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可计算的选择

想法

公理可数选择($科科斯群岛$)，也称为$AC_\欧米茄$或$AC（_N）$，是的弱形式选择公理; 上面说自然数s是一个射影物体在里面设置（回想一下，完整的选择公理表明每一个集合是投影的。）

在古典数学，可数选择通常被接受，因为选择的完整公理被接受。在构造数学情况更微妙。由于各种原因，一些建构主义数学流派接受可数选择（尽管他们拒绝完全的选择公理）。另一方面，可数选择在内部逻辑对于一般拓扑，因此如果希望达到这种普遍性水平，则不应假设。也有哲学建构主义的论据反对它。弗雷德·里奇曼 （里奇曼自由贸易协定）已经说过了

可计数的选择对建设性数学家来说是一个盲点，就像被排除在外的中间对经典数学家来说一样。

这一页中的所有推理都是建设性的.

定义

In-set理论

更明确地说，让$X（X）$是任何设置然后让$p\colon X\to\mathbf{N}$成为灌水然后可数选择公理指出$第页$有一个部分如果你将选择公理表述为整体关系，则可数选择表示$\矩阵{N}$到任何其他集合包含（在2位 相对)一个功能性的整个关系。

依赖型理论

在依赖型理论,可数选择说的是从属产品由自然数本身有人居住：

或者，可数选择公理表示给定集合族$A（n）$按自然数索引$n个$和一系列命题$P（n，x）$按自然数索引$n个$和元素$x： A（n）$，如果对于所有自然数$n个$只有一个元素$x： A（n）$这样的话$P（n，x）$，则只存在一个从属函数$g： \prod_｛n:\mathbb｛n｝｝A（n）$这样对于所有的自然数$n个$,$P（n，g（n））$:

后果

这里我们收集了可数选择公理的一些结果。

• 这个柯西实数和Dedekind实数重合（排中律也单独暗示了这一点）。

• 这个罗索里尼优势是一个优势（该排中律也单独暗示了这一点）。

• 可数集合的可数并是可数的

变化

$COSHEP公司$&$直流$

与完整的选择公理不同，可数选择通常被视为建设性地可接受的原则。特别是，它并不意味着排中律。这是由于COSHEP公司.可数选择的更强版本，也是$COSHEP公司$，是的公理相依选择($直流$). 一般来说，$直流$足以证明分析涉及序列.

$AC_{00}$

有时在基金会中，考虑可数选择的较弱版本是有用的，称为$AC_{00}$。这表明$\矩阵{N}$to本身包含一个函数式的完整关系。就满射而言，这表明任何满射$p\colon X\to\mathbf{N}$有一个节，如果$X（X）$是一个子集属于$\mathbf{N}\times\mathbf{N}$和$第页$是限制到$X（X）$产品预测。$AC_{00}$足以证明Dedekind实数是一个柯西实数（反之亦然）。

弱可数选择

公理弱可数选择($WCC公司$)说明一个满射$p\colon X\to\mathbf{N}$如果，每当$最小值$，至少一个前图像 $p^*（米）$和$p^*（n）$是一个单子.$WCC公司$（出于不同原因）$科科斯群岛$或排中律另一方面，$WCC公司$足以证明代数基本定理在每个非恒定复多项式都有根的意义上；看见Bridges等人（1998年）.是否$WCC公司$意味着Dedekind真实和Cauchy reals公司重合，参见King等人（2024年）.

另一个弱可数选择

一条公理，有多种说法$AC_{弱}$和$空气_{N2}$是的子集的可数选择$\{0,1\}$; 也就是说，每个$\mathbb{N}$-居住子集的索引序列$\{0,1\}$具有选择功能。喜欢$WCC公司$这也源于$科科斯群岛$或排除中间。这足以证明Dedekind reals公司和Cauchy reals公司。请参阅Saving等人（2021年）,King等人（2024年）.

非常弱的可数选择

可数选择的一种更弱形式是由马丁·埃斯卡多; 它表示任何形式的回注$A\sqcup（\mathbf{N}\times B）\to\mathbf{N}$有一个部分，其中$A\to\mathbf｛N｝$是一个可判定子集和$B类$是具有的任意集$\mathbf{N}\times B\to\mathbf{N}$投影。这源于WCC以及全知有限原则; 请参阅建构主义讨论.

Topos违反CAC

一个简单的例子是类别$Sh（[0,1]）$单位间隔上的滑轮，因为在该间隔中Dedekind实数和柯西实数不是同构的，这是内部可数选择的结果。

讨论在这里.

在高等范畴理论中

要在更高的范畴中形成可数选择公理的版本，必须对“满态性”的含义作出适当的选择。在大多数情况下，最好选择（无穷，1）范畴中的有效满射或相关概念，如eso态射.

可数选择公理有多种版本，具体取决于截断需求（如果有）应用于域。

• 安$（\infty，1）$-类别满足可数公理$n个$-选择，或$CC（_n）$，如果每$n个$-截断态射?进入自然数对象有一节。我们写作$CC_\信息$对于可数无穷选择公理：声明每一个共域的态射自然数对象有一节。

这些是更强的公理$n个$增加。

这些公理也有“内部”版本。

• 在同伦型理论（一个$（\infty，1）$-topos）的内部版本$CC（_n）$是“每个自然数的回注类型$n个$-型纤维有一个截面”，或等效

  $$\prod_{（Y:\mathbb{N}\to N类型）}\Big（\prod_}$$

• 一般来说，我们可以替换$(-1)$-被截断$k个$-截断以获得公理族$CC_{k，n}$.

• 我们还可以替换$(-1)$-通过断言截断$k个$-连通性，获取可数公理$k个$-关联选择.

工具书类

• 弗雷德·里奇曼,道格拉斯·布里奇斯彼得·舒斯特，弱可数选择原则《美国数学学会学报》128（9）：2749-27522000年3月。[doi:10.1090/S0002-9939-00-05327-2](http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-00-05327-2)]

• 马丁·埃斯卡多等。，可数选择的特例，消息和讨论到constructivenews列表，谷歌群组

• 弗雷德·里奇曼,代数基本定理：无选择的建设性发展太平洋数学杂志1961（2000）213–230[[doi:10.2140/pjm.2000.196.213](http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2000.196.213),pdf格式]

• Mark Saving等人（2021年）。可数选择的弱形式.数学溢出.

• 克里斯托弗·金等人（2024年）。弱可数选择是否意味着Cauchy reals是Dedekind完备的？ 数学溢出.

另请参见

• 维基百科，可数选择公理