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想法

A类Waldhausen类别 $C’$是一个同主题范畴配备了一些额外的结构，允许我们将其视为一个演示（通过单纯局部化)的（无穷大，1）-类别 $C类$这样，额外的结构允许我们方便地计算K理论 格罗森迪克集团 $\矩阵{K}（C）$属于$C类$.

特别是Waldhausen类别提供了co的概念纤维序列s、 它们是控制$\矩阵{K}（C）$。双重讨论同伦极限和同伦拉回，普通推出形式的Waldhausen类别中的

具有$A\挂钩箭头B$一种特殊的态射称为Waldhausen共构计算同伦推出s，因此在相应的稳定（无穷大，1）-范畴.

使用此选项Waldhausen S结构在$C’$是计算K理论的光谱$C类$.

定义

Waldhausen在K理论引入了一个范畴的概念，该范畴具有共纤维和弱等价性，现称为Waldhausen类别。正如原名所示，这是一个类别$C类$零对象$0$，配备有两类地图可供选择$\马特姆{cof}$关于协同振动和$西部。$弱等价的

• （C1）所有同构都是余纤维

• （C2）有零物体$0$以及任何物体$一$唯一态射$0\到$是共纤维

• （C3）如果$a\hookright箭头b$是一种共纤维化$a至c$任何态射，然后推出$c至b \cup_a c$是一种共振动

• （W1）所有同构都是弱等价

• （W2）弱等价在复合下是封闭的（生成子范畴）

• （W3）“弱等价的胶合”：给定任何形式的交换图

  $$\阵列{D&\左箭头&A&\钩右箭头&B\\\向下箭头^\sim&&\向下箭头^\sim&&\下箭头^\sim\\D'&\左箭头&A'&\钩右箭头&B'}$$

  其中，垂直箭头是弱等价的，而右水平映射是共纤维，即诱导映射$B\cup_A D\hookrightarrow B'\cup_{A'}D'$是一个弱等价。

这些公理意味着对于任何共变$A\挂钩箭头B$有一个共纤维序列$A\hook向右箭头B\到B/A$哪里$B/A公司$是cokernel的选择$B\cup_A 0$.

给定Waldhausen类别$C类$其弱等价类来自一个集合，其中一个定义了$K_0（C）$作为一个交换群，其元素是模关系的弱等价类$[A] +[B/A]=[B]$对于任何共纤维序列$A\hook向右箭头B\到B/A$.

然后Waldhausen设计了所谓的S结构$C\mapsto S_\项目符号C$从Waldhausen范畴到具有余纤维性和弱等价性的单纯形范畴（因此可以迭代构造产生多简单范畴）。

这个K-理论空间?Waldhausen构造的$\欧米茄\mathrm{霍科利姆}_{\Delta^{\mathrm{op}}（[n]\mapsto n_\bullet（例如（S_n C））$，其中$\欧米茄$是循环空间函子，$N个$是简单的吗神经，w.e.采用弱等价的（单纯形）子范畴$[n] \英寸\三角洲$。可以改进此构造（使用迭代Waldhausen S结构)到K理论 $\欧米茄$-光谱属于$C类$; K理论空间将只是K理论谱的一个空间。

那么K组是同伦群K理论空间的s。

评论

• Waldhausen范畴的公理$C类$非常类似于fibrant对象的类别上相反类别 $C^{op}$其中初始对象也是终端。一个区别是Waldhausen范畴中的弱等价项不需要满足三取二例如，Waldhausen给出了一个Waldhausen范畴的例子，其中弱等价是简单同伦等价?另一个区别是公理W3，它在fibrant对象的类别是每个对象都有一个路径对象也就是说，在fibrant对象的类别.

示例

小阿贝尔范畴的Waldhausen范畴

对于$C类$一小的 阿贝尔范畴这个有界链复合体的范畴 $信道（C）$通过以下方式成为Waldhausen类别

• 一弱等价性是一个准同构链复合物；

• 共纤维$f:A_\bullet\到X_\bull$是一个链态射单态在里面$C类$在各个程度上$f_n:A_n至X_n$.

小精确范畴的Waldhausen范畴

对于$C类$只是一个奎伦精确分类带环境温度阿贝尔范畴 $\帽子C$Waldhausen的分类结构有一个类似的，稍微复杂一些的结构$信道（C）$:

• 弱等价是指准同构当被视为中的态射时$\帽子C$;

• 共同纤维是有度的容许态射也就是那些形态$A至X$如此一来$A\至X\至A/X$在环境中计算阿贝尔范畴 $\帽子C$在中$C类$.

相关概念

• 弱等价范畴

• fibrant对象的类别,共纤维对象的范畴

• 模型类别

工具书类

讨论Waldhausen范畴，着眼于它们在计算格罗森迪克集团中的第二章属于

• 查尔斯·韦贝尔,K书：代数K理论简介(网状物)

第1节

• R.W.托马森托马斯·特罗鲍，格式和导出范畴的高等代数K-理论,Grothendieck音乐节, 1990,247-435.247-435.(pdf格式)