸H（x，0）=xX（X）, 对于全部的${\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}^{<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="(">(</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="\in ">\in </trans></ins></span>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="A">A类</trans>}$u^{-1}（0）=Ax\英寸X（X） ,和$\mathrm{<trans\; data-src="H">小时</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}^{<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="\in ">\in </trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="=">=</trans></ins></span>\mathrm{<trans\; data-src="A">A类</trans>}$H（x，1）英寸u^｛-1｝（0）=AA类 对于和全部的$\mathrm{<trans\; data-src="H">小时</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="\in ">\in </trans>\mathrm{<trans\; data-src="A">A类</trans>}$x个H（x，1）英寸A类 这样的对于那个全部的$\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="<"><</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}$u（x）\ltx个1. 如果这样的那个$\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<span><del\; class="diffmod"><trans\; data-src="X">X（X）</trans></del><ins\; class="diffmod"><trans\; data-src="x">x个</trans></ins></span>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="A">A类</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="<"><</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}$（X，A）u（x）\lt1 .是如果一个国家发改委，然后这个包含有一左边$（X，A）$是一个NDR-pair，那么包含有一个左边同伦逆若（iff）$A类$也是一个收回属于$X（X）$（英寸顶部，在标准中绝对的感官）。分类理论的感官）。

这对$（X，A）$是一个DR对空如果是变形收缩并且有一个函数$\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}<trans\; data-src=":">:</trans><trans\; data-src=":">:</trans>\mathrm{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="I">我</trans>}$u： X\至u个\结肠X\至我这样的话$A=u^{-1}（0）$（即同时提供变形收缩和NDR-pair）。如果$（X，A）$是NDR对，则包含$A \钩右箭头X$是同伦等价iff$A类$是的变形回缩$X（X）$.任何地图$f： X到Y$是一个同伦等价若（iff）$X（X）$是映射圆柱体的变形收缩$（f）$.如果$（X，A）$是NDR-pair和$A类$是可收缩的，然后是商映射$X\至X/A$是同伦等价。

链内复合物

\开始{proposition}\label{EZAWDeformationRetract}(Eilenberg-Zilber/Alexander-Whitney变形收缩)\换行符

让

• $A、 B\、\ in\、sAb=$ 单阿贝尔群

并表示

• 通过$N（A），N（B）\，\ in \，Ch^+_\项目符号=$ 连接链复合体他们的归一化链复合体,

• 通过$注意事项B\，\ in \，sAb$逐步地阿贝尔群的张量积,

• 通过$N（A）\注释N（B）$这个链复合体的张量积.

然后有一个变形回缩

\开始{tikzcd}N（A）\otimes N（B）\ar[rr，向右弯曲=20，\mathrm{id}{belower}，\{above，name=t}]\ar[rr，幻影，\{name=s，yshift=-6pt}]\ar[r，\nabla_{A，B}]&N（A\otimesB）\ar[r，\Delta_{A、B}]&N（A ar[from=s，to=t，-，shift right=1pt]\end{tikzcd}

\开始{tikzcd}N（A\otimes B）\ar[rr，向右弯曲=20，\mathrm{id}{下面}，\{上面，name=t}]\ar[rr，幻影，\{name=s，yshift=-6pt}]\ar[r，\Delta_{A，B}]&N

哪里

• $\纳布拉{A，B}$是Eilenberg-Zilber地图;

• $\增量{A，B}$是亚历山大·惠特尼地图.

\结束{命题}

对于非正规链复合物，我们有一个同伦等价，这是原件Eilenberg-Zilber定理(Eilenberg&Zilber 1953年,Eilenberg&MacLane 1954年，Thm。2.1). 以上内容变形回缩对于归一化链式复合体Eilenberg&MacLane 1954年，Thm。2.1年。两者都在中进行了审查1967年5月，Cor.29.10.对同伦算子在中给出Gonzalez-Diaz&Real 1999年.

相关概念

• 收回,邻里收回

• 部分

• 还有一个概念是同伦范畴的形变收缩，在某些方面有类似的感觉，但没有紧密联系。（不应将其与变形收缩的概念混淆在里面一模型类别，这是上述概念的直接概括顶部.)

工具书类

对于教科书实例账户

• 乔治·怀特黑德 ,

  乔治·怀特黑德，第1章：同调理论的要素1978年，施普林格(doi:10.1007/978-1-4612-6318-0)

  同伦理论的要素 ，第1章。

• 彼得·梅，第6.4节：代数拓扑学简明教程芝加哥大学出版社1999(国际标准图书编号：9780226511832,pdf格式)